ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ АЛГЕБРЫ ПОЛИНОМОВ (110

П р и м е р . Решить уравнение:

Приведем уравнение к неполному кубическому подстановкой:

х у а3 у 1, ( у 1)3 3( у 1)2 3( y 1) 14 0 .

После раскрытия скобок и преобразований, получим:

2 3

qqр 949

и3 3 38.

24274

2 3

qqр 97 . v3 3 31

2 4272

1 3 и2 i 1i3.

2 2 2

1 3 и2 i 1i3.

3 2 2

1 3 v i .

2 2 2

1 3 v i .

3 2 2

у1 и1 v1 3 .

1331

уиv1i3i i3.

223 2222

1331

уиv1i3i i3.

332 2222

х у 1312.

1 1

31 51

ху1 i31 i3.

22 22 22

31 51

ху1 i31 i3.

33 22 22

30

§ 2. Решение уравнений четвертой степени в радикалах

Пусть дано:

радикалах. Рассмотрим один из них, предложенный итальянским математиком Феррари:

1) Преобразуем уравнение:

4 3 2 .

х ахbх схd

Дополняем левую часть уравнения до полного квадрата:

Дополняем левую часть уравнения еще раз до полного квадрата так, чтобы

вторым членом было 2у .

2

аху2 2

х АхВ.

22

Извлечем из левой и правой частей корень:

Для нахождения корней (1) необходимо найти хотя бы одно значение

31

Решив равнения (4) и (5), найдем 4 корня исходного уравнения (1). Уравнение (3) называют кубической Резольвентой уравнения 4-й степени.

Резольвента – вспомогательное уравнение, со степенью ниже, чем

степень основного уравнения, помогающее его решить.

Рассмотрев сущность способа Феррари, мы доказали, что уравнение 4-й степени разрешимо в радикалах.

32

П р и м е р . Решить уравнение:

х4 2х3 5х2 6х 9 0 .

Преобразуем:

х4 2х3 5х2 6х 9 х2 ,

х4 2х3 х2 4х2 6х 9 ,

33

Получаем:

Решив каждое из полученных квадратных уравнений, получим искомые четыре корня исходного уравнения (выполнить самостоятельно).

Уп р а ж н е н и я

1.Привести кубические уравнения к виду y3 p y q 0, затем исследовать и решить полученные уравнения:

а) x3 9x2 18 x 28 0 ; б) x3 6x2 57 x 196 0 ;

в) x3 3ix2 (3 6i) x 10 5i 0;

г) x3 9x2 21x 5 0 .

2.Не решая уравнения, определить число действительных корней:

а) x3 3x2 2x 5 0 ; б) x3 6x2 7x 5 0 ;

в) x3 12 x2 45 x 54 0

3. Решить методом Феррари уравнения четвертой степени:

а) x4 2x3 x2 1 0 ;

б) x4 x3 3x2 5x 10 0; в) x4 2x3 4x2 2x 5 0

г) x4 6x3 10 x2 2x 3 0 .

34

ЛИТЕРАТУРА

1.Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. – М.: Наука, 1967 г.

2.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высш. школа, 1979 г.

3.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968 г.

4.Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – М.: Просвещение, 1966 г.

5.Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Ч. 2. – М.: Просвещение, 1978 г.

6.Сборник задач по алгебре / Под редакцией А.И. Кострикина. – М.:

Наука, 1987 г.

7.Фаддеев Д.К., Соминский Е.С. Сборник задач по высшей алгебре.

–М.: Наука, 1977 г.

8.Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Просвещение, 1964 г.

9.Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по высшей алгебре. – М.: Просвещение, 1969 г.

35

Литература ………………………………………………………………... 36

36