Исследование трехфазных электрических цепей (120

Концы векторов фазных напряжений приемника обозначим на диаграмме точками а, b, с, которые соответствуют потенциалам точек а, b, с исходной схемы (см. рис. 7). Соединив векторами точки а

и b, b и с, си а, получимлинейныенапряжения U ab ; Ubc ; Uca . Итак, фазные и линейные напряжения мы построили. Теперь

покажем на векторной диаграмме фазные токи Ia , Ib , Ic . На-

правление каждого фазного тока на векторной диаграмме определяется направлением фазного напряжения той же фазы и сопротивлением данной фазы приемника (в соответствии с табл. 1). Токи, которые смещаются на векторной диаграмме относительно напряжения против хода часовой стрелки, называют опережающими, а токи, которые смещаются относительно напряжения по ходу часовой стрелки, — отстающими. Токи, опережающие напряжения, откладывают на диаграмме против хода часовой стрелки, отстающие — по ходу часовой стрелки.

Сопротивление нагрузки Zb = R в фазе b (см. рис. 7) является активным, поэтому ток Ib совпадает по направлению на векторной диаграмме с фазным напряжением Ub .

В фазе с нагрузки находится катушка индуктивности Zc = Rк + jXк. Ток Ic отстает (см. табл. 1) от своего фазного на-

пряжения U c , т. е. сдвинут относительно вектора Uc по ходу часовой стрелки на угол меньше 90°.

В третьей фазе а нагрузка емкостная ( Za =−jXc ) и ток Ia , в соответствии с табл. 1, опережает фазное напряжение Ua , т. е. сдвинут относительновектора Ua , против хода часовой стрелки на угол 90°.

Строим в масштабе эти три фазных тока: Ia , Ib , Ic . Токи в линейных проводах IA , IB , IC равны фазным токам при соединении приемников в звезду. Ток IN = Ia + Ib + Ic .

При симметричной нагрузке векторная диаграмма упрощается:

11

1.2.2. Соединение приемников в звезду без нейтрального провода

Электрическая схема соединения приемников в звезду без нейтрального провода приведена на рис. 9.

Рис. 9. Схема соединения трехпроводной трехфазной цепи в звезду без нейтрального провода

В схеме соединения в звезду без нейтрального провода при несимметричной нагрузке потенциал нейтральной точки приемника не равен нулю ( ϕn ≠ 0) , т. е. «нейтраль смещается». Если пренеб-

речь сопротивлением нейтрального провода, то

UnN =U AY a +U B Y b +UC Y c .

Y a +Y b +Y c

Здесь U A , U B , UC — комплексные фазные напряжения источника

питания; Y a =1Z a , Y b =1Z b , Y c =1Z c — комплексные проводимости фаз приемника.

Напряжения на фазах приемника

Ua =U A −UnN ; Ub =UB −UnN ; Uc =UC −UnN

и фазные токи

Ia =Ua Z a ; Ib =Ub Z b ; Ic =Uc Z c .

12

При соединении приемников в звезду без нейтрального провода линейные токи IA , IB , IC совпадают по величине и направле-

нию с фазными токами Ia , Ib , Ic и сумма фазных токов равна ну-

лю: Ia + Ib + Ic = 0.

При симметричной нагрузке, когда

Z a = Zb = Z c = Zфe jϕф ; Ia = Ib = Ic ,

расчет ведем для одной фазы. По результатам расчета строим симметричную векторную диаграмму.

В качестве примера рассмотрим последовательность построе-

ния векторной диаграммы для схемы соединения приемника в звезду без нейтрального провода. (рис. 10).

Потенциалы точек А, В, С источника равны потенциалам точек

а, b, с приемника, т. е. ϕA =ϕa ; ϕB =ϕb ; ϕC =ϕc . Покажем потенциалы этих точек на векторной диаграмме. Для этого построим

векторы фазных напряжений источника U A , U B , UC , отметим

потенциалы точек А, В, С и точек а, b, с (см. рис. 11). Соединим векторами точки а и b, b и с, с и а и получим векторы линейных

напряжений приемника Uab , Ubc , Uca .

Для построения фазных напряжений приемника необходимо определить потенциал нейтральной точки приемника ϕn . Так как в

рассматриваемой схеме нет нейтрального провода, потенциал ϕn может отличаться от нуля ( ϕn ≠0 ).

