Математические основы теории принятия решений
..pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
Г.Б. Лялькина
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2012
УДК 530 + 519.24 + 519.81 ББК 22.18
Л97
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор В.И. Яковлев (Пермский государственный национальный исследовательский университет)
канд. техн. наук, доцент О.В. Бердышев (Пермский национальный исследовательский политехнический университет)
Лялькина, Г.Б.
Л97 Математические основы теории принятия решений: учеб. пособие / Г.Б. Лялькина; под ред. В.А. Трефилова. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2012. – 118 с.
ISBN 978-5-398-00771-8
В краткой форме изложены математические основы теории принятия управленческих решений. Рассмотрены классические оптимизационные методы принятия решений (методы математического программирования и методы теории игр), а также методы принятия решений на основе многих (качественных и количественных) критериев.
Предназначено студентам направления 280700 «Техносферная безопасность». Может быть полезно студентам, магистрантам и аспирантам технического университета.
УДК 530 + 519.24 + 519.81 ББК 22.18
ISBN 978-5-398-00771-8 |
© ПНИПУ, 2012 |
2
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ................................................................................................. |
5 |
1. ИЗ ИСТОРИИ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ............................. |
8 |
1.1. Истоки и социальные предпосылки возникновения |
|
и развития теории принятия решений.................................................. |
8 |
1.2. Из истории математической теории принятия решений............ |
12 |
1.3. Роль системного анализа в теории принятия решений............... |
14 |
2. УПРАВЛЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ И ПРИНЯТИЕ |
|
УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ............................................................ |
17 |
2.1. Системы. Динамические и развивающиеся системы................... |
18 |
2.2. Управляемые системы. Проблемы и проблемные ситуации...... |
20 |
3. КЛАССИФИКАЦИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ................. |
22 |
3.1. Классификация решений................................................................. |
23 |
3.2. Горизонт решения. Стратегические и тактические решения...... |
23 |
3.3. Проблемы планирования и политика организации...................... |
26 |
4. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАЗРАБОТКИ И ПРИНЯТИЯ |
|
РЕШЕНИЙ................................................................................................... |
28 |
4.1. Основные этапы процесса разработки управленческих |
|
решений ................................................................................................... |
28 |
4.2. Функции лица, принимающего решения...................................... |
30 |
5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО |
|
МОДЕЛИРОВАНИЯ В ПРОЦЕССЕ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ........... |
32 |
5.1. Понятие математической модели. Теорема Гёделя |
|
о неполноте.............................................................................................. |
32 |
5.2. Шкалы и измерения......................................................................... |
34 |
5.3. Классификация моделей принятия решений................................ |
40 |
5.4. Некоторые модели теории принятия решений............................. |
42 |
6. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ПРОЦЕДУРАХ |
|
ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ............................................................................ |
43 |
6.1. Методы математического программирования, |
|
их классификация................................................................................... |
44 |
6.2. Метод градиентного спуска............................................................ |
45 |
6.3. Линейное программирование......................................................... |
49 |
6.3.1. Каноническая форма задачи линейного |
|
программирования.............................................................................. |
49 |
6.3.2. Базисные и допустимые решения задачи |
|
линейного программирования........................................................... |
51 |
3
6.3.3. Симплекс-метод решения задач линейного |
|
программирования ............................................................................. |
53 |
6.3.4. Транспортная задача................................................................ |
63 |
6.4. Понятие о нелинейном и динамическом программировании.... |
68 |
7. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ................................. |
70 |
7.1. Принцип Парето. Лексикографическая оптимизация................. |
70 |
7.2. Метод Кемени согласования упорядочений |
|
по предпочтениям.................................................................................. |
73 |
8. РАЗРАБОТКА РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ |
|
НЕОПРЕДЁЛЕННОСТИ........................................................................... |
76 |
8.1. Риск. Источники и виды неопределённости................................ |
76 |
8.2. Матричные игры и принятие решений......................................... |
79 |
8.2.1. Основные понятия теории игр................................................ |
79 |
8.2.2. Матричные игры. Принцип минимакса................................. |
81 |
8.3. Принятие решений в стохастических «играх с природой» ........ |
84 |
8.4. Принятие решений в ненадёжных ситуациях. |
|
Критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа................................... |
86 |
9. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЭКСПЕРТНОГО |
|
ОЦЕНИВАНИЯ В ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ.......................................... |
90 |
9.1. Факторы успешности и основные проблемы экспертного |
|
оценивания.............................................................................................. |
91 |
9.2. Общая схема организации экспертизы......................................... |
93 |
9.3. Апостериорная оценка компетентности эксперта....................... |
99 |
9.4. Процедуры и методы проведения экспертизы............................. |
100 |
9.4.1. Метод комиссий....................................................................... |
100 |
9.4.2. Метод «мозгового штурма» .................................................... |
101 |
9.4.3. Процедура Дельфы................................................................... |
104 |
9.4.4. Метод суда................................................................................ |
106 |
9.4.5. Метод сценариев...................................................................... |
106 |
10. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕШЕНИЯ..................................... |
108 |
10.1. Качество и эффективность решения........................................... |
108 |
10.1.1. Ожидаемая эффективность решения ................................... |
110 |
10.1.2. Итоговая эффективность решения....................................... |
111 |
10.2. Оценка эффективности совокупности управленческих |
|
решений................................................................................................... |
112 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................................................... |
114 |
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.................................... |
116 |
4
ВВЕДЕНИЕ
Специалисту по безопасности в техносфере необходимо владеть основами теории управления на профессиональном уровне. От этого зависит успех его повседневной деятельности. Эффективность решений зависит от объективных обстоятельств и компетенции лиц, принимающих решения (ЛПР). В числе важнейших компетенций ЛПР – знание научно обоснованных методов и технологий принятия решений, а также способность сформулировать цели управления, определив критерии и пути достижения этих целей.
