Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

246503

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

475.29 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

20	fUNKCIONALXNYE RQDY
TO SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO R > 0, ^TO RQD n1=0 cnxn ABSOL@TNO SHODITSQ

DLQ WSEH I RASHODITSQ DLQ WSEH P jxj < R jxj > R.

/ dOPUSTIM, ^TO MNOVESTWO X MODULEJ jxj WSEH ^ISEL x 2 D OGRANI^ENO

SWERHU. tAK KAK KAVDOE OGRANI^ENNOE SWERHU ^ISLOWOE MNOVESTWO IMEET

TO^NU@ WERHN@@ GRANX, 4 TO X IMEET TO^NU@ WERHN@@ GRANX R. pO OPREDELENI@ ^ISLA R PRI x > R RQD nP1=0 cnxn RASHODITSQ. wOZXMEM

TEPERX L@BOE ^ISLO x < R. pO OPREDELENI@ TO^NOJ WERHNEJ GRANI SU]ESTWUET TAKAQ TO^KA x1 2 D, ^TO jxj < jx1j < R. pUSTX x < R.

pO 2.2.2(1) W TO^KE x RQD nP1=0 cnxn ABSOL@TNO SHODITSQ. eSLI VE MNOVE-

STWO X NE OGRANI^ENO SWERHU, TO IZ 2.2.2(1) ANALOGI^NO WYTEKAET, ^TO D { WSQ ^ISLOWAQ OSX. .

2.2.4. iNTERWAL I RADIUS SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA. pUSTX

nP1=0 cn(x ; a)n { STEPENNOJ RQD S OBLASTX@ SHODIMOSTI D. eSLI D NE SOWPADAET SO WSEJ OSX@ Ox I NE WYROVDAETSQ W TO^KU x = a, TO IZ 2.2.3 WYTEKAET SU]ESTWOWANIE TAKOGO ^ISLA R > 0, ^TO RQD nP1=0 cn(x ;

a)n ABSOL@TNO SHODITSQ DLQ WSEH jx ; aj < R I RASHODITSQ DLQ WSEH jx ; aj > R. ~ISLO R NAZYWAETSQ RADIUSOM SHODIMOSTI, A INTERWAL

(a ; R a + R) { INTERWALOM SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA nP1=0 cn(x ;

a)n. eSLI STEPENNOJ RQD nP1=0 cn(x ; a)n SHODITSQ WO WSEH TO^KAH, TO PO

OPREDELENI@ S^ITA@T RADIUS SHODIMOSTI R \TOGO RQDA RAWNYM +1 I W \TOM SLU^A@ POLAGA@T, ^TO INTERWAL SHODIMOSTI SOWPADAET SO WSEJ

OSX@ Ox. eSLI VE RQD nP1=0 cn(x ; a)n SHODITSQ TOLXKO PRI x = a, TO

PO OPREDELENI@ POLAGA@T R = 0 I S^ITA@T, ^TO STEPENNOJ RQD NE

IMEET INTERWALA SHODIMOSTI. tAKIM OBRAZOM, RADIUS SHODIMOSTI R,

+1, OPREDELEN DLQ L@BOGO STEPENNOGO RQDA.

2.2.5.

wY^ISLENIE RADIUSA

SHODIMOSTI.

pUSTX n1=0 cnxn

{

STEPENNOJ RQD S RADIUSOM SHODIMOSTI R.

1) eSLI lim

cn+1

= q (0

6 q

), TO R = 1=q PRI \TOM POLAGA@T

n!1

R = +

PRI q

= 0 I R = 0

PRI q = +

2) eSLI nlim!1jcnj1=n = q, 0

6 q +1, TO R = 1=q PRI \TOM POLAGA@T

R = +1 PRI q = 0 I R

= 0

PRI q = +1.

4sM., NAPRIMER, 1.1.5 IZ [1].

sTEPENNYE RQDY

/ 1). tAK KAK PRI x = 0 RQD n1=0 cnxn SHODITSQ, TO MOVNO S^ITATX, ^TO

x = 0. kROME TOGO, lim

cn+1xnP+1

lim

cn+1

cnxn

n!1

j n!1

j j

eSLI 0 < q < + , TO PO PRIZNAKU dALAMBERA

1.3.1 PRI x q < 1 (T.E.

PRI jxj < 1=q) RQD1

n1=0 cnxn ABSOL@TNO SHODITSQ, A PRI jjxjj q > 1 (T.E.

