Анализ линейных электрических цепей с негармоническими периодическими напряжениями и токами (90
..pdf
содержащего составляющие, с частотами кратными основной частоте и вместе с тем обладают в известном отношении периодичностью своих изменений.
При передаче информации широко применяют модулированные колебания. Колебания вида u(t) Asin( t ) называются модулированными, если либо амплитуда А или начальная фаза ψ, либо круговая частота ω, или и те и другие изменяются во времени.
Если изменяется только амплитуда А, а угловая частота и начальная фаза неизменны, то такое колебание называют модулированным по амплитуде (АМ). Соответственно, если колебания с изменяющейся с угловой частотой ω – частотная модуляция (ЧМ), изменяющаяся начальная фаза ψ – фазовая модуляция (ФМ).
Примером простейшего амплитудного модулирования (рисунок 26) является колебание вида
u(t) A0 (1 msin t)sin( t ) (ω=const; ψ=const),
где m – глубина модуляции,
Ω – частота модуляции (Ω<<ω).
Рисунок 26
Список использованных источников
1.Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учеб. для вузов /Л.А. Бессонов.- 11-е изд., испр. и доп. -М. : Гардарики., 2007. -701 с.
2.Теоретические основы электротехники: учеб. для вузов /А.Н.Горбунов [и
41
др.].-2-е изд., перераб. и испр. –М.: ТРИАДА, 2005.-304с.:ил.
3. Митрофанов, С.В. Использование системы MATHCAD для решения задач электротехники и электромеханики: метод. указ .к выполнению расчет.- граф. задания по дисциплине «Прикладные задачи программирования» / С.В. Митрофанов, А.С. Падеев. – Оренбург : ОГУ, 2005. – 40 с.
4. .Коровкин, Н.В. Теоретические основы электротехники: сборник задач
/Н.В.Коровкин. – СПб.: ПИТЕР., 2006. - 512с.
5. Ушакова, Н.Ю. Цепи несинусоидального тока. [Электронное издание] : метод. указ. к выполнению расчетно-графического задания /Н.Ю.Ушакова, Ж.Г.Пискунова. – Оренбург: ОГУ, 2011. – 43 с.
42
Приложение А
(справочное)
Пример расчета однофазной цепи при несинусоидальном
источнике питания
Для линейной электрической цепи, в которой действует источник несинусоидальной Э.Д.С, имеющий форму (рисунок1) и Em 200 В, известно, что:
T 2π |
ω |
2π |
R1 8 |
Ом R2 8 Ом |
|
T |
|||
C1 5 10 6 Ф |
|
L1 10 3 |
Гн |
|
Рисунок А.1
Требуется
1. Разложить периодическую несинусоидальную ЭДС источника в одинарный тригонометроческий ряд Фурье, ограничив число гармоник.
2.Рассчитать тови ветвей и записать выражения для мгновенных значений токов в виде ряда.
3.Определить действующие значения токов ветвей, активную, реактивную, полную мощности, коэффициент мощности, мощность искажения, реактивную эффективную мощность.
Введем обозначения.
a e
nv 5
j 1
41
Рисунок А.2
Количество гармоник
n 1 nv
Расчеткоэффициентов двойного ряда Фурье Постоянная составляющая
|
|
1 |
π |
|
1 |
2π |
|
|
|
|
E0 |
|
|
|
Em sin(ω t) dt |
|
|
0 dt |
E0 |
63.662 |
B |
|
|
|||||||||
|
|
2π 0 |
|
2π π |
|
|||||
Синусная и косинусная составляющие определим как
|
|
1 |
|
|
π |
|
2 |
|
2π |
|
||
Bn |
|
|
|
|
|
Em sin(ω t) sin(n t ω) dt |
|
|
|
0 dt |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
π |
0 |
|
π π |
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
π |
|
2 |
2π |
||||
Cn |
|
|
|
|
|
Em sin(ω t) cos(n t ω) dt |
|
|
|
0 dt |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
π 0 |
|
|
π π |
|
|||||
Двойной ряд Фурье
|
nv |
e(t) E0 |
Bn sin(n t ω) Cn cos(n t ω) |
|
n 1 |
Bn
100
6.479·10-15
0
-9.746·10-15
0
Cn
5.824·10-15
-42.441
-2.297·10-15
-8.488
7.906·10-15
42
e(t) |
100 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
П р и м е ч а н и е - Сравнить с заданной несинусоидальной кривой. |
|
||||
|
Одинарный ряд Фурье |
|
|
|
|
|
Значение амплитуды: |
|
|
|
Фаза: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Bn |
2 |
Cn |
2 |
|
|
Bn |
||
An |
|
|
An |
. |
ψn atan |
|
|
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Cn |
||
Выражение ЭДС: |
|
100 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
42.441 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1(n t) An sin n ω t ψn |
2.463·10-15 |
|
|
|
|
||||
8.488 |
|
|
|
|
|||||
7.906·10-15
Emn An Ekmn An ai ψn
Расчет схемы методом эквивалентных преобразований
Сопротивления ветвей схемы:
Z0 |
R1 R2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z1n |
R1 L1 j n ω |
Z2n |
|
1 |
|
|
Z3n R2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
j C1 n ω |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Z23n |
|
Z2n Z3n |
|
Zn Z1n Z23n |
|
|
||||||||
|
Z2n Z3n |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ток от постоянной составляющей |
|
|
|
|
|
|
||||||||
I0 |
|
|
E0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
R1 |
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Комплексные значения амплитуды соответствующего тока: |
|
||||||||||||
I1mn |
|
Ekmn |
ai ψn |
I2mn I1mn |
Z23n |
|
I3mn I1mn |
Z23n |
||||||
|
|
Z2n |
Z3n |
|||||||||||
|
|
|
|
Zn |
|
|
|
|||||||
43
Мнгновенные значения токов ветвей:
|
i1(n t) |
|
|
I1mn |
|
|
sin n ω t ψn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i2(n t) |
|
I2mn |
|
|
sin n ω t ψn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i3(n t) |
|
I3mn |
|
|
sin n ω t ψn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Действующие значения токов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3mn 2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1mn |
2 |
|
|
|
I2mn 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
I1 |
|
|
I0 |
2 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
n 1 |
|
|
|
I3 |
I0 2 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Определяем действующее значение ЭДС: |
|
E1n |
Ekmn |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определяем действующее значение тока: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
I1m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2m |
|
|
|
|
I3m |
|
|
|
|
|
|
|
|
nv |
|
Em |
2 |
|
||||||||||||||||||||
qI1n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
qI2n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
qI3n |
|
n |
|
Edp |
|
E0 2 |
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Активная мощность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
P E0 I0 |
|
|
E1n |
|
|
|
|
qI1n |
|
cos arg E1n arg qI1n |
|
P |
311.857 |
Вт |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Реактивная мощность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
nv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q |
|
|
E1n |
|
|
|
qI1n |
|
sin arg E1n arg qI1n Q 312.495 |
|
вар |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
Полная мощность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
S Edp |
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S 624.344 |
|
|
ВА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент мощности: |
|
|
|
|
α |
P |
|
|
|
|
α 0.499 |
cos(ϕэ) α |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Мощность искажения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
T |
S2 P2 Q2 |
|
|
T 441.472 |
|
вар |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Реактивная эффективная мощность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Qэ |
|
Q2 T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qэ 540.879 |
вар |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
44