Определить значение потенциала нейтральной точки приемника можно либо расчетным путем, либо используя графические построения на векторной диаграмме.

Расчетным путем потенциал ϕn вычисляется по формуле

ϕn = UnN =U AY a +UB Y b +UC Y c .

Y a +Y b +Y c

Здесь U A , U B , UC — фазные напряжения источника, они обычно известны; Y a , Y b , Y c — проводимости фаз приемника, которые легко определяются, если известны сопротивления фаз приемника

(Y a =1Z a ).

В нашем случае удобно воспользоваться вторым способом — определить положение точки n на комплексной плоскости, используя графические построения на векторной диаграмме. Для этого потребуется циркуль.

При выполнении эксперимента измеряются линейные Uаb , Ubc , Uca и фазные U а , Ub , Uc напряженияприемника. При построении

векторной диаграммы зададим оси комплексной плоскости и масштаб для напряжений. С учетом принятого масштаба напряжений строим равносторонний треугольник линейных напряжений

(рис. 12). Раствором циркуля, равнымнапряжению U а , проведем из точки а на векторной диаграмме окружность, аналогично из точки b раствором циркуля, равным напряжению Ub , — вторую окруж-

ность, из точки с раствором циркуля, равным напряжению Uc , —

третью окружность. Точка, в которой пересекаются все три окружности, определяет положение на векторной диаграмме нейтральной точки приемника n. Соединив точку n векторами с точками а, b и с,

получим фазныенапряженияприемника U а , Ub , Uc .

14

Стрелки векторов направим к точкам а, b и с. Соединив вектором точки n и N (начало координат), получим напряжение «смеще-

ниянейтрали» U nN . Стрелка этого вектора направлена кточке n.

Рис. 12. Определение положения нейтральной точки приемника по экспериментальным данным

Далее строим токи в фазах приемника. Выберем масштаб для токов. Зная характер фазных сопротивлений приемника и используя данные, приведенные в табл. 1, строим токи в фазах приемника

(см. рис. 11).

1.2.3. Соединение приемников в треугольник

Схема соединения приемников в треугольник приведена на рис. 13.

Рис. 13. Схема соединения трехпроводной трехфазной цепи

втреугольник

Вэтой схеме режим работы каждой фазы не зависит от режима работы двух других фаз. К фазам приемника подведены линейные

15

проводах приняты от источника к приемнику, а положительные направления фазных токов Iab , Ibc , Ica — от начала к концу каж-

дой фазы.

Линейные и фазные токи связаны уравнениями, полученными из первого закона Кирхгофа. Соответственно для узлов a, b, c получим

IA = Iab − Ica ; IB = Ibc −Iab ; IC = Ica − Ibc ; IA + IB + IC =0.

Линейные токи могут быть рассчитаны по этим формулам или найдены графически при построении векторной диаграммы.

При симметричной нагрузке, когда Z ab = Z bc = Z ca = Zфe jϕф ,

фазные токи по модулю одинаковы и сдвинуты друг относительно друга на 120°:

Iл = 3Iф; Uл =Uф.

Рассмотрим построение векторной диаграммы трехфазной цепи при соединении приемников в треугольник на примере схемы рис. 14.

Изобразим векторы фазных напряжений Uab , Ubс, Uсa на комплексной плоскости выходящими из начала координат, сориентировав вектор напряжения Uab по действительной оси, направленной вертикально вверх. Тогда напряжение Ubс следует изобразить отстающим на 120° от фазного напряжения Uab , а фазное напряжение Uсa — опережающим на 120° фазное напряжение Uab (рис. 15). Относительно построенных фазных напряжений строим фазные токи с учетомхарактера и величины фазных сопротивлений Z ab , Z bc , Z ca .

16

Рис. 14. Схема соединения трех- Рис. 15. Векторная диаграмма тофазного несимметричного приемков и напряжений несимметричноника в треугольник го трехфазного приемника, соеди-

ненного в треугольник

Направление вектора фазного тока на векторной диаграмме можно определить, если знать характер фазного сопротивления, т. е. угол ϕ — угол сдвига начальных фаз напряжения и тока. Угол ϕ на векторной диаграмме от тока к напряжению: ϕ = ψu = –ψi.