PRI

1=q)

RQD n1=0Pcnxn RASHODITSQ \TO OZNA^AET, ^TO R = 1=q. eSLI

ABSOL@TNO SHODITSQ DLQ

q = 0,

q = 0 I STEPENNOJ RQD n1=0 cnxn

j j

WSEH x, T.E. R = +1.

1 cnxn

eSLI q = +

I x = 0,

= +

I RQD

RASHODITSQ DLQ

n=0

WSEH x = 0, T.E. R = 0.

2). w 6\TOM

SLU^AE

DOKAZATELXSTWO

ANALOGI^NO

DOKAZATELXSTWU

PUNKTA 1). nADO LI[X WMESTO PRIZNAKA dALAMBERA 1.3.1 PRIMENITX RADIKALXNYJ PRIZNAK 1.3.2. .

2.2.6. sWOJSTWA SUMMY STEPENNOGO RQDA. pUSTX STEPENNOJ RQD

n1=0 cnxn IMEET RADIUS SHODIMOSTI R > 0 I S(x) { SUMMA \TOGO RQDA

NA INTERWALE SHODIMOSTI (;R R).

dLQ L@BOGO r

(0 R) RQD n1=0 cnxn RAWNOMERNO SHODITSQ NA [

;

r r].

sUMMA S(x) NEPRERYWNA NA INTERWALE (;R R).

1 cn

xn+1

dLQ L@BOGO x 2 (;R R) SU]ESTWUET

S(x)dx =

n + 1

n=0

(;R R)

INTERWALE

SU]ESTWUET

PROIZWODNAQ

S0(x) =

ncnxn;1.

n=1

xn+1

n 1

rQDY

cn n + 1

n=1

ncnx ;

POLU^ENNYE PO^LENNYM

n=0

n1=0 cnxn, IME@T

INTEGRIROWANIEM I

DIFFERENCIROWANIEM RQDA

TAKOJ VE RADIUS SHODIMOSTI,

^TO I ISHODNYJ RQD n1=0 cnxn.

sUMMA S(x) IMEET NA INTERWALE (;R R) PROIZWODNYE WSEH POR-

QDKOW, KOTORYE MOGUT BYTX POLU^ENY PUTEM PO^LENNOGO DIF-

FERENCIROWANIQ RQDA n1=0 cnxn

SOOTWETSTWU@]EE ^ISLO RAZ.

22 fUNKCIONALXNYE RQDY

/ 1). rQD

cn rn

SHODITSQ. tAK KAK

cnxn

6 cn rn

DLQ WSEH

x 6

n=0

j j

P j

r, TO NEOTRICATELXNYJ ^ISLOWOJ RQD n1=0

rn MAVORIRUET NA [

;

r r]

P j

STEPENNOJ RQD n1=0 cnxn. pO PRIZNAKU wEJER[TRASSA 2.1.3

RQD n1=0 cnxn

RAWNOMERNO SHODITSQ NA [;r r].

2). pUSTX x0 2

(;1

1). sU]ESTWUET TAKOE ^ISLO r, 0 < r < R, ^TO x0 2

[;r r]. pO

RAWNOMERNO SHODITSQ NA [;r r]. pO 2.1.5 SUMMA

1) RQD nP=0 cnx

S(x) NEPRERYWNA NA [;r r]. w ^ASTNOSTI, S(x) NEPRERYWNA W TO^KE x0 2

[;r r].

3). eSLI r { SEREDINA INTERWALA (jxj R), TO jxj < r < R I PO 1) RQD

SODERVA]EM x. tEPERX

nP=0 cnx RAWNOMERNO SHODITSQ NA OTREZKE [;r r],

PROINTEGRIRUEM RQD PO^LENNO (SM. 2.1.8).

