469374

3. Часть общечеловеческой культуры.

Математика является неотъемлемой частью культурного наследия. На протяжении многих тысячелетий развития человечества происходило накопление математических фактов, что примерно две с половиной тысячи лет назад привело к возникновению математики как науки. По всеобщему признанию, литература и искусство являются частью общечеловеческой культуры. Ценность же математики, как правило, видят в ее практических приложениях, но ведь сами эти приложения также принадлежат общекультурной сокровищнице человечества (общеизвестно, что в период зарождения математики ход ее развития определялся именно потребностями практики – это древнейшие способы измерения площадей, построения прямого угла, и т. д.).

Математика имеет богатейшие возможности воздействия на выработку научного мировоззрения и достижение необходимого общекуль - турного уровня. Как писал Г. Вейль, «в природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов» [5]. Каждый культурный и образованный человек должен иметь представление об основных понятиях математики, таких, как число, функция, математическая модель, алгоритм, вероятность, и т.п. При этом особенно важно, что речь идет именно об основных понятиях и идеях, а не о наборе конкретных формул и теорем (П.В. Грес), и о понимании сути этих понятий и идей, например, о производной как о мгновенной скорости, об определенном интеграле как о площади, а не о заучивании терминов и обозначений (В.А. Успенский) [13].

Математика является частью общечеловеческой культуры, такой же неотъемлемой и важной как право, медицина, естествознание и многое другое. И ведь многие согласятся с тем, что человека, не знающего А.С. Пушкина, не слышавшего о Моцарте и незнакомого с работами Леонардо да Винчи, нельзя определить как культурного и образованного, однако не все осознают, что таковым трудно назвать и человека, не имеющего никакого представления, к примеру, об идеях Эйлера или Н.И. Лобачевского. Многим специалистам из разных научных областей сегодня ясно, что дальнейшее развитие науки без количественных методов, математического моделирования и использования современных вычислительных средств просто невозможно.

4. Основа математической культуры и логического мышления как элемента профессиональной компетентности.

Математик и гуманитарий обладают различными стилями мышления, и ознакомление с иным стилем обогащает и того и другого. В частности, изучение общеизвестного аксиоматического метода, при котором в рассуждениях используется только та информация, которая явно прописана в аксиомах, воспитывает привычку к строгому мышлению, а

знакомство со свойствами бесконечных множеств развивает воображение. Понятно, что сами по себе аксиоматический метод или свойства бесконечных множеств вряд ли потребуются гуманитарию, но строгость мышления и воображение будут полезны [13].

Поскольку образование состоит не только в расширении круга знаний, но и в расширении навыков мышления, то и цель обучения гуманитариев математике состоит не столько в сообщении знаний или в обучении методу, сколько в изменении и расширении психологии обучающегося путем привития ему строгой дисциплины мышления. Более того, считает В.А. Успенский, роль математики в подготовке гуманитариев можно сравнить с ролью строевой подготовки в обучении воина. Все эти ружейные артикулы, повороты, строевой шаг и иные движения, которым обучают молодого бойца, вряд ли находят применение в реальном бою, но во всех армиях мира они рассматриваются как необходимая основа всякого военного обучения, поскольку приучают выполнять команды. Только строевая подготовка тренирует дисциплину действий, а математика - дисциплину мышления

[13].

Вспомним слова М.В. Ломоносова: «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Прежде всего, своим внутренним порядком и логикой. Внутренний порядок в математике устанавливается особым образом с помощью отношения логического следования. Математика влияет на упорядочение ума и такими особенностями, как общность и абстрактность своих конструкций. Математика полна всякого рода правил, общих, строго определенных методов решения различных классов однотипных задач. Решая любую такую задачу, необходимо строго следовать точному предписанию – алгоритму - о том, какие действия и в каком порядке надо выполнить для решения задачи данного типа, или находить алгоритм [3].

Изучение математики воспитывает логическое мышление, позволяет правильно устанавливать причинно-следственные связи, что, безусловно, должен уметь каждый человек. «У людей, усвоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных» - заметил биолог Ч. Дарвин [3. – С. 30]. Математика учит точно формулировать разного рода правила, предписания, инструкции и строго их исполнять, что необходимо каждому специалисту. Любой профессионал, не только математик, должен уметь рассуждать логически, применять на практике индуктивный и дедуктивный методы. Более того, применение математических методов расширяет возможности всякого специалиста. Существенную роль играют статистика, умение правильно обработать информацию, сделать достоверный вывод или прогноз на основании имеющегося статистического материала. Кроме того, в

современном обществе работу специалиста любого профиля невозможно представить без применения средств вычислительной техники [3].

