Динамика и прочность машин. Методы возмущений

Уравнение (3.10) далее интегрируется [5] (примем для упрощения 0 ):

где sn – обозначение эллиптического синуса Якоби, K – значение полного

Профиль функции (3.11) представляет собой периодические, но не гармонические, кноидальные волны. Через модуль k форма этих волн зависит от энергии системы. При изменении E(1;0) в пределах от 0 до 14 1 амплитуда A изменяется от 0 до 1/2 , аналог частоты - от 1 до 1/ 2 , а модуль k –

в пределах его области изменения от 0 до 1. При малых E(1;0) A ~ E(1;0) ,

~ 1, k ~ 0 , sn ~ sin и K ~ / 2 , то есть мы имеем гармонические колебания линейного осциллятора. Нелинейность в (3.1) при этом фактически не проявляется. Отметим, в частности, что при малых мы получаем поправку фазы в аргументе (3.11) порядка t . Для того чтобы это увидеть, достаточно разложить функцию ( ) , определенную соотношениями (3.12), в степенной ряд и учесть, что t отдельно от в решение не входит. Исключая из первых двух соотношений (3.12) внутренний радикал, получаем: ~ 1 14 A2 , то есть

поправка частоты пропорциональна квадрату амплитуды. Числовой множитель в этой оценке не точен, поскольку нужно учитывать зависимость эллиптического синуса от модуля k и модуля от A2 (мы получим его точное значение в первом приближении ниже).

Попытаемся получить равномерно сходящееся асимптотическое разложение решения (3.1)–(3.2) и обнаруженную выше поправку к частоте с помощью метода многих масштабов. Уже ясно, что для этого достаточно в первом приближении считать функции в ряде (3.3) зависящими от двух аргументов t и t :

Подставляя (3.13) и (3.14) в уравнение (3.1), получим:

21

Выделяя в этом уравнении коэффициенты при степенях малого параметра и приравнивая их нулю, получаем:

Здесь, как и в предыдущей главе, мы использовали более компактное комплексное представление решения. С учетом (3.17) уравнение (3.16) примет вид

u1,tt u1 (a exp(it) a exp( it))3 2ia, exp(it) 2ia , exp( it) ,

после возведения в куб преобразующийся следующим образом:

Источником вековых членов в частном решении (3.18) являются слагае-

Для получения первого приближения равномерно сходящегося решения само уравнение (3.18) решать необязательно. Решение уравнения (3.19) ищем в виде

Для получения поправок к амплитуде и форме периодического решения необходимо учитывать в (3.3) члены более высокого порядка.

22

4.ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

СПАРАМЕТРИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ

Обратимся теперь к интереснейшему явлению параметрических колебаний. Попутно продемонстрируем на этом примере, как методы возмущений способны справиться с математическими трудностями, связанными с неавтономностью системы – зависимостью ее коэффициентов от независимой переменной.

Классическое исследование в этом направлении выполнил П.Л. Капица [7] (ссылки на исчерпывающий список работ имеются в статье [6]). Он экспериментально и теоретически изучил поведение маятника с вибрирующей осью подвеса и показал, что верхнее вертикальное положение равновесия может быть устойчивым. Вибрация может повысить устойчивость механических систем; ярким примером этого является индийская магическая веревка,

23

а с точки зрения он же задается радиусом-вектором, выражаемым разно-

Вектор сил, действующих на материальную точку, преобразуется из в в соответствии с выражением

В инерциальной системе отсчета имеет место закон изменения количества движения:

24

сматривать малые отклонения от состояния равновесия, когда sin и наше уравнение принимает вид

l (g a 2 cos t) 0 .

Обезразмеривая время следующим образом: t 2t , получим новую форму уравнения

и считать здесь и абстрактными параметрами, принимающими положительные и отрицательные значения, то мы придем к более общему модельному уравнению для изучения параметрических колебаний, называемому уравнением Матье, с которым далее и будем иметь дело. Кроме того, будем считать | | 1, что позволяет применить метод возмущений.

Но сначала изучим общие свойства уравнения Матье, не решая его. Уравнение (4.9) имеет трансляционную симметрию по независимой переменной t с периодом n : если 1(t) – его решение, то и 1(t n ) тоже его решение, что легко проверить, заменяя t аргументом t n . Мы будем считать, что два линейно независимых решения уравнения второго порядка (4.9)

25

(определитель Вронского гарантированно не равен нулю при t 0). Функции1(t ) и 2 (t ) являются решениями уравнения Матье, а значит, они раскладываются по базису решений этого уравнения 1(t) и 2 (t) :

Коэффициенты aij в формулах (4.11) определяются однозначно начальными условиями (4.10), отсюда

где матрица P не вырождена и от времени не зависит. Подставим (4.14) в (4.13), в результате чего получим:

(t ) B (t) , B P A P 1 . (4.15)

Матрица B имеет собственные числа, совпадающие с собственными

Если 1, то собственные числа различны, в противном случае они совпадают, оба принимая значение либо 1, либо –1. Мы потребуем, чтобы

26

матрица P приводила матрицу A к простейшей, жордановой канонической, форме. Тогда, если 1, матрица B имеет вид

то есть решение неограниченно растет во времени, если величина какоголибо из собственных чисел больше единицы, и затухает, если оба собственных числа по модулю меньше единицы. В случае кратных собственных значений (4.22) показывает, что решения периодичны: с периодом , если 1, и с периодом 2 , если 1. Таким образом, случаи кратных корней отделяют устойчивые значения от неустойчивых.

Соотношения (4.21) можно использовать для записи решений в нормальной форме Флоке. Для этого умножим первое из них на exp( 1(t )) и получим:

exp( 1(t )) 1(t ) 1 exp( 1 )exp( 1t) 1(t) .

Если потребовать, чтобы 1 exp( 1 ) 1, что равносильно требованию

27

означающий периодичность функции exp( 1t) 1(t) 1(t) с периодом . Таким образом, оба решения можно представить в нормальной форме:

где i – в общем комплексные числа, называемые характеристическими по-

казателями,

следующего из теоремы Виета для уравнения (4.17), будет меньше единицы. Из (4.26) тогда следует, что вещественная часть одного из характеристических показателей i положительна, а второго – отрицательна. Из (4.23) или (4.25) и (4.27) следует, что одно из решений будет неограниченно расти со временем, а второе оставаться ограниченным. На рис. 4.2 показаны возможные типы неограниченных решений.

28