Динамика системы соосных тел (90

динат с началом в центре масс O, оси которой параллельны осям системы . За угол относительной закрутки примем угол между экваториальными осями Ox и Ox’. Пусть m1 и m2 – массы тел 1 и 2, соответственно; l – расстояние между центрами масс тел O1 и O2.

Проекции угловой скорости тела 2 в системах Oxyz иO2 xyz одинаковы:

p, q, r , также одинаковы проекции p , q , r угловой скорости тела 1 в

системахOx' y' z' и O1x' y' z', так как соответствующие оси являются па-

раллельным. Расстояния между центрами масс тел 1, 2 и центром масс системы в направлении оси вращения соответственно равны (рис. 2):

l1 lm2 m1 m2 , l2 lm1 m1 m2 , ав направлении,перпендикулярном

оси вращения: d1 dm2 m1 m2 , d2 dm1 m1 m2 .

Малое смещение d (рис. 2) приводит к следующему изменению моментов инерции тела 2 в системе Oxyz:

Ixx A2 m2l22 , I yy A2 m2l22 m2d22 , Izz C2 m2d22 ,

Ixy I yz 0, Ixz m2 ( l2 ) d2 m2l2d2 ,

где A2 , C 2 –экваториальныйипродольный моменты инерциитела2,вычис-

ленные в центральной системе O2 xyz .

Запишем теорему об изменении кинетического момента в системе координат Oxyz в виде(2.3). Дляэтогонайдем проекции кинетических моментов тел

1 и 2 на оси системOx' y' z' и Oxyz, соответственно. Кинетический момент тела 1 вычисляется как сумма кинетических моментов движения центра масс тела 1 – K1e и кинетического момента тела 1 при его вращении относительно

центра масс – K1r :

K1 K1e K1r .

В проекциях на оси системы координатOx' y' z' получим:

координатOx' y' z' к системе Oxyz.

Кинетический момент тела 2 запишем в системе Oxyz:

где I –тензор инерции тела 2.

С учетом (3.1) и (3.2) векторное уравнение (1.4) в системе координат Oxyz приметвид:

Используя выражения (1.1), уравнения (3.3) можно переписать в следующем виде:

A1 A2 p qr C1 A1 C2 A2 C1q

M x m1l1d1 m2l2d2 pq r ;

A1 A2 m1d12 m2d22 q pr A1 C1 A2 C2 m1d12 m2d22 C1 p

M y m1l1d1 m2l2 d2 r2 p2 ; (3.4)

C1 C2 m1d12 m2d22 r C1

M z m1l1d1 m2l2d2 p qr m1d12 m2 d22 pq;

где

Задание №4. Получить динамическиеуравнениядвижениядлясистемы соосныхтел срассмотренным вышевидом асимметрии,но с трехосным (три разных главных момента инерции) телом-носителем (тело 2).

Для построения необходимого четвертого динамического уравнения, описывающего относительное движение тела 1 по отношению к телу 2, воспользуемся формализмом Лагранжа.

Как видно изпоследнего выражения, уравнение относительного движения тел в рассматриваемом случае получается полностью аналогичным уравнению (2.6). Система (3.4) совместно с уравнением (3.6) представляют собой динамическиеуравнениядвижениясоосныхтел приналичии указанногорода асимметрии.

Следует, конечно, отметить, что рассматриваемый случай динамической асимметрии являетсячастным, однакоописанная методика построения динамических уравнений останется вполне применимой для записи уравнений в более общих случаях асимметрии, например, с учетом возможных угловых смещений осей тел от общей оси вращения, а также в случае трехосных и даже недиагональных тензоров инерции тел.

Для физической интерпретации уравнений (3.4) имеет смысл рассмотреть предельный случай, когда собственные центральные моменты инерции тел

равны нулю: Ai Ci 0. В этом случае асимметричная система соосных тел

вырождается в гантелеобразную систему двух точек O1 и O2 с массами m1 и m2, соответственно (рис.3).

Рис. 3. Соосные тела при наличии асимметрии, вырожденныев гантелеобразнуюсистему

Построим уравнения движения гантелеобразной системы на основе прин-

ципа Даламбера, записанного для моментов сил:MФ M F M R 0, где

слагаемые представляют собой моменты от сил инерции, активных сил и сил реакции, соответственно.

Будем исследовать вращательное движение вокруг сферического шарнира О. Тогда момент от сил реакции будет отсутствовать, а моменты внешних сил

Так как в системе Oxyz для величин радиус-векторов, угловой скорости и ускорения точек можно записать следующие равенства:

то после вычислениявекторных произведений длямомента сил инерции системы двух точек получим:

Тогда, согласнопринципуДаламбера, уравнениявращательного движения гантелеобразной системы точек запишутся в следующем виде:

Последняя система уравнений движения гантелеобразной системы точек такжеследуетнепосредственноизуравнений(3.4),еслипринятьравныминулю собственные центральныемоменты инерции тел:

Таким образом, малые возмущения в уравнениях (3.4) можно интерпретировать как касательные и центробежные силы инерции при движении смещенных центров масс, аналогичном движению рассмотренной гантелеобразной системы.

3.2.Представление соосныхтел одним моделирующим твердымтелом

Для проверки справедливости построенных уравнений движения (3.4) целесообразнопровести некоторыеаналогиистакназываемым«моделирующим твердым телом» [13]. В данном случае следует рассмотретьтакую систему соосных тел, тела которой «временно закреплены» и не имеют относительного вращения, и тогда такую систему действительно можно рассмотреть как одно твердое тело со сложной асимметричной конфигурацией (рис. 4). Ранее [13] этотспособописания был применен крассмотрению маховика, состоящего из нескольких динамически симметричных соосных тел.

x

O l2

m2

Рис. 4. Моделирующее твердое тело

Уравнения движения моделирующего твердого тела можно построить на основании теоремы об изменении кинетического момента тела по классической методике. Запишем эту теорему в системе Oxyz (рис. 4):

моделирующего тела. Геометрические смещения, характеризуемые параметрами li , di (i=1, 2),приводяткследующим осевым ицентробежныммоментам инерции:

Ixx A1 m1l12 A2 m2l22 , I yy A1 m1 l12 d12 A2 m2 l22 d22 ,

Ixz m1 ( l1) d1 m2 ( l2 ) d2 m1l1d1 m2l2d2.

