Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы обработки и планирования эксперимента. Ч.1. Оценка распределений и их параметров (110

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

545.63 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Оценка с помощью медианы:

n	= 15;	n + 2	= 16	x =	x[15]	+ x[16]	=	1010	+1011	= 1010.5.
	= 15;		= 16	x =			=			= 1010.5.
2		2		med		2			2
2		2				2			2

Оценка Ходжеса – Лемана

Вычислим оценку на примере пяти выборочных значений (полная

оценка должна быть получена по n(n +1)	= 30 29		= 435 средним Уолша). Вы-
2		2
берем для примера пять выборочных				):
	значений (вблизи среднего X
xi : 1012, 1040, 1090, 1096, 1111. Вычислим n(n +1)		= 5	4 = 10 средних Уолша:
	2	2

zi = 1026; 1051; 1054; 1061,5; 1065; 1068; 1075,5; 1093; 1100,5; 1103,5.

Далее вычисляем медиану значений zi

μ ≈ med(z ) =	z5 + z6	= 1065 +1068 = 1066.5.

i	2	2

5. РОБАСТНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ
Выборочная медиана как робастная оценка среднего
На практике экспериментальные данные практически никогда не име-
ют чисто гауссовского распределения. Это обусловлено как внутренним ха-
рактером механизма формирования экспериментальных данных, так и на-
личием нерегулярных аномальных ошибок измерения. При этом большин-
ство оптимальных параметрических оценок резко теряют свои свойства да-
же при незначительных отклонениях от стандартных условий.
Повысить качество оценки в реальных условиях можно путем исполь-
зования робастных оценок. Робастность – слабая чувствительность к
отклонениям от стандартных условий и высокая эффективность для широ-
кого класса распределений.
Для анализа робастности часто используется модель Тьюки «засорен-
ного» гауссовского закона:
W (x) = (1− ε) N (x,mX ,σ2X )+ εW (x,mX ,θ),									(5.1)
где ε – доля «засоряющих» наблюдений. Модель Тьюки хорошо описывает ре-
зультатыизмеренийсучетомвозможныхсбоевилипромахов приизмерениях.
0.399		0.4
0.399
f1 ( x)		0.3
f1 ( x)
fa ( x)		0.2
		0.2
W ( p , x)
		0.1
1.487 × 10	− 6	0	6	4	2	0	2	4	6
		0	6	4	2	0	2	4	6
			− 5		Рис. 5.1	x			5
					Рис. 5.1
Компоненты распределения в модели Тьюки (5.1) при ε = 0.3.

0.399			1
0.399
			0.1
f1(x)		0.01
fa(x)	1	.10 3
W(p , x)1		.10	4
	1	.10	5
1.487×10− 61		.10	6	1	2	3	4	5
			0	1	2	3	4	5
			0		x			5
					а – ε = 0.3

0.399			1
0.399
			0.1
f1(x)		0.01
fa(x)	1	.10 3
W(0.1 , x)1		.10	4
	1	.10	5
1.487×10− 61		.10	6	1	2	3	4	5
			0	1	2	3	4	5
			0		x			5
					б – ε=0.1

Рис. 5.2

На рис. 5.2 изображены «хвосты» распределений в модели Тьюки (5.1) при разных ε.

Наиболее известной из робастных оценок параметра сдвига распределения случайной величины является рассмотренная выше выборочная ме-

диана med(X ) = xmed .
В таблице 5.1 представлены значения относительной					эффективности
выборочной медианы и выборочного среднего eff (x0.5 / X				) .	Т а б л и ц а 5.1
					Т а б л и ц а 5.1
Вид засорения W (x,mX ,θ)		Степень засорения ε

	0		0,05			1
	0		0,05			1

N (mX ,(3σX )2 )	0,637		0,828			0,637
Lp (mX ,1)	0,637		1,310			2,000
R (mX − 3σX ,mX + 3σX )	0,637		2,157			13,254
C (mX ,1)	0,637		2,713			25,344

Видно, что даже при незначительной «засоренности» измерений выборочная медиана эффективнее выборочного среднего. Если аномальные ошибки распределены по гауссовскому закону, выборочная медиана точнее

выборочного среднего при ε [0.1;0.9].

Устойчивые оценки

L-оценки

L-оценками называется линейная комбинация порядковых статистик

θ = wi xi′ ,

i=1

где wi – весовые коэффициенты, определяемые видом оцениваемого пара-

метра и типом распределения выборки. Примером служат выборочная медиана и усеченное среднее и др.

M-оценки. Выборочные среднее X и медиана med(X ) являются крайними вариантами отбора порядковых статистик. Усеченное среднее Xα яв-

ляется компромиссом между этими оценками. Другой компромисс предложил Хьюбер. Из статистики известно, что выборочные среднее X и медиана med(X ) получаются минимизацией функционалов

M1(θ ) = (xi − θ )2

(5.2)

i=1

M2 (θ ) = xi − θ

i=1

где θ ≡ m – математическое ожидание случайной выборки. Хьюбер предложил минимизировать функционал

M (θ ) = ρb (xi − θ ) ,

(5.3)

где функция

i=1

x2 / 2,

ρ (x) =

(5.4)

− b

/ 2,

> b

Очевидно, (5.4) объединяет оценки (5.2). Тогда оценка θ ищется из ре-

шения уравнения

(5.5)

M (θ ) = ψ b (xi − θ ) = 0 .

′

i=1

Здесь ψ (x) = ρ′ (x)

b b

ψb(x)

-b b x

Рис. 5.3

Из (5.4) следует вид ψ (x) = ρ′ (x) , приведенный на рис. 5.3. Как видно из

b b

рис. 5.3, эта оценка позволяет по-другому убрать слишком большие выборочные значения. В частном случае ρ (x) = ln (Wξ (x)) получается ОМП.