Если сопротивление фазы активное ( Z ab = R ), то вектор тока Iab совпадает по направлению с вектором напряжения той же фа-

Uca на 90° ( ϕca =−90°, см. табл. 1 на с. 10).

В фазе bc нагрузкой является катушка индуктивности ( Z bc = Rк + jX к ). Эта ветвь имеет активно-индуктивный характер

( 0 <ϕbc <90°). Расчетным путем определим ϕbc — угол между напряжением Ubс и током Ibс . Под углом ϕbc строим на векторной диаграмме ток Ibс относительно вектора напряжения Ubс.

Следующим этапом является построение линейных токов IA , IB , IC . Из уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа для узлов а, b, с приемника, получим:

17

IA = Iab − Ica ; IB = Ibc −Iab ; IC = Ica −Ibc .

В соответствии с этими выражениями строим линейные токи

IA , IB , IC (см. рис. 15).

1.3.Мощность в трехфазной цепи

1.3.1.Расчет активной P, реактивной Q

иполной S мощностей

Под активной мощностью трехфазной цепи принимают сумму активных мощностей фаз:

P = Pa +Pb +Pc =Ua Ia cos ϕa +UbIb cos ϕb +Uc Ic cos ϕc.

Реактивная мощность трехфазной цепи равна сумме реактивных мощностей фаз:

Q =Qa +Qb +Qc =Ua Ia sin ϕa +UbIb sin ϕb +Uc Ic sin ϕc .

Полная мощность в общем случае равна:

S = P2 +Q2 .

Можно вычислить мощность трехфазной цепи с помощью комплексных величин. При схеме соединения нагрузки в звезду

* * *

S = Sa + Sb +Sc =Ua Ia +Ub Ib +Uc Ic ,

а при схеме соединения нагрузки в треугольник

S = Sab +Sbc +Sca =Uab I*ab +Ubc I*bc +Uca I*ca .

При симметричной нагрузке ( Z a = Z b = Z c = Zфe jϕф )

Pa = Pb = Pc =UфIф cos ϕф;

Qa =Qb =Qc =UфIф sin ϕф;

18

Sa = Sb = Sc =UфIф;

S =3UфIф = 3UлIл,

где ϕф — угол между напряжением Uф на фазе нагрузки и током Iф фазы нагрузки.

Активную мощность трехфазной трехпроводной цепи в общем случае можно выразить также через линейные напряжения и токи.

где α и β — углы сдвига фаз векторов линейных токов IA и IB относительносоответствующих линейных напряжений U AC и UBC .

1.3.2.Измерение активной мощности

втрехфазных цепях

Включение ваттметра в электрическую цепь. Для измере-

ния активной мощности Р применяют ваттметры электродинамической системы как в цепях постоянного, так и переменного тока.

Ваттметр имеет две катушки. Неподвижная катушка прибора является токовой обмоткой ваттметра и включается в цепь последовательно с нагрузкой подобно амперметру. Вторая подвижная

19

катушка является обмоткой напряжения и включается в цепь параллельно нагрузке подобно вольтметру.

Для обеспечения правильного включения ваттметра один из зажимов токовой обмотки и один из зажимов обмотки напряжения отмечают звездочкой (*). Эти зажимы, называемые генераторными, следует соединять вместе и включать относительно ваттметра со стороны источника питания (рис. 16).

Рис. 16. Схема включения ваттметра в цепи однофазного тока

В цепи переменного синусоидального тока ваттметр измеряет активную мощность Р, которую можно рассчитать по формуле

P =UI cos ϕ.

Здесь U — напряжение, к которому подключена обмотка напряжения ваттметра; I — ток, проходящий через токовую обмотку ваттметра; ϕ — угол сдвига фаз между напряжением U и током I.

Измерение активной мощности в четырехпроводной трех-

фазной цепи. Рассмотрим измерение активной мощности в четырехпроводной цепи при несимметричной нагрузке. Активная мощность трехфазного несимметричного приемника равна арифметической сумме активных мощностей приемников всех трех фаз:

P = Pa + Pb + Pc .

В трехфазной цепи с нейтральным проводом имеется возможность измерять отдельным ваттметром активную мощность каждой фазы приемника (рис. 17).

Таким образом, для измерения активной мощности трехфазного несимметричного приемника при наличии нейтрального провода необходимо использовать три ваттметра. Арифметическая сум-

20