4). wYBEREM DWA ^ISLA p I r S USLOWIEM jx0j

< p < r < R I OBOZNA^IM

q = p=r < 1. tAK KAK W TO^KE r RQD n1=0 cnxn ABSOL@TNO SHODITSQ, TO

SU]ESTWUET TAKOE

M > 0,

^TO

jcnjr

n 6P

DLQ WSEH

n 2

dLQ L@BOGO

x 2

[;p p] IMEEM njcnxn;1j 6 njcnjpn;1 = njcnjrn;1 pr

! ;

6 Mnqn;1,

GDE 0 < q < 1. pO\TOMU RQD n1=1 ncnxn;1 MAVORIRUETSQ POLOVITELXNYM

RQDOM n1=1 Mnqn;1, KOTORYJ PO PRIZNAKU dALAMBERA 1.3.1 SHODITSQ. pO

RQD n1=1 ncnxn;1

RAWNOMERNO SHODITSQ NA

PRIZNAKU wEJER[TRASSA 2.1.3

OTREZKE [

p p]

I RQD n1=0 cnxn

;

MOVNO PO^LENNO DIFFERENCIROWATX W

TO^KE x0 2 [;p p].

I 4) RQDY 1 cn

n+1

1 ncnxn;1 SHODQTSQ W

5). tAK KAK PO 3)

+ 1

n=0

n=1

INTERWALE (;R R), TO IH RADIUSY SHODIMOSTI NE MENX[E R. kROME

TOGO,

RQD

n1=0 cnxn { REZULXTAT PO^LENNOGO DIFFERENCIROWANIQ RQDA

1 cn

xn+1

1 ncnxn;1. pO\TOMU R

I PO^LENNOGO INTEGRIROWANIQ RQDA

n + 1

n=0

n=1

NE MOVET BYTX MENX[E UPOMQNUTYH RADIUSOW SHODIMOSTI I RADIUSY SHODIMOSTI WSEH TREH RQDOW RAWNY MEVDU SOBOJ.

6). nADO NESKOLXKO RAZ PRIMENITX 4) I 5). .

2.2.7. rQDY tEJLORA I mAKLORENA.

sTEPENNYE RQDY

eSLI FUNKCIQ f(x) IMEET PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0, TO STEPENNOJ RQD

f(x0) + f0(x0)(x ; x0) +	f00(x0)			(x ; x0)2 + : : : +			f(n)(x0)	(x ; x0)n + : : : =
f(x0) + f0(x0)(x ; x0) +		2!		(x ; x0)2 + : : : +			n!	(x ; x0)n + : : : =
		1	f(n)(x0)			n
	=	X		n!	(x ; x0)
	=	n=0		n!	(x ; x0)
		n=0

PO STEPENQM x ; x0 NAZYWAETSQ RQDOM tEJLORA FUNKCII f(x) W TO^KE
x0. eSLI x0 = 0 I	FUNKCIQ f(x)				RAZLAGAETSQ W RQD PO STEPENQM
x, TO f(x) = f(0) + f0	(0)x +	f00	(0)	x2	+ : : : +	f(n)(0)	xn + : : : I \TOT RQD
		2!				n!

tEJLORA TAKVE NAZYWAETSQ NAZYWAETSQ RQDOM mAKLORENA FUNKCII f(x).

2.2.8. pRIMER FUNKCII, KOTORAQ IMEET PROIZWODNYE WSEH POR- QDKOW NA WSEJ OSI Ox I NE SOWPADAET PRI x = 0 S SUMMOJ SWOEGO

RQDA mAKLORENA.
/ mOVNO PROWERITX, ^TO FUNKCIQ f(x) = 8		e;1=x2	PRI x = 0		IMEET
/ mOVNO PROWERITX, ^TO FUNKCIQ f(x) = 8		0		6	IMEET
	<	0	PRI x = 0
PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW NA WSEJ OSI	Ox,	PRI^EM		f(0) =	f0(0) =
	:
: : : = f(n)(0) = : : : = 0, T.E. WSE KO\FFICIENTY RQDA tEJLORA FUNKCII

f(x) W TO^KE x0 = 0 RAWNY NUL@. pO\TOMU RQD tEJLORA FUNKCII f(x) W TO^KE x0 = 0 SHODITSQ NA WSEJ OSI Ox I EGO SUMMA RAWNA NUL@, W TO WREMQ KAK f(x) { NENULEWAQ FUNKCIQ. tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ f(x) NE RAZLAGAETSQ W RQD tEJLORA W TO^KE x0 = 0. .