В самом деле ψ (x) = Wξ′(x) / Wξ (x) . Поскольку W (x) > 0 , то (5.3) принимает

вид

Wξ′(xi − θ ) = 0 .

i=1

Для нормального распределения Wξ (x,θ ) = N (θ ,σ x2 ) выборочное среднее X и будет искомой оценкой.

Робастные оценки масштаба (дисперсии)

Робастные оценки могут быть получены и для оценки параметра масштаба распределения. Например, для описания разброса случайной величины X наряду со среднеквадратическим значением σX может использовать-

ся среднее абсолютное значение:

∞

δX = x − mX W (x)dx,

−∞

оно связано с σX следующим соотношением:

δX / σX = 2 / π.

Используя эту связь, можно определить:

d		=	1	n	x − m		,	(5.6)
			1	n

	x		n		i	X
	x		n		i	X
				i=1

после этого можно оценивать среднеквадратическое значение:

sd X = π / 2dX .	(5.7)

В таблице 5.2 приведены значения относительной эффективности этой оценки (5.7), (5.8) по сравнению с выборочным среднеквадратическим отклонением при различных значениях параметра засорения ε :

Т а б л и ц а 5.2

0,001

0,002

0,005

0,01

0,02

0,05

0,1

s
eff	dX		0,876	0,948	1,016	1,196	1,439	1,752	2,035	1,903

	s	X

Приведем еще один простой, но эффективный алгоритм оценки среднеквадратического значения σ – оценку Даутона.

	1,77245	n
σ =	n( n − 1)	( 2i − n − 1)xi′ .
	n( n − 1)	i=1
		i=1

При n ≤ 10 эффективность оценки равна 0,94 по сравнению с оценкой максимального правдоподобия.

Приведем пример: имеется набор результатов измерений

xi′ = 1.4; 2.1; 2.9; 3.1; 3.8; 4.1; 4.3; 4.6; 5.1; 6.1

6.18

Xi	6
Xi
g(i)	4
g(i)
	2
1.4	0 0	2	4	6	8	10
	0 0	2	4	6	8	10
	0		Рис. 5.4	i		9
			Рис. 5.4
Иллюстрация упорядоченной выборки (пунктир линия						g(i) = a i + b ,

a = 0.459, b = 1.685) приведена на рис. 5.4.

Вычислим оценку дисперсии и среднеквадратического отклонения различными методами.

Оценка максимального правдоподобия

Смещенная оценка

SX2 =	1 (xi − x)2	=
	n
	n i=1

или несмещенная оценка

1	n	2		1	n	2		1			2
n	xi		−		xi		=		158.51	− (3.75)		= 1.7885
								10
	i=1		n		i=1

(с использованием поправки на смещение)

	1	n
SX2 =		(xi − x)2 = 1.9872 .

	n −1 i=1

Следует отметить, что при малых n смещение оценки может быть значительным.

Оценка по среднему абсолютному отклонению

xi − x

, где c =

−

= 0.75694.

n c

i=1

Имеем

xi − x

= 11 и

S*2 =

11 = 1.4181.

0,75694

i=1

Оценка по выборочному размаху

Имеем ω = xmax − xmin = 6.1−1.4 = 4.7

Для n = 10 получаем

= 0,3249

sp = ω

= 4.7 0.3249 = 1.529

σ = 1,77245

Линейная оценка Даутона

(2i − n −1) xi

= 0,019694 (−9 1,4 − 7 2,1− 5 2,9 − 3 3,1−1 3,8 + 1 4,1+

10 (10 −1)

i=1

+3 4,3 + 5 4,6 + 7 5,1+ 9 6,1) = 1, 49083.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Куликов Е.И. Прикладной статистический анализ / Е.И. Куликов. – М. : Горячая линия – Телеком, 2008. – 464 с.

2.Сидняев Н.И. Теория планирования эксперимента и анализ стати-

стических данных / Н.И. Сидняев. − М. : Юрайт, 2014. – 495 с.

3.Тюрин Ю.Н. Статистический анализ данных на компьютере / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров. − М., 2003. – 543 с.

4.Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров

инаучных работников / А.И. Кобзарь. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 816 с.

5.Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики /

С.А. Айвазян, В.С. Мхатарян. – М. : Юнити-Дана, 2001. − 656.

6.Айвазян С.А. Прикладная статистика. Исследование зависимостей / С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.М. Мешалкин. – М. : Финансы и статистика, 1985. – 487 с.

7.Брандт З. Анализ данных. Статистические и вычислительные методы для научных работников и инженеров / З. Брандт. – М. : Мир, АСТ, 2003. – 688 с.

8.Блохин В.Г. Современный эксперимент : подготовка проведение, анализ результатов / В.Г. Блохин. – М. : Радио и связь, 1997. – 350 с.

9.Статистические методы для ЭВМ : пер. с англ. – М. : Наука, 1986. –

464 с.

10.Радченко Т. А. Теория вероятностей и математическая статистика / Т.А. Радченко, Ю.С. Радченко. – Воронеж : Изд-во Воронеж. гос. ун-та, 1998. – 240 с.

Учебное издание

Радченко Юрий Стефанович, Зюльков Александр Владимирович, Захаров Александр Викторович

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ И ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Часть 1

ОЦЕНКА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И ИХ ПАРАМЕТРОВ

Учебно-методическое пособие

Редактор И.Г. Валынкина

Компьютерная верстка О.В. Шкуратько

Электронное издание

Подписано в печать 26.05.2016. Уч.-изд. л. 2,3. Усл. печ. л. 1,7. Заказ 191.

Издательский дом ВГУ. 394000, г. Воронеж, пл. Ленина, 10

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]