Полиномы Цернике в проектировании оптических систем. Ч. 1 (96

и

В теории Нижбера–Цернике при вычислении дифракционных интегралов важную роль играет соотношение [3, 4]

где J – функция Бесселя первого рода; v, u – оптические координа-

радиус выходного зрачка; R – радиус опорной сферы Гаусса; x′, y′, z′ – координаты точки А′ изображения в зональной прямоугольной системе координат с центром в точке A0′ (рис. 2). Радиальные поли-

номы Rnm (ρ) для круглого и кольцевого зрачка даны в табл. 2 и 3.

Полиномы Цернике ортогональны на единичном круге – каноническом зрачке. Для полиномов Цернике условие ортогональности записывается в следующем виде:

1 2π

∫ ∫ Rnm (ρ)Rkl (ρ)cos mϕcoslϕdρdϕ = δnk δml wnm ,

0 0

РазложениеволновойаберрациипополиномамЦерникеимеетвид:

V (ρ) = ∑∑ Anm Rnm (ρ)cos mϕ = A00 +A20 R20 (ρ) + A11R11(ρ)cosϕ+

n m

где n ≥ m; n + m = 2k – четное.

11

Таблица 2

Таблица 3

Примечание. ε – коэффициент центрального экранирования.

Рис. 2. Волновая аберрация оптической системы

13

Б. Нижбер изменил классификацию аберраций: согласно его классификации отдельные аберрации, соответствующие одному значению индекса m, относятся к одному типу. Так, при m = 0 определяют сферическую аберрацию, m = 1 – кому, m = 2 – астигматизм.

Для случая круглого зрачка связь коэффициентов wnm и Anm может быть установлена сравнением в выражениях (3) и (5) коэффициентов при одинаковых степенях ρ. Соотношения коэффициентов wnm и Anm в зависимости от центрального экранирования ε даны в табл. 4. Для аберраций поперечного смещения и астигматизма эти соотношения не зависят от коэффициента ε.

Таблица 4

Соотношения аппроксимирующих коэффициентов в разложении волновой аберрации по степенному и ортогональному базисам

Поперечные аберрации ∆η определяют в соответствии с фор-

мулой (2.76) [20] по известным коэффициентам wnm и Аnm: для степенного базиса

∆η= ∑∑wnm (ρn cosm ϕ),

n m

для ортогонального базиса в виде круговых полиномов Цернике

∆η= ∑∑ Anm (Rnm (ρ)cos mϕ),

n m

где – оператор Лапласа.

14

2.2. Зональное полихроматическое описание волновой аберрации

Коэффициенты wnm и Anm в общем случае обладают хроматизмом, зависимость коэффициентов wnm и Anm от величины λ описывают в виде разложения каждого коэффициента по базису от относительной (канонической) спектральной координаты χ. Последняя определяется выражением

L

где wnm = ∑ wknm Pk (χ); Pk (χ) − степеннойполиномпокоординатеχ.

k =0

Для разложения V по ортогональным полиномам в качестве базиса для Pl (χ) выбирают полином, ортогональный на отрезке (–1, 1), свесомq(χ):

1

∫ Pl (χ)Pk (χ)q(χ)dχ = δlk wk ,

−1

где q(χ) определяется функцией относительной спектральной эффективности [10]. Разложение

k n m

представляет волновую абберацию в этих условиях.

15

2.3.Глобальное описание волновой аберрации с использованием полиномов Цернике

Для реализации всех преимуществ полиномов Цернике в случае осесимметричных систем необходимо использовать разложе-

относительная полевая координата, равная отношению поля к максимальному полю системы; ρ, ϕ – канонические полярные зрачко-

вые координаты.

Отдельная ортогональная аберрация Vlkm N-го порядка описывается выражением

Vlkm = εm Alkm Rmm+2l (r)Rmm+2k (ρ)cos mϕ =

(10)

=εm Alkm Rmm+2l (r)Rnm (ρ)cos mϕ;

аиндексы l, k, m, n – неотрицательные целые числа (n ≥ m; n – m = = 2k) – удовлетворяют соотношению

N = 2(m + l + k) – 1.

При этом аберрации первого порядка определяются двумя коэффициентами

A010, A001,

аберрации третьего порядка – пятью коэффициентами

A020, A110, A011, A101, A002,

16

аберрации пятого порядка – девятью коэффициентами

A030, A120, A210, A021, A111, A201, A012, A102, A003,

и т. д.

Для изучения дифракционного изображения фиксированной точки предмета (y = const) удобно не выделять явную зависимость волновой абберации от параметра y, тогда выражение (8) примет вид

Отметим, что коэффициенты Аlkm глобального монохроматиче-

ского разложения полностью характеризуют аберрационные свойства оптической системы для одной длины волны.