2.2.9. rAZLOVENIQ FUNKCIJ W STEPENNYE RQDY. gOWORQT, ^TO

FUNKCIQ

f(x)

W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI

(x0

; R x0 + R), R > 0,

TO^KI

x0 2RAZLAGAETSQ W STEPENNOJ RQD

1 an(x

;

x0)n PO STEPENQM x

;

x0,

n=0

DLQ WSEH x 2

; R x0 + R).

ESLI f(x) = nP=0 an(x ; x0)

(x0

pUSTX FUNKCIQ f(x) IMEET PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW W NEKOTOROJ

OKRESTNOSTI D TO^KI x0.

1) eSLI f(x) =

1 an(x

; x0)n DLQ WSEH x 2 D, TO an =

f(n)(x0)

DLQ

n=0

WSEH n 2 N.

24 fUNKCIONALXNYE RQDY

2) eSLI Rn(x) { n-J OSTATO^NYJ ^LEN W FORMULE tEJLORA, 5 T.E.

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x ; x0) + f00(x0)(x ; x0)2+ 2!

+ : : : + f(nn)(!x0)(x ; x0)n + Rn(x)

TO RAZLOVIMOSTX FUNKCII f(x) W RQD tEJLORA PO STEPENQM x ; x0

W OKRESTNOSTI D RAWNOSILXNA TOMU, ^TO nlim!1 Rn(x) = 0.

3) eSLI SU]ESTWUET TAKAQ POSTOQNNAQ M > 0, ^TO jf(n)(x)j 6 M DLQ WSEH x 2 D I n = 0 1 2 : : :, TO f(x) RAZLAGAETSQ W D W RQD tEJLORA PO STEPENQM x ; x0.

/ 1). fUNKCIQ f(x)

IMEET PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW W OKRESTNO-

STI x0

f(n)(x) =

1 k(k ; 1) : : : (k ; n + 1)ak(x ; x0)k;n

DLQ WSEH

k=n

N. pODSTAWLQQ W \TO RAWENSTWO x = x0, POLU^IM f(n)(x0) = n!an,

f(n)(x0)

an =

D FUNKCII f(x)

2). rAZLOVIMOSTX

W RQD

tEJLORA

STEPENQM

;

RAWNOSILXNA

TOMU,

^TO

f(x) =

lim

f(k)(x0)

;

x0)k, T.E.

!1 k=1

n f(k)(x0)

lim

f(x)

x0)k

= lim

Rn(x) = 0 DLQ WSEH x

; k=1

;

n!1

I U^ITYWAQ

3). zAPISAW OSTATO^NYJ ^LEN Rn(x) IZ FORMULY tEJLORA

NERAWENSTWA jf(n)(x)j 6 M POLU^IM, ^TO

Rn(x)

f(n+1)(c)(x

;

x0)n+1

6 Mjx ; x0jn+1

(

)

(n + 1)!

n+1

GDE

TO^KA

LEVIT

MEVDU

rQD

1 Mjx ; x0j

SHODIT-

n=0

(n + 1)!

SQ PO

PRIZNAKU

dALAMBERA 1.3.1 I

PRIZNAKU

NEOBHODIMOMU

lim

Mjx ; x0jn+1 = 0. oTS@DA I IZ (

)

SLEDUET,

^TO

lim Rn(x) = 0.

n!1

(n + 1)!

n!1

pO\TOMU f(x)

RAZLAGAETSQ W D W RQD tEJLORA PO STEPENQM x ; x0. .

5sM., NAPRIMER, 2.3.1 I 2.3.3 W [2].

6sM., NAPRIMER, 2.3.3 IZ [2].

sTEPENNYE RQDY

2.2.10. rAZLOVENIE NEKOTORYH FUNKCIJ W RQD mAKLORENA

= 1 + x + x2 + x3 + : : : =

1 xn PRI jxj < 1

;

n=0

= 1 ; x + x2 ; x3 + : : : =

1 (;1)nxn

PRI jxj < 1

1 + x

n=0

= 1 + x +

DLQ WSEH x

+ : : : =

n=0

sin x = x

+ x5

: : : =

(;1)kx2k+1 DLQ WSEH x

; 3! 5! ; 7! ;

(2k + 1)!

k=0

cos x = 1

+ x4

+ : : : =

(;1)kx2k DLQ WSEH x

; 2!

