Основные понятия кристаллографии

а) б)

Р и с. 15. Инверсионная и зеркальная 3-ная (а) и 6-ная (б) оси симметрии.

Если точки верхней половины кристалла после поворота на 120° отразить не в центре, а в плоскости симметрии, перпендикулярной оси вращения, то придем к расположению точек a4, a5, а6, показанному на рис. 15,б. В данном случае точки верхней половины кристалла размещаются точно над соответствующими точками нижней его половины. Чтобы прийти к подобному расположению точек, применяя операции, показанные на рис. 15,а (поворот и отражение в центре), необходимо повернуть мысленно точки a1, а2 и а3 верхней половины кристалла не на 120, а на 60°. Тогда эти точки перейдут в положения a'1, a'2 и а'3, а после отражения в центре совместятся с точками а4, а5 и а6 нижней половины кристалла. В этом случае мы имеем дело с 6-ной инверсионной осью, так как угол поворота равен 60°. Точки верхней и нижней половин кристалла (рис. 15,а) можно привести в совмещение путем поворота на 60° и последующего отражения их в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то есть оперируя с 6-ной зеркальной осью. Следовательно, инверсионная ось 3-го порядка будет одновременно зеркальной осью 6-го порядка и, наоборот, инверсионная ось 6- го порядка является зеркальной осью 3-го порядка.

Ри с. 16. Кристаллы с 3-ной (а) и 6-ной инверсионной (б) осями

иих стереографические проекции.

На рис. 16, а,б показаны соответственно кристаллы с 3-ной и 6-ной инверсионными осями и их стереографические проекции.

Из вышеприведенного, а также из рассмотрения соответствующих кристаллических форм видно, что 3-ная инверсионная ось представляет обыкновенную 3-ную ось плюс центр симметрии. 6-ная же инверсионная ось представляет обыкновенную 3-ную ось плюс плоскость симметрии, перпендикулярную 3-ной оси.

Составная операция, связанная с инверсионной осью 4-го порядка, представлена на рис. 17. Для приведения точек а1 и а2 нижней половины необходимо повернуть эти точки на 90° и отразить в центре. Из рисунка видно, что в данном случае к тому же результату придем, отразив точки не в центре, а в плоскости симметрии, перпендикулярной оси вращения, то есть инверсионная и зеркальная оси 4-го порядка идентичны.

На рис. 18 изображен кристалл с 4 инверсионной (зеркальной) осью и его проекция.

В кристаллографии инверсионные оси обозначаются - 1,2,3,4,6 , а

зеркальные оси - 1,2,3,4,6. Операции любой инверсионной оси могут быть заменены операциями зеркальной оси:

Инверсионные оси - 1,2,3,4,6

Зеркальные оси - 2,1,6,4,3.

При описании симметрии кристалла достаточно пользоваться лишь одним видом этих осей. Учитывая особенности внутреннего строения кристаллов, обычно имеют дело с инверсионными осями. При этом не все инверсионные оси представляют собой характерные элементы симметрии. Выше отмечалось, например, что 3-ная инверсионная ось отвечает обыкновенной 3-ной оси плюс центр симметрии, т. е. 3 3 1 ; 6-ная инверсионная ось 6 3 m. Лишь 4-ная инверсионная (зеркальная) ось не может быть заменена обыкновенной осью и центром или плоскостью симметрии.

Таким образом, в кристаллах представлены всего семь независимых (неприводимых) элементов симметрии, а именно: (даны в цифровом обозначении): 1,2,3,4,4,6,m.Символом m обозначается плоскость симметрии. Из этих семи неприводимых элементов симметрии 6-ная ось в сущности

также может рассматриваться как комбинация 3-ной и 2-ной осей: 6 = 3 + 2. Поэтому, строго говоря, лишь шесть элементов симметрии кристаллов не могут быть заменены какими-либо комбинациями или выведены один из другого. Инверсионная ось 1-го порядка (1) обозначает здесь центр симметрии.