Для полного описания с учетом работы оптической системы в широком спектральном диапазоне длин волн используется поли-

хроматическое глобальное разложение волновой аберрации ([20],

формула (2.81)). Полихроматическое разложение волновой аберрации по степенному базису может быть представлено в виде

i=0 l=0 n=0 m=0

а разложение по ортогональному базису на зрачке, поле и спектральном интервале в виде

Формулы (11), (12) являются аппроксимирующими формулами волновой аберрации, а коэффициенты wilnm и Aimkl называются

коэффициентами аппроксимации и образуют полихроматическую глобальную модель волновой аберрации.

В зависимости от переменных аппроксимаций различают зональную монохроматическую, зональную полихроматическую и глобальную полихроматическую аппроксимации.

17

Задача полихроматической глобальной аппроксимации волновой аберрации сводится к определению указанных коэффициентов по результатам расчета хода некоторого относительно небольшого количества лучей для определенных точек спектрального интервала, поля и зрачка – узлов аппроксимации. В [20] описаны методы решения такой задачи: метод интерполяции, аппроксимация по методу наименьших квадратов, аппроксимация с использованием значений поперечных аберраций.

Анализ возможных методов вычисления коэффициентов Alkm показывает [21–23], что наиболее естественно коэффициент Alkm вычислять как коэффициенты обобщенного ряда Фурье с использованием свойства ортогональности полиномов Цернике. Проделав ряд преобразований для вычисления коэффициентов, можно получить выражение

где r′ = r2 , ρ′ = ρ2 ; Ulkm – нормировочная постоянная.

Чтобы обеспечить минимальное количество узловых точек с сохранением необходимой точности квадратур, наиболее целесообразно использовать квадратурную формулу Гаусса по переменным r, ρ и равномерное разбиение по переменной ϕ.

3. СВОЙСТВА РАЗЛОЖЕНИЯ ВОЛНОВОЙ АБЕРРАЦИИ ПО ПОЛИНОМАМ ЦЕРНИКЕ

Описание волновой аберрации в виде разложения по ортогональному круговому базису с применением полиномов Цернике облегчает вычисления в решении таких задач, где требуется интегрирование по зрачку с использованием зрачковой функции. Однако существуют и другие специфические свойства этого разложения, которые делают его предпочтительным при решении большого числа задач, связанных с проектированием оптических систем. Рассмотрим некоторые из них.

3.1. Связь ортогональных и классических аберраций

Как уже было сказано ранее, Нижбер [4] объединил определенным способом конечные последовательности членов ряда (5),

18

представляющие собой последовательности отдельных аберраций одного типа, например:

ρncosmϕ, ρn−2cosmϕ, ... , ρmcosmϕ.

Вследствие ортогональности полиномов Цернике любые отдельные аберрации, определенные разложением (5), ортогональны друг к другу внутри единичного круга.

В дальнейшем отдельные аберрации, определенные разложением (3), будем называть классическими, а определенные разложением (5) – ортогональными. Следует сразу же подчеркнуть, что по своей природе ортогональная отдельная (зональная) аберрация

Anm Rnm (ρ)cos mϕ

состоит из вполне определенной конечной суммы

n m

∑ ∑ wpqρpcosqϕ p=q q=0

классических отдельных аберраций вида wpqρpcosqϕ , которую

можно получить, используя, например, таблицу радиальных полиномов и формулу Муавра

cos mϕ+isin mϕ = (cosϕ+isin ϕ)m .

Так, ортогональная сферическая аберрация 7-го порядка

A80 R80 (ρ) = A80[70ρ8 −140ρ6 +90ρ4 −20ρ2 +1]

состоит из следующих отдельных классических аберраций:

–сферической аберрации 7-го порядка 70A80ρ8;

–сферическойаберрации5-го порядка –140A80ρ6;

–сферическойаберрации3-го порядка 90 A80ρ4;

–расфокусировки–20 A80ρ2.

Зональный ортогональный первичный астигматизм

19

A22 R22 (ρ)cos 2ϕ = A22ρ2 cos 2ϕ

содержит классический астигматизм 3-го порядка 2A22ρ2cos2φ и кривизнуполя 3-го порядка – A22ρ2.

3.2. Выражение среднеквадратического отклонения волнового фронта через коэффициенты разложения волновой аберрации по полиномам Цернике

Одним из наиболее используемых характеристик качества изображения является среднеквадратичное отклонение волнового фронта Fr для фиксированной точки предмета:

где λ′, µ′, ν′ – направляющие косинусы луча в пространстве

изображения; S – область интегрирования, определяемая множеством всех лучей, прошедших через оптическую систему для заданной точки поля, и одновременно площадь этой области интегрирования.

При преобразовании области виньетируемого зрачка (т. е. области S) в единичный круг и введении полярных координат ρ, ϕ

выражение (13) принимает вид [24]

Подстановка вместо V разложения (5) и использование свойства ортогональности отдельных аберраций внутри единичного круга приводят к зависимостям

20