Прикладная теория колебаний

Если обозначить z = xh3 , то получим уравнение

EJ

5z2 −704z +1536 = 0;

тогда

2.4.Вынужденные колебания систем

2.4.1.Вынужденные колебания системы

содной степенью свободы

Действие переменной во времени силы P(t) на систему можно представить в виде суммарного действия отдельных импульсов (рис. 2.16): dS = Pdt.

Если затухание не учитывать, то согласно уравнению вынужденных колебаний имеем:

61

где F0 , F0 , F0 – начальные параметры, представляющие функ-

цию F(t) в момент времени t = 0 (начальный).

Каждый предыдущий коэффициент при начальном параметре является производной от коэффициента при последующем параметре.

Рассмотрим случаи возможного изменения внешней силы во времени.

t = t0, а затем в мгновение t = t1 снята, то можно представить устранение силы P как приложение силы P в мгновение t, тогда уравнение движения будет иметь вид

после преобразований получим:

62

2. Внешняя сила произвольно изменяется. Определим действие мгновенного импульса dS (рис. 2.18):

что sin 0,5ωdt = 0,5ωt, а sin (ωt −0,5ωdt ) = sin ωt, получаем:

Если в мгновение t = u к массе будет приложен импульс P(u)du силы, то при t > u

Полагая, что до приложения нагрузки масса находилась в покое, получим уравнение движения при произвольной возмущающей силе путем интегрирования этого выражения:

63

в соответствии с зависимостями:

Рис. 2.19. Зависимость коэффициента динамичности от соотношения θ / ω

64

Острый резонанс сглаживается с ростом величины 2ξ , где ξ – ωf

коэффициент затухания, ωf – круговая частота свободных колебаний (рис. 2.19).

2.4.2. Вынужденные колебания системы с несколькими степенями свободы

Рассмотрим систему с n степенями свободы. Пусть дейст-

Определяем амплитуды колебаний Аi стандартным методом решения системы уравнений. Силы инерции

65

Ji max = miθ2 Ai .

Положительные силы инерции направлены в сторону положительных перемещений.

Пример. Для балки на двух опорах (рис. 2.20, а) при рас-

пределенной нагрузке q = 2000 H/м, P(t) = 2000sin 50t H,

EJ = 4 106 H м2 определим изгибающий момент в точке приложения периодической силы.

Рис. 2.20. Расчетная схема балки: а – с распределенной нагрузкой; б – с сосредоточенными массами

Решение.

1. Заменяем распределенную нагрузку q двумя сосредоточенными массами (рис. 2.20, б), в соответствии с правилом, изложенным выше, получим:

m1 = m2 = m = 2qlg = 407,75 кг.

2. Определяем по формуле Мора единичные и грузовые перемещения (от амплитудной силы Р = 2000 Н):

66

3.Вычисляем по формуле (2.13) частоты свободных коле-

баний: ω1 = 85,8 Гц, ω2 = 242,7 Гц.

4.Подставляя найденные перемещения в систему уравне-

ний (2.37) с учетом θ = 50 Гц, получим:

0,8089A1 −0,1485A2 = 29,15 10−5;

−0,1485A1 −0,8089A2 = 37,5 10−5.

Решая эту систему уравнений, определяем:

А1 = 4,61 · 10–4 м, А2 = 5,48 · 10–4 м.

5. Определяем изгибающий момент М2 в точке 2 от действия силы P(t):

M2 = M21J1 + M22 J2 + M2 p ,

где M21, M22 – момент в сечении 2 от сил P = 1, приложенных соответственно в точках 1 и 2; J1, J2 – инерционные силы, определяемые по формуле J = ωθ2 A; M2 p – момент от амплитуды силы (2000 Н).

Этот момент в 1,36 раза больше момента от статически приложенной амплитудной силы P = 2000 H.

6. Определяем суммарный изгибающий момент M2Σ от

действия силы P(t) и статической нагрузки, приложенной в точках 1 и 2. Для нашего примера динамический момент Мд = 4000 Н· м, следовательно, M2Σ = 6036,5 H м. Если θ = ω,

то Аk = ∞.

Динамические коэффициенты по силовым и кинематическим характеристикам не едины (в межрезонансных областях):

67

по моментам Kдmax = 1,36, а по перемещениям (для сечения 2)

A

Kд∆ = ∆ 2 = 1,46.

ip

Примеры решения задач по динамике конструкций СДМ приведены в прил. 1, 2.

3.РАСЧЕТЫ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ

3.1.Расчет продольных колебаний конструкций

Как правило, ограничиваются расчетом первых двух-трех частот и форм колебаний. Для этого часто применяют приближенные методы расчета.

При расчете частот собственных продольных колебаний применяют следующие допущения:

а) реальная конструкция заменяется дискретной моделью из сосредоточенных масс, соединенных (n – 1) упругими свя-

– 3-массовой системы,

– 3–5-массовой системы. Для примера рассмотрим

3-массовую систему (рис. 3.1), в которой приведенные массы m1, m2, m3 соединены жесткостями с1, с2. Под продольной жесткостью понимается деформация. Она вычисляется по формуле

68

где l1, l2 – расстояния между центрами масc m1 и m2, m2 и m3. Если участок конструкции неоднороден, то рассчитывают

приведенную продольную жесткость участка lΣ, определяемую из зависимости

1 = 1 + 1 . cΣ c1 c2

При переходе от реальной конструкции к расчетной схеме необходимо обязательно учитывать изменение отдельных масс и жесткостей в зависимости от времени и температуры конструкции.

3.1.1. Определение частот колебаний

При свободных колебаниях в продольном направлении реализуются перемещения масс от положения равновесия х1, х2, х3 с круговой частотой ω. При этом положительное смещение направлено вниз. Рассмотрим последовательно равновесие всех масс под действием приложенных сил.

Согласно закону перемещения

xi = Ai sin(ωt +ϕ)

система уравнений при свободных колебаниях 3-массовой конструкции примет вид:

Решение такой системы при совершении свободных колебаний будем искать в следующем виде:

При подстановке этих решений исходные дифференциальные уравнения превращаются в тождества. Например, первое уравнение после группировки подобных членов примет вид

(−ω2m1 +c1 ) A1 −c1 A2 sin(ωt +ϕ) = 0.

Окончательный вид системы уравнений:

го условия используем условие существования колебаний, когда амплитуда Ai ≠ 0, а это математически означает, что сис-

тема не должна иметь нулевого решения, т.е. определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных амплитудаx Ai , должен быть равен нулю.

Таким образом,

70