При наличии оси вращения бесконечного порядка имеет место так называемая предельная симметрия. П. Кюри выделил всего семь групп предельной симметрии. Предельная симметрия характеризует электрическое и магнитное поля, аморфные тела и т. д.

§4. Классы симметрии.

В 1830 г. немецкий ученый Гессель, а в 1867 г. русский академик А.Гадолин независимо друг от друга доказали, что в кристаллах возможны лишь 32 вида симметрии. Для их вывода пользуются пятью основными ступенями симметрии.

1. Полярная, или примитивная, симметрия — без элементов симметрии. Все грани кристалла различны по форме и размерам и, следовательно, не повторяются. В таких кристаллах присутствуют лишь оси идентичности (оси 1 порядка). Каждая грань этих кристаллов представляет собой независимую простую форму, называемую моноэдром, или педионом, где «моноэдр» с греческого означает одна грань, а «педион» — плоскость.

2. Центральная симметрия — имеется центр симметрии. Каждой грани отвечает другая, одинаковая по форме, размерам и антипараллельная первой. Две такие грани образуют простую форму, называемую пинакоидом («пинакс»— доска, таблица).

3.Аксиальная, или осевая, симметрия — имеется одна полярная 2- ная ось. Здесь любая грань совмещается с другой путем поворота на 180° вокруг 2-ной оси. Две такие грани образуют клиновидную форму — сфеноид, или осевой диэдр («сфен»— клин, «ди»— две).

4.Планалъная симметрия — с плоскостью симметрии между двумя гранями, расположенными в виде крыши и совмещающимися друг с другом при отражении в плоскости симметрии. Отсюда название формы —

безосный диэдр.

5.Планаксиалъная симметрия — сочетание двух предыдущих типов (ступеней) симметрии. Характерна четырехгранная форма, называемая

призмой.

Эти пять основных форм симметрии показаны на рис. 19.

Р и с. 19. Основные ступени симметрии.

I – полярная (моноэдр, педион); II – центральная (пинакоид); III - аксиальная, или осевая (сфеноид, осевой диэдр); IV – планальная (безосный диэдр); V – планаксиальная (призма)

Р и с. 20. Вывод пяти классов симметрии путем сочетания 3-ной оси с основными ступенями симметрии.

Так могут быть выведены все 32 класса симметрии кристаллов.

Р и с. 21. Симметрические комплексы 32 классов.

Р и с. 22. Характеристические формы 32 классов.

Р и с. 23. Представители 32 классов симметрии среди кристаллов.

§5. Решетки Бравэ.

Основы современной теории внутреннего строения кристаллов были заложены в начале XIX в. Предложенная в 1784 г. Р.Гаюи теория о плотной упаковке интегрирующих молекул уступила в 1812 г. идее В.Волластона о строении кристаллов по закону пространственной решетки. Эта идея была экспериментально подтверждена в начале ХХ века немецким физиком М.Лауэ, а затем целым рядом исследований строения кристаллов.

В 1842 г. немецкий кристаллограф М. Л. Франкенгейм вывел 15 различных вариантов симметричного расположения точек (узлов) в пространстве. В 1948 г. Бравэ, проверяя результаты предыдущего ученого, установил, что две из выведенных им комбинаций идентичны и поэтому число

на методические указания «Основные понятия кристаллографии» для студентов физических и инженерных специальностей

Методические разработки подготовлены доцентом кафедры ЭиОФ Очировым В.А. и доцентом кафедры ПГС Сангаджиевым М.М.

В работе подробно рассмотрены характерные свойства кристаллов, представлены типы симметрии и разновидности кристаллических решеток.

Темы раскрыты подробно, на хорошем научно-методическом уровне, что окажет существенную помощь студентам физических и инженерных специальностей.

Данную работу необходимо опубликовать.

Рецензент: кандидат физико-математических наук, доцент кафедры ЭОФ КГУ Бисенгалиев Р.А.