Математическая обработка результатов геодезических измерений

101

102

103

104

5.1. Вычисление координат точек разомкнутого теодолитного хода (планово-высотного съемочного обоснования)

Для примера результаты измерений и вычислений приведены в табл. 5.1 и 5.4.

5.1.1. Уравнивание угловых измерений

Уравнивание – это процесс математической обработки, в результате которой вычисляется и распределяется невязка.

Разность между суммой измеренных углов и теоретической суммой называется угловой невязкой хода и обозначается f .

Угловая невязка хода f вычисляется по формуле:

f изм теор ,

где изм – сумма измеренных углов хода; теор – теоретическая сумма углов.

Теоретическая сумма углов вычисляется по формулам в зависимости от геометрии хода.

Для разомкнутого теодолитного хода теоретическая сумма углов вычисляется:

для измеренных горизонтальных углов левых по ходу:

теор К Н 180 n ;

для измеренных горизонтальных углов правых по ходу:

теор Н К 180 n ,

где Н – дирекционный угол начальной стороны; К – дирекционный угол конечной стороны.

Вычисленная угловая невязка f сравнивается с допустимой f доп f доп t n ,

где t – точность отсчитывания по горизонтальному кругу теодолита; n – число измеренных углов.

Сравниваются фактическая и допустимая невязки.

Если вычисленная невязка f больше допустимой f доп, то необходимо все пересчитать.

Если вычисленная невязка меньше или равна допустимой f f доп ,

то вычисленная угловая невязка распределяется на измеренные углы поровну (но не меньше, чем точность отсчитывания или 0,5 ) с обратным знаком, т.е.

105

Таблица 5.4

Ведомость вычисления координат точек теодолитного хода

106

fn .

Сумма всех поправок в углы должна равняться невязке f с обратным знаком.

f .

Вычисляются исправленные углы:

исправл изм .

Контроль уравнивания угловых измерений: сумма исправленных

горизонтальных углов равна теоретической сумме

исправл теор .

Пример вычисления угловой невязки (все вычисления, приведенные в примерах, показаны в «Ведомости вычисления координат точек теодолитного хода» табл. 10):

Сумма измеренных углов равна:

изм 174 28 205 29 174 44 203 07 757 48 .

Теоретическая сумма горизонтальных углов правых по ходу равна:

теор Н К 180 n 22114 183 27 180 4 757 47 .

Угловая невязка вычисляется:

f изм теор 757 48 757 47 1 .

Допустимая угловая невязка: f доп t n 1 4 2 .

Вычисленная угловая невязка f меньше допустимой f доп.

Угловая невязка распределяется с обратным знаком на один угол, т.е. поправка равна минус 1 минута. Предпочтение имеют углы, у которых стороны короче.

Вычисление исправленных углов:

исправл 203 07 1 203 06 .

Контроль уравнивания углов:

174 28 205 29 174 44 203 06 757 47 .

Сумма исправленных углов равна теоретической сумме теор. Контроль получился.

107

5.1.2. Вычисление дирекционных углов

По известному дирекционному углу исходной стороны А–1( А–1) и по исправленным горизонтальным углам испр вычисляются дирекционные углы остальных сторон теодолитного хода по формулам:

n 1 n 180 испр – дирекционный угол последующей сто-

роны равен дирекционному углу предыдущей стороны плюс 180 и минус исправленный угол правый по ходу. Если результат получился больше 360 , то из результата необходимо вычесть 360 .

Для горизонтальных углов левых по ходу формула вычисления дирекционных углов имеет вид:

n 1 n 180 + испр.

Контроль вычисления дирекционных углов: в результате вычислений в разомкнутом теодолитном ходе получается дирекционный угол конечной стороны.

Пример вычисления дирекционных углов:

4 B 3 4 180 4 206 33 180 203 06 183 27 .

В конце вычислений получился дирекционный угол конечной сторо-

ны.

5.1.3. Вычисление приращений координат

При решении прямой геодезической задачи получили формулы для вычисления приращений координат Х и Y

где d – горизонтальное проложение линии; – дирекционный угол этой линии.

Пример вычисления приращений координат:

X1 2 d1 2 cos 1-2 142,31cos226 46 97,48;

X 2 3 d2 3 cos 2-3 132,91cos20117 123,84;X 3 4 d3 4 cos 3-4 122,88cos206 33 109,92;X 331,24.

108

Y1 2 d1 2 sin 1-2 142,31sin 226 46 103,68;

Y2 3 d2 3 sin 2-3 132,91sin 20117 48,24;

Y3 4 d3 4 sin 3-4 122,88sin 206 33 54,92;Y 206,84.

Пример вычисления тригонометрических функций на калькуляторе приведен в прил. 1 и 2.

5.1.4. Уравнивание линейных измерений (приращений координат)

Разность между суммой вычисленных приращений координат и теоретической суммой называется линейной невязкой хода и обозначается fХ и fY .

Уравнивание линейных измерений выполняется раздельно по осям

Х и Y.

Линейная невязка вычисляется по формулам

f X X X теор; fY Y Yтеор ,

где X и Y – сумма вычисленных приращений координат, соответственно по оси Х и Y; X теор и Yтеор – теоретическая сумма

приращений координат, соответственно по оси Х и Y.

Теоретическая сумма приращений координат зависит от геометрии

хода.

Для разомкнутого теодолитного хода теоретическая сумма вычисляется

где ХН и YН, ХК, и YК – координаты начальной и конечной точек теодолитного хода, соответственно.

Прежде чем распределять невязки в приращения координат, необходимо убедиться в их допустимости. Для чего вычисляется абсолютная невязка хода fР(абс)

и относительная

fотн fPPабс ,

где Р – сумма длин линий или горизонтальных проложений, м.

109

Относительная невязка сравнивается с допустимой fдопуст 20001 (для 1 разряда) или 10001 (для 2 разряда). Для тахеометрического хода

1

допустимая невязка вычисляется fдопуст 100 n , n – число сторон хода.

Если относительная невязка больше допустимой, то необходимо заново выполнить вычисления в пунктах 3.1.3 и 3.1.4.

В случае, когда полученная относительная невязка допустима, т.е. выполняется условие fотн fдопуст , вычисляются поправки в приращения

координат пропорционально длинам сторон. Невязки распределяются с обратным знаком на соответствующие приращения.

Поправки в приращения координат X и Y вычисляются с округлением до 0,01 м по формулам:

где X и Y – поправка в приращение координат, соответственно по оси Х и Y, м; fX и fY – невязки по осям, м; Р – периметр (сумма длин), м; di – измеренная длина (горизонтальное проложение), м.

После вычисления поправок следует сделать проверку, т.е. сло-

вильно.

Полученные поправки алгебраически прибавляются к соответствующим приращениям и получаются исправленные приращения координат:

Контроль: сумма исправленных приращений координат в разомкнутом теодолитном ходе должна равняться теоретической, т.е. должно выполняться равенство:

X испр X теор; Yиспр Yтеор .

Пример вычисления линейной невязки.

Сумма вычисленных приращений координат равна:

X 97,48 123,84 109,92 331,24;

Y ( 103,68) ( 48,24) 54,92 206,84.

110