4! ; 6!

(2k)!

k=0

ln(1 + x) = x ;

(

1)n;1xn

2 +

3 ;

4 +

: : : =

;

PRI jxj < 1

n=1

arctg x = x

+ x5

+ : : : =

1 (;1)nx2n+1

PRI x < 1.

; 3

5 ; 7

+ 1

j j

n=0

/ rAZLOVENIE 1) DOKAZANO W 1.1.7, A RAZLOVENIE 2) SLEDUET IZ

RAZLOVENIQ 1) PRI PEREHODE OT K x K ;x.

3), 4) I 5). dLQ WSEH x IZ PROIZWOLXNOGO INTERWALA (;R R) IMEEM

j(ex)(n)j = jexj 6 eR

j(sin x)(n)j

= sin x + n

2 ! 6 1

j(cos x)(n)j

6 1:

cos x + n 2 !

pO\TOMU MOVNO PRIMENITX DOSTATO^NOE USLOWIE 2.2.9(3) RAZLOVIMO-

STI FUNKCII W RQD tEJLORA K FUNKCIQM ex, sin x,

cos x NA L@BOM

INTERWALE (;R R). pO\TOMU ESLI f(x)

{ ODNA IZ \TIH FUNKCIJ, TO

f(x) =

f(n)(0)

DLQ WSEH x. pODSTAWLQQ W \TOT RQD tEJLORA f(x) =

n=0

ex I f(n)(0) = e0 = 1 DLQ WSEH n, POLU^IM RAZLOVENIE 3).

dOKAVEM TEPERX 4) DLQ f(x)

= sin x. tAK KAK f(n)(0) = sin n 2 !, TO

DLQ ^ETNYH n = 2k (k = 0 1 2 : : :) IMEEM f(2k)(0) = sin k = 0, A DLQ

NE^ETNYH n = 2k + 1 (k = 0 1 2 : : :) POLU^AEM

f(2k+1)(0) = sin

k + 2 ! = cos k = (;1)k:

26	fUNKCIONALXNYE RQDY

oTS@DA WYTEKAET RAZLOVENIE 4).

5)DOKAZYWAETSQ ANALOGI^NO 4).

6)I 7). bERQ PRI jxj < 1 PO^LENNO INTEGRAL OT 0 DO x OT STEPENNYH RQDOW

= 1 ; x + x2 ; x3 + : : :

= 1 ; x2 + x4 ; x6 + : : :

1 + x

1 + x2

POLU^IM RAZLOVENIQ

= ln(1 + x) = x ; 2 +

3 ; : : :

1 + x

= arctg x = x ; 3

5 ; : : : :

1 + x2

mOVNO DOKAZATX, ^TO RAZLOVENIQ 6) I 7) WERNY I PRI x = 1, T.E.

1		1	1			1		1	1
ln 2 = 1 ; 2	+	3	; 4	+ : : :	4	= 1 ; 3	+	5	; 7	+ : : : : .

2.2.11. zAME^ANIE. pUSTX a { ^ISLO. mOVNO DOKAZATX, ^TO PRI jxj < 1

(1 + x)a = 1 +

x + a(a ;

1)x2 + a(a ;

1)(a ; 2)x3

+ : : : =

= 1 + 1

a(a ; 1) (a ; (n ; 1))xn:

n=1

w ZADA^AH

2.2.12 { 2.2.16 NAJTI OBLASTI SHODIMOSTI RQDOW.

2.2.12.

1 n!xn. / oBLASTX SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA 1 n!xn SOSTOIT

n=0

POSKOLXKU DLQ WSEH x = 0

IZ ODNOJ TO^KI x = 0,

nlim

(n + 1)!xn+1

= nlim (n + 1)jxj = +1 > 1

n!xn

I PO PRIZNAKU dALAMBERA

1.3.1

RQD RASHODITSQ DLQ WSEH x = 0. .

2.2.13.