Современные информационные технологии позволяют с помощью вычислительной техники перерабатывать огромные потоки взаимосвязанной информации. Поэтому технологии принятия решений не только не исключают, но и предполагают использование компьютерных систем. Но использовать достижения передовых информационных технологий может только всесторонне образованный и развитый специалист, владеющий соответствующими математическими методами и моделями. Профессионализм ЛПР должен опираться на математическую теорию принятия решений, позволяющую оценить риск возможных потерь и оптимизировать возможный выигрыш.
Принятие решений с целью обеспечения безопасности определяет условия жизни и состояние здоровья различных слоев населения. Результаты этих решений влияют на уровень материального благосостояния общества, от них зависит также уровень социальной напряжённости, складывающийся в различных рабочих коллективах и в других группах населения. Социальный аспект возможных последствий управленческих решений, в том числе решений, принимаемых с целью обеспечения жизнедеятельности человека в техносфере, привёл к необходимости развития научного подхода к управлению и, в частности, к теории принятия решений, поэтому первая глава посвящена краткому обзору истории и социальных предпосылок возникновения и развития теории принятия решений.
5
Основной акт процессов управления – принятие решения как результат системного анализа, поэтому системный анализ составляет теоретическую основу современного подхода к управлению. Основные понятия теории систем и роль системного анализа в теории принятия решений описываются во второй главе.
Третья глава посвящена классификации управленческих решений, выделены понятия горизонта решения, стратегических, оперативных и тактических решений. Указаны основные проблемы планирования и политики организации.
Четвёртая глава содержит описание основных этапов разработки и принятия управленческих решений и завершает изложение основных сведений и понятий общей теории принятия управленческих решений.
Решение проблем безопасности неизбежно опирается на достижения фундаментальных, в том числе естественно-научных, дисциплин. Основу математических моделей составляют формализованные законы и методы конкретных наук (физики, химии, биологии, медицины, социологии и др.). Пятая, шестая, седьмая и восьмая главы посвящены изложению математических моделей и методов, лежащих в основе теории принятия решений.
Пятая глава посвящена принципам построения математических моделей. Приведена формулировка основополагающей теоремы Гёделя, проясняющей цели, роль и значение математических моделей в исследовании окружающей нас действительности. В краткой форме излагаются элементы теории шкал и измерений. Кроме того, глава содержит классификацию моделей принятия решений по различным признакам.
В шестой главе кратко изложены постановки задач и приведена классификация методов математического программирования. Введены понятия базового и допустимого решений для задачи линейного программирования, изложен симплекс-метод отыскания оптимального решения. Указан ряд модификаций транспортной задачи применительно к проблемам безопасности.
6
Особенно трудным является выбор решения, оптимального по совокупности критериев, если не удаётся свести задачу к однокритериальной.
В седьмой главе в качестве принципов выбора на основе многих критериев приведены принцип Парето и лексикографический принцип. Принцип Парето не даёт эффективного алгоритма выбора, а лексикографический принцип требует упорядочения критериев по их значимости, что не всегда желательно, а иногда и невозможно по разным причинам.
Но критерии необязательно упорядочивать и тем более необязательно ранжировать их с помощью количественных оценок. С целью принятия решения достаточно упорядочивать по предпочтительности сами альтернативы по каждому из критериев по отдельности. При этом упорядочения альтернатив по разным критериям предпочтительности неизбежно будут различными и даже противоречащими друг другу. Тем не менее во многих случаях имеется возможность выбрать упорядочение, наиболее предпочтительное по совокупности противоречивых критериев.
Несколько соответствующих примеров приведено в настоящем пособии. В частности, для выбора наилучшего решения как упорядочения, согласованного со всеми критериями в совокупности, предложено использовать метрику Кемени и метод Кемени согласования упорядочений по предпочтениям в специальном метрическом пространстве. Принципы метода Кемени кратко изложены также в седьмой главе. Отметим, что метод Кемени первоначально был разработан для согласования противоречивых экспертных оценок (процедуры получения экспертных оценок описаны в девятой главе). Переход к сравнению упорядочений в пространстве Кемени не требует никаких предварительных количественных оценок и ранжирования критериев (или экспертов) по их значимости.