На наш взгляд, значение математики в общей системе человеческих знаний и в гуманитарных науках в частности постоянно возрастает в силу того, что математика является мощным средством решения прикладных задач, универсальным языком науки, частью общечеловеческой культуры, инструментом привития математической культуры и основой логического мышления как элемента профессиональной компетентности.

§ 3. Применение математики в гуманитарных науках.

Науки математические с самой глубокой древности обращали на себя особенное внимание, в настоящее время они получили еще больше интереса по влиянию своему на искусство и промышленность.

П.Л. Чебышев

В настоящее время одни науки уже безоговорочно приняли математику на вооружение, другие только начали ее применять, например, гуманитарии, среди которых есть еще сомневающиеся в перспективности использования математических методов, но на данный момент большая их часть спорит уже не о том, «нужно ли применять», а о том - «где и как лучше применять» [3].

Предметом гуманитарных исследований являются довольно сложные объекты (социальные, экономические и прочие процессы и явления), обладающие рядом свойств. Чем сложнее данное явление, чем более высокой форме движения материи оно принадлежит, тем труднее оно поддается изучению количественными методами, точной математической обработке законов своего движения [7. - С. 389].

Все гуманитарные науки, несмотря на их разнообразие, по мнению Р. Стоуна, имеют две основные области исследования: 1) точное описание функционирования различных общественных систем и взаимосвязей их отдельных частей (в исследованиях такого рода анализируется структура системы); 2) решение проблем управления, т.е. рассмотрение влияния сознательно применяемых методов на функционирование различных социальных структур, и анализ рациональных процессов, которые лежат в основе определения направления развития (в этих исследованиях изучаются принимаемые решения) [12].

Отсюда принципиально важным вопросом степень математизации научной дисциплины. Согласно Н.Н. Моисееву, «этап математизации гуманитарной науки начинается тогда, когда ей не хватает того естественного языка, с которого началось ее становление, когда возможности этого языка для прогресса науки оказались исчерпанными» [9. - С. 166]. Сущность процесса математизации, собственно, и

заключается в применении количественных понятий и формальных методов математики к качественно разнообразному содержанию частных наук, которые должны быть достаточно развитыми, зрелыми в теоретическом отношении и признавать в достаточной мере единство качественного многообразия изучаемых ими явлений. Именно этим обстоятельством, считает В.П. Кохановский, определяются возможности математизации данной науки. Однако сам переход осуществляется лишь тогда, когда наука «готова» к математизации, т.е. когда становится возможным измерение изучаемых явлений, что требует определенного теоретического уровня познания исследуемых явлений и процессов. «Математизация, таким образом, будет эффективной только тогда, когда математизируемая наука будет достаточно зрелой, обладающей сложившимся концептуальным аппаратом, т.е. в ней должны быть установлены на качественном уровне наиболее важные понятия, гипотезы, обобщения и законы» [10. - С. 91].

Согласно М.Г. Шендерюк, существует три формы математизации научного познания: 1) численное выражение изучаемой реальности для выявления количественной меры соответствующих качеств; 2) построение математических моделей исследуемых явлений и процессов; 3) построение новых и выражение и анализ существующих научных теорий, т.е. формализация основных итогов самого научного знания [15].

Одним из ведущих направлений по использованию математических методов в гуманитарных исследованиях является моделирование различных процессов. К другим направлениям относится применение таких математических методов, как методы матричной алгебры и уравнений в конечных разностях (при необходимости эмпирического анализа дискретных наблюдений), и методы дифференциального и интегрального исчисления и уравнений в частных производных (при необходимости чисто теоретического анализа данных непрерывного характера).

Рассмотрим, каким образом применяются математические знания при проведении исследований в различных гуманитарных науках.

1. Социологические исследования.

Выделим, следуя О.В. Цымбалист, наиболее типичные виды математических моделей, используемые в гуманитарных исследованиях социологического профиля [14]:

Вероятностные распределения используются, например, для моделирования распределения доходов населения, моделирования среднего времени ожидания обслуживания и т.д.

Аппарат марковских цепей используется для анализа и прогноза численности тех или иных социальных групп, тенденций их

изменения и т.п. (в этнографии, демографии, криминологии, эпидемиологии и пр.).

 Модели целенаправленного поведения представляют собой непосредственное использование целевых функций и предпочтений для анализа, прогнозирования и планирования процессов в сфере потребления, трудового поведения и др.

 Имитационные модели - класс моделей, реализованных в виде алгоритмов и программ для ЭВМ, отражающих относительно сложные зависимости, не поддающиеся аналитическому анализу (широко применяется для исследования проблем развития городов, регионов, экологических и других сложных систем).

Моделирование предпочтений описывается на языке теоретико-множественных отношений или целевых функций.

Статистические исследования зависимостей - класс моделей,

широко распространенный в социологических исследованиях.

2. Экономические исследования.