/ oBLASTX SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA

SOWPADAET

n=0

SO WSEJ OSX@ Ox, POSKOLXKU DLQ WSEH x = 0

lim

n!xn+1

= lim

jxj

= 0 < 1

(n + 1)!xn

n!1

n!1n + 1

sTEPENNYE RQDY

I PO PRIZNAKU dALAMBERA 1.3.1 RQD SHODITSQ DLQ WSEH x = 0. (pRI x = 0

RQD TOVE SHODITSQ.) .

2.2.14.

1 n xn. / tAK KAK RQD

1 n xn SHODITSQ PRI x = 0 I DLQ WSEH

x = 0

n=0

lim

(n + 1)xn+1

lim n + 1 =

n!1

nxn

j n!1 n

j j

RQD SHODITSQ PRI jxj

< 1 I RASHODITSQ

TO PO PRIZNAKU dALAMBERA 1.3.1

PRI

> 1. pRI

= 1 RQD RASHODITSQ PO NEOBHODIMOMU PRIZNAKU

lim

= 0. pO\TOMU OBLASTX@

SHODIMOSTI 1.1.5, TAK KAK TOGDA

nx =

n!1

1 6

SHODIMOSTI NA[EGO RQDA QWLQETSQ INTERWAL

(

;

1 1). .

2.2.15.

. / tAK KAK RQD

SHODITSQ PRI x = 0 I DLQ WSEH x = 0

n=0

lim

n2xn+1

lim

(n + 1)2xn

n!1

j n!1 n + 1!

j j

TO PO

RQD SHODITSQ PRI jxj < 1

I RA-

PRIZNAKU dALAMBERA

1.3.1

SHODITSQ PRI

jxj

1. pRI

jxj

= 1 RQD ABSOL@TNO SHODITSQ,

TAK KAK

TOGDA

I PO 1.2.7

OBOB]ENNYJ GARMONI^ESKIJ RQD

n=1

POKAZATELEM 2 > 1 SHODITSQ. pO\TOMU OBLASTX@ SHODIMOSTI NA[EGO

RQDA QWLQETSQ OTREZOK [ 1 1]. .

2.2.16.

1 xn

. / tAK KAK;RQD

SHODITSQ PRI x = 0 I DLQ WSEH x = 0

n=0

lim

nxn+1

lim

x , TO PO PRIZNAKU dALAMBERA 1.3.1

+ 1)xn

n!1

j j

n!1n + 1

j j

RQD SHODITSQ PRI

x < 1 I RASHODITSQ PRI

kROME TOGO, RQD

1 x

RASHODITSQ PRI x =

1 PO 1.2.7 I PO PRIZNAKU lEJBNICA 1.3.4

n=1

;1. pO\TOMU OBLASTX@ SHODIMOSTI NA[EGO RQDA

SHODITSQ PRI x =

QWLQETSQ POLUINTERWAL [;1 1). .

28	fUNKCIONALXNYE RQDY

2.3.rQDY fURXE

2.3.1. kAVDOJ INTEGRIRUEMOJ NA OTREZKE [;` `] FUNKCII f(x) SOPO- STAWIM FUNKCIONALXNYJ RQD, NAZYWAEMYJ RQDOM fURXE DLQ f(x) NA

[;` `]:

f(x) 2 +

an cos

` nx + bn sin ` nx!,

n=1

GDE ^ISLOWYE

KO\FFICIENTY

an bn WY^ISLQ@TSQ PO

FORMULAM

1 `

an = ` Z f(x) cos ` nx dx,

bn = ` Z

f(x) sin ` nx dx n = 1 2 : : :

NAZYWA@TSQ KO\FFICIENTAMI fURXE DLQ f(x) (NA [;` `]).

eSLI

f(x)

{

^ETNAQ

FUNKCIQ,

WSE

RAWNY

NUL@

f(x)

n x

an cos

GDE an = `

f(x) cos

` nx dx:

n=1

eSLI

f(x) {

NE^ETNAQ

FUNKCIQ,

WSE

RAWNY

NUL@

f(x)