Тензор инерции моделирующего тела запишется следующим образом:

Векторное уравнение (3.3' ) можно записать:

A1 A2 p qr C1 A1 C2 A2

M x m1l1d1 m2l2d2 pq r ;

M y m1l1d1 m2l2d2 r2 p2 ;

C1 C2 m1d12 m2d22 r M z m1l1d1 m2l2d2 p qr m1d12 m2d22 pq.

Система (3.4' ) повторяет систему (3.4) при тождественном равенстве нулю угла и скорости относительной закрутки ( 0 ) и представляет собой динамические уравнения движения одного моделирующего твердого тела.

Если валгоритмевыводауравнений (3.4' )допуститьвозможностьотносительного вращения тел, т.е. снять ограничение на тождественное равенство нулю угла и скорости относительной закрутки, то в продольную компоненту кинетического момента Kz нужно добавить величину С1 . Это слагаемое определяетдобавкув кинетическиймомент,обусловленную относительнымвращением тела 1 вокруг своей главной продольной оси инерции:

При этом изменится величина векторного произведения:

а динамические уравнения движенияпримут вид:

A1 A2 p qr C1 A1 C2 A2 C1q

M x m1l1d1 m2l2d2 pq r ;

A1 A2 m1d12 m2 d22 q pr A1 C1 A2 C2 m1d12 m2 d22 C1 p

M z m1l1d1 m2l2 d2 p qr m1d12 m2d22 pq.

Система уравнений движения моделирующего твердого тела (3.4'’ ) абсолютноидентична системединамическихуравнений (3.4), что дает наглядную механическую интерпретацию уравнений движения соосных тел.

Способисследованиядвижениясоосных тели вывода динамическихуравнений, основанный на использовании одного моделирующего твердого тела,

не является универсальным, поскольку при описании других возможных случаев асимметрии моделирующее тело будет характеризоваться переменными моментами инерции, которые будут зависеть от относительного движения соосных тел. Относительное движение соосных тел зависит от их внутреннего взаимодействия и моментов внешних сил, которые могут быть разными для того и другого тела, поэтому должно быть описано из каких-либо дополнительных рассуждений, не связанных с «моделирующим телом». Таким образом,указанный способвобщемслучаенеобладаетполнотой описаниядвижения системы, однако ее представление одним моделирующим твердым телом можно использовать для наглядной физической интерпретации и проведения аналогий с движением твердого тела вокруг неподвижной точки.

Задание №5. Провести проверку динамических уравнений, полученных в рамках задания 4 с помощью методики «моделирующего» тела.

3.3.Асимптотические решениядляпараметров движенияасимметричнойсистемы

Определим зависимости от времени для параметров движения асимметричной системы, используяасимптотическиеразложенияпо методу Пуанкаре [4, 9]. Введем в систему малый параметр, по степеням которого будем разлагать искомые решения в асимптотические ряды.

В качестве малого параметра выберем безразмерную величину, характеризующую смещение осей динамических симметрий тел от оси вращения:

Пусть моменты внешних сил и внутреннего взаимодействия отсутствуют. Тогда с точностью порядка e динамические уравнения (3.4) и (3.6) можно записать:

p aqr bq pq r , q apr bp r 2 p2 ,

Перейдем отэкваториальных угловых скоростей кпеременным типа «амп- литуда-фаза» G и F с помощью следующей замены:

Динамические уравнения (3.8) с точностью порядка e перепишутся следующим образом:

Решения порождающей системы уравнений ( е=0 ) имеют вид:

причем решения (3.11) полностью соответствуют решениям (2.9). Используя известный асимптотический метод Пуанкаре, будем искать ре-

шениявозмущенной системы (3.10)ввидеследующих разложений,ограничиваясь двумя членами асимптотического ряда:

где 0t 0 ; g(t), f(t), R(t), S (t), D(t) – подлежащие нахождению функ-

ции.

Подставляя выражения (3.12) в возмущенную систему (3.10) и приравнивая члены порядка e, получим систему уравнений для неизвестных возмущений:

g r02 cos t 0 ,

f aR b G 2 r02 sin t 0 ,

G

Получим решение системы (3.13) при нулевых начальных значениях малых возмущений:

sin 0 a b .

Из выражений (3.14) и (3.12) следуют зависимости от времени для пере-

менных «амплитуда-фаза», а также угловых скоростей r и системы соосных тел с малой асимметрией.

С точностью порядка зависимости для угловых скоростей можно запи-

сать в виде:

где

P t g t sinF t Gf t cosF t , Q t g t cosF t Gf t sinF t .

Задание №6. Возможно ли введение другого малого параметра? Что изменится в уравнениях и решениях? Проиллюстрировать ответ с помощью математических выкладок.

Перейдем к определению зависимостей для углов Эйлера, которые будем искать в виде следующих разложений по малому параметру :

Порождающиерешения( , , )определяютсязависимостями (2.2)суче-

томтого,чтомоментвнутреннеговзаимодействиятел равен нулю(M=0).Подставляяразложения(3.16) иполученныезависимости дляугловыхскоростейв уравнения Эйлера (1.7) и приравнивая члены порядка , получим кинематические уравнения первого приближения: