Введение в тензорный анализ (120
..pdfCopyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ме координат x1, x2, x3 задается формулами
l |
1 |
|
l |
α |
|
∂gαj |
|
∂giα |
|
∂gij |
|
(5.1) |
Гij = |
|
g |
|
|
+ |
|
− |
|
||||
2 |
|
∂xi |
∂xj |
∂xα |
(формулы Кристоффеля).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно определению симметричной связности и теореме 4.1 имеем
Гkij = Гkji;
|
|
|
∂gij |
|
|
|
|
|
|
|
|
(rkg)ij = |
|
|
− Гikα gαj − Гjkα giα = 0. |
|
|||||||
|
∂xk |
|
|||||||||
Переставив циклически индексы i, j, k, получим |
|
||||||||||
g |
iα |
Гα + g |
j α |
Гα |
= |
∂gjk |
; |
(5.2) |
|||
|
|
||||||||||
|
|
jk |
ik |
|
∂xk |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
gj αГkiα + gkαГjiα = |
∂gjk |
; |
(5.3) |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xi |
|
||
gkαГijα + giαГkjα |
= |
∂gik |
. |
(5.4) |
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xj |
|
||
Если обозначить (а), (б), (с) правые части формул (5.2)—(5.4), то в силу симметричности связности имеет место равенство (б) + + (c) − (а) = 2gkαГijα . Умножив это равенство на gkl и просуммировав по k, получим формулу (5.1).
Связность, построенную в теореме 5.1, называют связностью Леви-Чивита.
Гk |
Пример 5.1. В случае евклидовой метрики |
(gij = δij) все |
||||||
= 0, т. е. связность |
Леви-Чивита |
совпадает |
с |
канонической |
||||
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
связностью в пространстве R3. |
|
|
|
|
||||
|
Пример 5.2. Пусть задана плоскость Лобачевского как верхняя |
|||||||
полуплоскость (v > 0), в которой задана метрика |
|
|
||||||
|
|
|
ds2 = |
du2 + dv2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(gij) = |
v−2 |
0 |
|
|
v2 |
0 |
. |
|
0 v−2 ; (gij) = 0 v2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вычислив коэффициенты линейной связности по формуле (5.1), получим
Г112 |
1 |
|
Г121 = Г211 = Г222 |
1 |
|
(5.5) |
||
= |
|
; |
= − |
|
, |
|||
v |
v |
|||||||
остальные коэффициенты связности равны нулю.
Пример 5.3. Пусть на плоскости Лобачевского, указанной в примере 5.2, задано тензорное поле T типа (1, 1) и векторное поле X:
|
T = u du ∂u; X = v∂u. |
|
|
|
|||||||||
|
|
производную |
rX T. Для этого применим |
||||||||||
Найдем ковариантную |
1 |
|
|
2 |
|
||||||||
формулу (4.5), считая, что x |
|
= u, x |
|
= v. Тогда |
|
|
|||||||
1 |
∂T 1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
2 |
1 |
|
1 |
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
(r1T )1 = |
|
+ Г11T1 |
+ Г12T1 |
− Г11T1 |
− Г11T2 |
= |
|||||||
∂x1 |
|||||||||||||
= 1 + 0 ∙ u + −v |
∙ 0 − 0 ∙ u − v |
∙ 0 = 1; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
2 |
∂T 2 |
2 |
|
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
(r1T )1 = |
|
+ Г11T1 |
+ Г12T1 |
− Г11T1 |
− Г11T2 |
= |
|||||||
∂x1 |
|||||||||||||
=0 + v1 ∙ u + 0 ∙ 0 − 0 ∙ 0 − v1 ∙ 0 = uv
ит. д. Так как rX T = vr1T , то в итоге получим
j |
v u |
((rX T )i ) = |
u 0 . |
Пример 5.4. Пусть задан тензор T (cм. пример 5.3). Опу-
стим верхний индекс тензора и получим тензор S с координатами
Sjk = gαjTkα.