Восьмая глава посвящена методам разработки решений в условиях неопределённости. Основу главы составляют методы принятия решений на основе матричных игр. Указаны также простейшие
7
оценки риска на основе системных матриц с помощью критериев Вальда, Сэвиджа, Байеса–Лапласа и др.
Вдевятой главе описаны основные процедуры и методы экспертного оценивания в проблемах принятия решений. Излагается процедура Дельфы последовательного согласования экспертных мнений.
Взаключительной десятой главе обсуждаются вопросы оценки качества и эффективности управленческих решений.
1. ИЗ ИСТОРИИ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Теория принятия решений имеет социальные корни. Развитие производительных сил и производственных отношений приводит к осознанию необходимости управления социальными процессами. С течением времени развивающаяся техносфера становилась всё более опасной для человека. Принятие решений на каждом этапе развития общества оказалось связанным не только с наличием целого ряда объективных ограничений на используемые ресурсы, но также с потребностью наложения дополнительных ограничений, в том числе законодательным путём. В частности, требования безопасности привели к необходимости введения понятий предельно допустимых значений опасных и вредных факторов.
В итоге пришло понимание, что во всех областях человеческой деятельности решение должно быть оптимальным, то есть удовлетворять определённому набору критериев оптимальности, но при этом учитывать требования, сужающие область поиска вариантов управленческого решения.
1.1.Истоки и социальные предпосылки возникновения
иразвития теории принятия решений
Мысли о необходимости соблюдения определённых правил и ограничений в процессах принятия решений возникали еще в древние времена. Любое решение начинается с анализа сложившегося состояния дел и выявления противоречий, которые необходимо разрешить тем или иным путём для достижения желаемой цели. Но для то-
8
го, чтобы цель стала реально достижимой, сначала необходимо выявить имеющиеся ресурсы и обозначить ограничения, которые налагают внешние обстоятельства.
Уже в древнем Шумере, за пять тысячелетий до начала новой эры, на специальных табличках в простейшей форме годами регистрировались сведения об урожае и торговых операциях. Результаты помогали наилучшим образом распределить имеющиеся ресурсы и избежать голода в неурожайные периоды. С течением времени в связи с развитием экономических отношений и необходимостью решать вопросы жизнеобеспечения населения аналогичные процессы происходили и в других регионах земного шара (в Древней Индии, Китае, Египте). Появление письменности, а также основ счёта и арифметических операций позволило не только фиксировать, но также анализировать полученные данные и принимать обоснованные управленческие решения. На первых этапах развития человеческого общества в основе любого управленческого решения в области производства и распределения пищевых, водных и других материальных ресурсов лежал сбор и анализ статистических данных, а также изучение процессов их накопления, расходования и перемещения.
Но, кроме ограничений на материальные и человеческие ресурсы, процессы принятия решений должны учитывать ограничения, налагаемые социальными нормами. Первый, дошедший до наших дней, свод законов управления государством был разработан и введен во времена правления вавилонского царя Хаммурапи (XVIII век до н.э.). Законы Хаммурапи защищали в основном права имущественных слоёв населения и ограничения касались только лишь правил возмещения ущерба хозяину собственности со стороны работодателей или управляющих, если ущерб произошёл по их вине. В более развитой форме методы и правила государственного контроля за общественными процессами были сформулированы и реализованы в VI веке до н.э. в правление Навуходоноссора II, а в первые века новой эры появилось римское право, заложившее первоосновы современного законодательства.
9
Мощнейшим толчком развитию законодательных основ общественных преобразований в западноевропейских странах XIV–XVIII веков послужила промышленная революция. Развитие промышленности породило множество факторов, действие которых на человека приводило к травмам и заболеваниям. К концу XVIII века были описаны многие профессиональные заболевания, и стало ясно, что их влияние на здоровье человека непосредственно связано с действием разнообразных опасностей и вредностей производства. Но только в конце XIX века появляются первые научные подходы к вопросам принятия решений в области управления промышленностью.
Понимание важности разработки теоретических методов управления впервые появилось благодаря работам американского инжене- ра-исследователя Ф. Тейлора в начале XX века. В России одна из первых работ Тейлора была опубликована через год после её появления – в 1912 году. Ф. Тейлор теоретически обосновал необходимость и эффективность научного подхода к принятию управленческих решений, и один из его результатов – обоснование необходимости нормирования труда.
Тогда же, в начале XX века, трудами И.М. Сеченова, Г. Гельмгольца, Э. Дюбуа-Реймона и др. были заложены основы новой науки – физиологии труда. Были сформулированы требования по обеспечению безопасности работников, ограничивающие возможности работодателя по максимизации прибыли. Одно из таких требований – ограничение продолжительности рабочего дня восьмью часами – в 1894 году было научно обосновано в трудах выдающегося русского физиолога И.М. Сеченова.
Шум оказался одним из самых распространённых вредных
иопасных факторов, влияющих на человека. В XX веке были научно разработаны и на этой основе во всех промышленно развитых странах, включая Россию, законодательно закреплены количественные нормы, ограничивающие воздействие шума на человека в быту и на производстве.
Современная рабочая среда пронизана не только звуковыми, но
иэлектромагнитными излучениями. Многие производственные про-
10