1 bn sin n`x,

GDE bn = 2`

` f(x) sin ` nx dx. dOPUSTIM, ^TO NA

[;` `]

n=1

FUNKCIQ f(x) MOVET

BYTX

RAZRYWNA TOLXKO W

KONE^NOM

^ISLE

TO^EK

\TOGO

OTREZKA

RAZRYWY

W \TIH

TO^KAH

{ TOLXKO

PERWOGO RODA, A TAKVE f(x) IMEET NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ WS@DU NA [;` `], KROME, BYTX MOVET, KONE^NOGO ^ISLA TO^EK, W KOTORYH TEM NE MENEE SU]ESTWU@T ODNOSTORONNIE PREDELY f0(x+) I f0(x;), PRI^EM TAKVE PREDPOLAGAETSQ SU]ESTWOWANIE KONE^NYH ODNOSTORONNIH

PREDELOW f0(a+) I f0(b;). tOGDA MOVNO DOKAZATX, ^TO RQD fURXE NA

[;` `] FUNKCII f(x) SHODITSQ W KAVDOJ TO^KE x 2 [;` `], PRI^EM ESLI

S(x) =

2 +

an cos

` nx + bn sin ` nx!, TO

n=1

S(x) =

f(x+) + f(x

;

)

PRI

2 (;` `)

S(`) = S(;`) =

;

`+) + f(`

)

NEPRERYWNA W TO^KE x 2

;

w ^ASTNOSTI, ESLI f(x)

(;` `), TO f(x) = S(x).

2.3.2. rAZLOVITX FUNKCI@ y = 8

PRI 0

x <

W RQD fURXE NA

PRI ; < x < 0:

(; ) PRI ` = .

rQDY fURXE

/ wY^ISLQEM a0 = 1 Z f(x) dx = 1 Z0

2 dx + 1 Z (;4) dx = 2

; 4 = ;2,

;

an = 1

f(x) cos nx dx = 1 Z

2 cos nx dx + 1

(;4) cos nx dx =

;

2 sin nx

;

4 sin nx

; 0; n

= 0

bn = 1

Z f(x) sin nx dx ==

1 Z

2 sin nx dx + 1 Z (;4) sin nx dx =

;

= ;

cos nx 0

= ;

(1 ; (;1)n) +

((;1)n ; 1) =

PRI n = 2k; k

f(x)

S(x) =

1 + 1

12 sin(2k

;

1)x

: .

;

(2k

PRI n = 2k

;

1 k

n=1

;

2.3.3. rAZLOVITX FUNKCI@ y = x W RQD fURXE NA (; ) PRI ` = I

NAJTI SUMMU S(x) \TOGO RQDA PRI x = 30 I x = 61 =2.

/ tAK KAK f(x) = x { NE^ETNAQ FUNKCIQ, TO an = 0 DLQ WSEH n I

bn =

Z x sin nx dx = ;

Z x d cos nx = ;

x cos nx

Z cos nx dx =

2cos n +

(;1)

n+1

(;1)

n+1

;

sin nx = 2

f(x)

S(x) = 2

sin nx

n=1

PRI^EM x = 2 1 (;1)nn+1 sin nx DLQ WSEH x 2 (; ) W SILU NEPRERYWNO-

n=1

STI FUNKCII

S(0)

f(0)

f(x) = x. w ^ASTNOSTI, S(30 ) =

S(61 =2) = S( =2) = f( =2) = =2.

2.3.4. pUSTX f(x) { NE^ETNAQ FUNKCIQ, KOTORAQ RAWNA

2 ; x NA

INTERWALE (0 ). rAZLOVITX f(x) W RQD fURXE NA (; ) PRI ` = .

/ tAK KAK f(x) { NE^ETNAQ FUNKCIQ, TO an = 0 PRI n = 0 1 2 : : :, PRI^EM

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022312.35 Кб0245013.pdf
#
26.02.2023155.35 Кб1245273.pdf
#
13.11.202218.49 Mб42453.doc
#
13.11.2022125.44 Кб22464.doc
#
13.11.2022583.68 Кб32465.doc
#
15.11.2022475.29 Кб1246503.pdf
#
15.11.2022366.19 Кб2247862.pdf
#
13.11.20221.45 Mб42485.doc
#
13.11.20224.43 Mб112495.doc
#
13.11.2022885.25 Кб42497.doc
#
15.11.2022609.27 Кб0249821.pdf