Имеем
S11 = g11T11 + g21T12 = v−2 ∙ u + 0 ∙ 0 = uv−2;
S12 = g11T21 + g21T22 = v−2 ∙ 0 + 0 ∙ 0 = 0
и т. д. При поднимании индекса у тензора T получим тензор R:
Rjk = gαjTαk.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проведя вычисления, аналогичные предыдущим вычислениям, в
результате получим |
0− |
|
0 ; |
Rij = |
|
|
0 0 . |
|||||||||||||||
(Sij) = |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
uv |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
uv2 |
0 |
|
|||||
Пример 5.5. Вычислим ковариантные производные rX S и |
||||||||||||||||||||||
rX R. Cогласно формулe (4.6) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(r1S)11 = |
∂S11 |
− |
Г111 S11 − |
Г112 S21 − |
Г111 S11 − Г112 S12 = |
|||||||||||||||||
∂x1 |
||||||||||||||||||||||
= v12 − 0 ∙ v2 − −v |
∙ 0 − 0 ∙ v2 |
− v ∙ 0 = v2 ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
u |
|
1 |
|
1 |
|
||||
(r1S)12 = |
∂S12 |
− |
Г111 S12 − |
Г112 S22 − |
Г121 S11 − Г122 S12 = |
|||||||||||||||||
∂x1 |
||||||||||||||||||||||
= 0 − 0 ∙ 0 − v |
∙ 0 − −v |
∙ v2 |
− 0 ∙ 0 = v3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
u |
|
|
|
|
|
u |
|||
и т. д. Выполнив аналогичные действия, получим
(r1R)11 = |
∂R11 |
|
|
|
|
|
||
|
+ Г111 R11 + Г121 R21 + Г111 R11 + Г121 R12 = |
|||||||
∂x1 |
||||||||
|
1 |
∙ 0 + 0 |
|
1 |
∙ 0 = v2 |
|||
= v2 + 0 ∙ 0 + − |
|
∙ uv2 |
+ − |
|
||||
v |
v |
|||||||
и т. д. Так как rX S = vr1S, rX R = vr1R, окончательно имеем
(rX S)ij |
v−1 |
uv−2 |
; |
(rX R) |
ij |
|
v3 |
uv2 |
. |
= uv−2 |
0 |
|
= uv2 |
0 |
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Задача 1. Вычислить коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y .
Номер |
|
|
|
Номер |
|
|
вари- |
X |
Y |
|
вари- |
X |
Y |
анта |
|
|
|
анта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
xy∂x + ∂y |
y∂y |
|
13 |
2xy∂x + x∂y |
xy∂y |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x∂x − y∂y |
x∂x |
|
14 |
x∂x − 2y2∂y |
xy∂x |
3 |
x∂x + y∂y |
y∂x |
|
15 |
2∂x + xy∂y |
xy∂x |
4 |
x∂x + y∂y |
x∂y |
|
16 |
x∂x + y2∂y |
∂x + x∂y |
5 |
xy∂x + x∂y |
xy∂y |
|
17 |
xy∂x + 2∂y |
y∂y |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
x∂x − y2∂y |
xy∂x |
|
18 |
x∂x − 2y∂y |
x∂x |
7 |
∂x + xy∂y |
xy∂x |
|
19 |
x∂x + 2y∂y |
y∂x |
8 |
∂x + y2∂y |
∂x + x∂y |
|
20 |
2x∂x + y∂y |
x∂y |
9 |
xy∂x + ∂y |
y∂y |
|
21 |
xy∂x + 2x∂y |
xy∂y |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
2x∂x − y∂y |
x∂x |
|
22 |
2x∂x − y2∂y |
xy∂x |
11 |
2x∂x + y∂y |
y∂x |
|
23 |
∂x + 2xy∂y |
xy∂x |
12 |
x∂x + 2y∂y |
x∂y |
|
24 |
2x∂x + y2∂y |
∂x + x∂y |
Задача 2. В плоскости Лобачевского с метрикой
ds2 = du2 + dv2 v2
найти ковариантную производную rX T тензорного поля T типа (1, 1) в направлении векторного поля X. Определить координаты тензоров S и R, полученные из тензорного поля T соответственно опусканием и подниманием индексов. Определить ковариантные производные rX S и rX R.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Номер |
ξ1 |
ξ2 |
|
|
|
|
|
Номер |
ξ1 |
ξ2 |
|
|
|
|
вари- |
T11 |
T12 |
T21 |
T22 |
|
вари- |
T11 |
T12 |
T21 |
T22 |
||||
анта |
|
|
|
|
|
|
|
анта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
v |
v |
0 |
0 |
0 |
|
13 |
1 |
1 |
v |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
v |
0 |
v |
0 |
0 |
|
14 |
1 |
1 |
0 |
v |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
v |
0 |
0 |
v |
0 |
|
15 |
1 |
1 |
0 |
0 |
v |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
v |
0 |
0 |
0 |
v |
|
16 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
u |
0 |
v |
0 |
0 |
0 |
|
17 |
0 |
v |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
u |
0 |
0 |
v |
0 |
0 |
|
18 |
0 |
v |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
u |
0 |
0 |
0 |
v |
0 |
|
19 |
0 |
v |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