Объекты изучения экономической науки можно охарактеризовать кибернетическим понятием «сложная система». Под системой принято понимать совокупность элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Например, экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы - она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т. д.) [14].

Важным качеством любой системы является эмерджентность — наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. В этой связи одна из трудностей экономических исследований состоит в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы. Такая сложность экономики иногда рассматривается как обоснование невозможности ее изучения средствами математики и моделирования. Но сложные объекты как раз представляют наибольший интерес для моделирования, поскольку именно здесь оно может дать результаты, которые нельзя получить другими способами.

Можно выделить следующие аспекты применения математических методов и математического моделирования в частности в решении проблем экономических исследований [14]:

 Совершенствование системы экономической информации. Математические методы позволяют упорядочить систему

экономической информации, выявлять недостатки в имеющейся информации и вырабатывать требования для подготовки новой

информации или ее корректировки. Разработка и применение экономикоматематических моделей указывают пути совершенствования экономической информации, ориентированной на решение определенной системы задач планирования и управления. Прогресс в информационном обеспечении планирования и управления опирается на бурно развивающиеся технические и программные средства информатики.

 Интенсификация и повышение точности расчетов. Формализация экономических задач и применение ЭВМ многократно

ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают трудоемкость, позволяют проводить многовариантные экономические обоснования сложных мероприятий, недоступные при господстве «ручной» технологии.

 Углубление количественного анализа экономических проблем. Благодаря применению метода моделирования значительно усиливаются возможности конкретного количественного анализа; изучение многих факторов, оказывающих влияние на экономические процессы, количественная оценка последствий изменения условий

развития экономических объектов и т.п.

 Решение принципиально новых экономических задач. Посредством математического моделирования удается решать такие

экономические задачи, которые иными средствами решить практически невозможно, например: нахождение оптимального варианта народнохозяйственного плана, имитация народнохозяйственных мероприятий, автоматизация контроля за функционированием сложных экономических объектов. Сфера практического применения метода моделирования ограничивается возможностями и эффективностью формализации экономических проблем и ситуаций, а также состоянием информационного, математического, технического обеспечения используемых моделей.

3. Лингвистические исследования.

С точки зрения В.А. Успенского, для современно лингвиста математика нужна как элемент образования (часть человеческой культуры) и как часть подготовки к профессии (определенная грамотность в области математики). Относительно первого требования можно заметить, что для научной работы лингвистов представляется полезным их приобщение к математическому стилю мышления путем соблюдения терминологической точности, однозначного прочтения формул, наглядности и структурирования материала [8. – С. 687]. Для математика главное - уметь решать задачу, поэтому все понятия носят для него лишь вспомогательный характер, а для лингвиста гораздо важнее сам понятийный аппарат, главное - понимать связь понятий и определений друг с другом [13].

Так, В.А. Успенский приводит следующий пример. На вопрос студентов-лингвистов о том, в чем состоит аксиома о параллельных, знакомой еще со школы, как правило, дается ответ: параллельные прямые не пересекаются. Тогда при ответе на вопрос, что же такое параллельные прямые, звучит: это те прямые, которые не пересекаются. Тогда в чем же состоит аксиома? Такой вопрос, утверждает автор, не для испытания памяти, а для того, чтобы привести к пониманию о том, что у этой аксиомы есть другой смысл. Ведь если параллельные прямые - те, которые не пересекаются, то не может аксиома о параллельных состоять в том, что параллельные прямые не пересекаются. Равно, как и не может она состоять и в том, что параллельные прямые пересекаются. Такое противоречие заставляет задуматься о смысловой нагрузке математических понятий и определений.

Что касается второго положения, то А.Н. Колмогоров выделил такие математические разделы, которые нужна лингвистам в их профессии: вопервых, это то, что нужно для понимания и использования акустики; вовторых, математическая логика; в-третьих, теория вероятности, статистика и теория информации [5].

Приведем в пример взгляд на тексты, основанный на предложенных принципах. Рассматриваются два множества - алфавит А и множество позиций, которые полагают совершенно произвольными. Тогда под текстом понимается произвольное отображение из множества позиций в алфавит. Особое внимание уделяется множеству всех текстов Ар. Тогда текстовую интерпретацию получают следующие изоморфизмы:

Как считает Г.Б. Набат, в тесном сотрудничестве математиков и лингвистов заложена основа некоторой новой науки о языке [8. – С. 688].

4. Исторические исследования.

Наиболее острым моментом в вопросе применения количественных методов в исторических исследованиях является соотношение количественного и качественного анализа. Не следует, считает М.Г. Шендерюк, противопоставлять количественные методы качественным, под которыми, как правило, понимаются традиционные, описательные методы исторического анализа. Такое противопоставление приводит либо к выводу о несостоятельности количественных методов как формальных в сравнении с качественными, либо к абсолютизации количественных методов, поскольку описательные несовершенны. Важно понимать, что в зависимости от исследовательской задачи и характера конкретно-

исторических данных та или иная разновидность анализа может быть определяющей, но целесообразнее их гармоничное сочетание [15].

Теоретически количественные методы могут применяться при изучении любых явлений и процессов исторической действительности, поскольку всякому качеству присуще определенное количество [4. – С. 321]. Однако, как бы широко математические методы ни использовались в истории, они для нее остаются только вспомогательными методами, но не главными, определяющими [7. - С. 392].

В действительности, применение количественно-математических методов становится все более обширным в исторической науке. Заметим, что активное использование количественных методов в истории начался в конце 1950-х гг. Основной причиной, вызвавшей интерес историков к их использованию, стало широкое введение в исследования массовых исторических источников, которые можно было эффективно обрабатывать только с помощью данных методов. Процесс использования количественных методов значительно упростился в связи применением ЭВМ, позволивших автоматизировать процесс расчета количественных показателей. В 1960 - 1980-х гг. появились «новая экономическая история» (эконометрия) в США и «квантитативная история» (клиометрия) в странах Европы и в СССР. Ведущим направлением квантитативной истории, представляющей собой систематическое применение математических методов в исторических исследованиях, стала область аграрно-исторических исследований. Однако сегодня количественные методы применяются практически во всех сферах исторических исследований (социально-экономических, социально-политических, историко-культурных, археологических), но особую роль играют эти методы в источниковедении (создание баз машиночитаемых данных, проверка достоверности и репрезентативности источников) [15].

Основная цель исторического исследования, использующего количественно-математические методы, состоит в получении новой, непосредственно не выраженной в исходных данных информации. «Взаимопроникновение, синтез конкретно-содержательного, гуманитарного и формально-логического, математического подходов - вот тот узел, искусство завязывания которого при прочих равных условиях обеспечивает успех в применении математических методов в исторических исследованиях» [4. - С. 330].

Приведем пример из области исторических исследований по применению количественно-математических методов.

Период разложения и кризиса феодально-крепостнической системы в России характеризовался, с одной стороны, усилением феодальной эксплуатации крестьянства, а с другой — ростом крестьянского движения. И то и другое конкретно показано в многочисленных трудах историков, посвященных как анализу каждого из указанных явлений в

отдельности, так и параллельному их освещению. Вопрос о том, в какой мере определенная степень эксплуатации и ее усиление влияли на размах борьбы крестьянства и ее нарастание, конкретно не исследовался. Посредством корреляционного анализа установили взаимосвязь между 14 показателями о положении крестьян, среди которых размер их барщинных повинностей до реформы 1804 г. и после нее, а также фиксировалось наличие или отсутствие волнений крестьян. Оказалось, что участие крестьян в волнениях было в целом слабо связано с их положением и эксплуатацией. Размах крестьянских выступлений определялся положением крестьян и интенсивностью их эксплуатации лишь в пределах 12 – 31 %, т. е. зависел в основном не от указанных факторов, а от иных, например, стихийного характера борьбы крестьянства [4. - С. 304]. Таким образом, заключает И.Д. Ковальченко, при несомненной обусловленности классовой борьбы крестьян остротой классового антагонизма и выражавшей его интенсивности эксплуатации конкретный размах борьбы при ее стихийном характере не был однозначно детерминирован этими факторами, а мог определяться другими причинами [4. - С. 304].

С нашей точки зрения, подобный вывод стал возможным, когда соотношение качества и количества было синтезировано на основе обращения к количественным методам. Однако не только анализ и синтез явились ключевыми методами при решении поставленной задачи, но и умение выдвигать гипотезы, моделировать ситуацию, качественно и количественно интерпретировать полученные данные.

Однако самое широкое применение в исторических исследованиях получили методы математической статистики, которые особенно эффективны при изучении массовых исторических источников. Они позво - ляют решать задачи статистического описания совокупности объектов (методы дескриптивной статистики), статистического оценивания параметров генеральной совокупности по выборочным данным (выборочный метод), статистического анализа взаимосвязей (методы корреляционного и регрессионного анализа), классификации объектов или признаков (методы кластерного и факторного анализа), сжатия информации (методы факторного анализа). Применяя эти методы, историк получает информацию, которая не может быть выявлена описательными методами. Это позволяет строить модели изучаемых явлений и процессов, адекватно отражающие их внутреннюю суть, итогом анализа которых является приращение знания [15. - С. 68].

По нашему мнению, использование в исторической науке количественно-математических методов обусловлено необходимостью решения задач расширения источниковой базы исследований и повышения информативной отдачи источника. При этом применение к