u |
0 |
0 |
0 |
0 |
v |
|
20 |
0 |
v |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
v |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
21 |
1 |
u |
v |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
v |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
22 |
1 |
u |
0 |
v |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
v |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
23 |
1 |
u |
0 |
0 |
v |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
v |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
24 |
1 |
u |
0 |
0 |
0 |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3. На сфере единичного радиуса с первой квадратичной формой
ds2 = du2 + cos2u dv2
найти ковариантную производную rX T тензорного поля T типа (1, 1) в направлении векторного поля X. Определить координаты тензоров S и R, полученные из тензорного поля T соответственно опусканием и подниманием индексов. Найти ковариантные производные rX S и rX R. Исходные данные указаны в таблице, приведенной в задаче 2.
Задача 4. Вычислить тензор малой деформации LX g для метрики поверхности
z = f(x, y).
35
»ервисC-нигаK гентство«A ООО & »БИБКОМ« ЦКБ« ОАО Copyright
Номер |
|
|
|
Номер |
|
|
|
Номер |
|
|
вари- |
X |
f(x, y) |
|
вари- |
X |
f(x, y) |
|
вари- |
X |
f(x, y) |
анта |
|
|
|
анта |
|
x2 − 2y2 |
|
анта |
|
|
1 |
x∂x |
x2 + 2y2 |
|
9 |
x∂x |
|
17 |
∂y |
xy |
|
2 |
x∂y |
x2 + 2y2 |
|
10 |
x∂x + ∂y |
x2 − 2y2 |
|
18 |
∂x + ∂y |
xy |
3 |
∂x + x∂y |
x2 + 2y2 |
|
11 |
∂x + x∂y |
x2 − 2y2 |
|
19 |
∂x − y∂y |
xy |
4 |
∂x − y∂y |
x2 + 2y2 |
|
12 |
∂x − y∂y |
x2 − 2y2 |
|
20 |
y2∂x |
xy |
5 |
∂x + ∂y |
x2 + 2y2 |
|
13 |
∂x + y∂y |
x2 − 2y2 |
|
21 |
x2∂y |
xy |
6 |
y2∂x |
x2 + 2y2 |
|
14 |
∂y |
x2 − 2y2 |
|
22 |
∂x + x∂y |
xy |
7 |
y∂y |
x2 + 2y2 |
|
15 |
∂x |
x2 − 2y2 |
|
23 |
y2∂y |
xy |
8 |
y∂x + ∂y |
x2 + 2y2 |
|
16 |
∂x + 2∂y |
x2 − 2y2 |
|
24 |
xy2∂x |
xy |
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЛИТЕРАТУРА
1.Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Cовременная геометрия. М.: Наука, 1979.
2.Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. М.: Высш. шк., 2001.
3.Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом: Пер. с англ. М.: Мир, 1979.
4.Спивак М. Математический анализ на многообразиях: Пер. с англ. М.: Мир, 1968.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. ВЕКТОРНЫЕ И КОВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1. Определение тензора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Операции над тензорными полями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3. Тензоры в пространствах с метрикой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4. Действие отображений на тензорные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. ПРОИЗВОДНАЯ ЛИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1. Фазовый поток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2. Производная Ли тензорного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4. КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.1. Ковариантная производная векторных полей . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2. Ковариантная производная тензорных полей . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3. Параллельный перенос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5. СВЯЗНОСТЬ ЛЕВИ-ЧИВИТА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Щетинин Александр Николаевич Губарева Елена Александровна
ВВЕДЕНИЕ В ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Редактор О.М. Королева Корректор Е.В. Авалова
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Подписано в печать 02.07.2012. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,33. Тираж 300 экз. Изд. № 5.
Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ДЛЯ ЗАМЕТОК