Применение функций чувствительности в задачах математического моделирования систем с распределенными параметрами. Ч. 1 (120
.pdf
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
c |
T |
|
c j |
|
x |
|
T |
|
|
|
c j |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|||
|
r T |
|
|
|
T |
|
|
|
r |
2T |
|
|
2 |
r |
T 2 |
|
(3.20) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
x |
|
|
|
T |
x |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x x |
ci |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
c r |
|
r T |
T |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
r T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
jrT |
|
, r 1,n. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t c j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Краевые условия примут вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
T |
|
x,0 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
c j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
T |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0,t 0 |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,t |
0; |
|
|||||||||||||||||
|
ci |
j |
|
|
|
ci |
j |
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ci j
либо
|
|
(n) |
T |
|
|
|
|
T l,t |
|||||
|
|
|
|
|
l |
,t |
c |
|
|
|
|
|
|
|
x |
ci |
j |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
T |
|
x,0 0; |
T |
0,t 0 |
||||||||
|
c j |
|
c j |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
или
(1)
(n)
T |
|
|
|
|
T (0,t) |
|
|
|
(1) |
|
T |
T |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
x |
|||
|
|
|
x |
ci |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
T |
l,t |
|
|
|
|
|
(n) T |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|||||
|
x |
|
ci |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T (0,t) |
0; |
|
||
c j |
|
|
||
i |
|
|
(3.21) |
|
T |
T |
l,t |
||
0. |
||||
|
|
|
||
|
j |
|||
|
|
|
||
x |
ci |
|
Получим краевую задачу (3.20) – (3.21) для нахождения функ-
|
T |
|
i |
|
, |
|
|
|
|
ций чувствительности |
, |
0, n j |
j |
|
. |
||||
1, n |
|||||||||
c j |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
Сформируем вектор функций чувствительности
j , |
j |
|
T , |
|
|
|
|
|
||||
1, n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
T |
|
|
, |
i 1, n j , |
T |
|
i 1, n j |
|||||
j |
j |
j |
. |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|||||
|
|
ci |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
Тогда краевая задача для |
|
|
j |
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
c r r |
k |
|
|
|
|
|
|
r |
k |
|
|
|
|
|
T |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 r |
T 2 |
|
|
|
r |
|
2T |
|
|
c r |
|
r T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
j |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, r 1,n; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
T |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
x |
2 |
|
|
T |
|
|
|
t |
k |
Sk |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.22) |
|||||||||||||
k |
|
x,0 0; k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
или |
(1) T |
k |
|
|
0,t |
|
|
|
j |
0,t Q j 0,t 0; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
T |
|
j |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(n) k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l,t |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
l,t Qk |
l,t 0, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jr |
T i r |
если |
|
j T c j , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Sk |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T |
|
|
|
|
|
i 1 T |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
j |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
iT |
, если |
T |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jr T |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
i |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Q j |
|
|
0, |
|
если |
|
j T |
|
|
c j , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i T |
|
0,t , |
|
|
если |
|
|
j |
T |
|
|
j |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ijT |
|
|
x |
|
|
|
|
k |
|
|
i |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
Таким образом, получили общую краевую задачу для ФЧ. Задачи определения температурного поля в конструкции и ФЧ
решают с помощью метода конечных разностей или метода конечных элементов [19, 20].
При численной реализации данных методов полезно выполнить математическое исследование. В частности, изучить вопросы аппроксимации и устойчивости.
Численный метод поиска оптимальных планов
Стратегия последовательного планирования. Планирование эксперимента при нелинейной параметризации заключается в отыскании оптимальных условий для уточнения неизвестных параметров, начальные значения которых заданы. Если эти априорные данные неизвестны, то никакое планирование эксперимента невозможно.
В зависимости от вида априорной информации существует несколько стратегий проведения эксперимента и выбора оптимального плана. Рассмотрим стратегию последовательного планирования. Ее суть состоит в том, что вся совокупность экспериментов делится на группы, состоящие как минимум из одного
эксперимента. По известным оценкам a j после проведения j наблюдений планируют j 1 -й эксперимент, оптимизирующий свойства F a j , j , а затем эти результаты используют для уточ-
нения a j , т. е. получения a j 1 .
Процедура построения D-оптимального плана. Область пла-
нирования представляет собой фиксированное множество X из K точек (число измерений во времени). Выберем план * с N K ,
доставляющий максимум det F . Задача может быть решена перераспределением дискретной вероятностной меры p среди точек
множества X . Алгоритм решения состоит из следующих этапов:
1) выбор начального плана |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
N |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
t1, |
t2 , ... |
tN |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
p , |
p , ... |
p |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
N |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
33
2) формирование матрицы однократных наблюдений
M tk a j ,tk T a j ,tk ,
где T a – ФЧ;
3) вычисление информационной матрицы Фишера
M
F pk M (tk );
k1
4)поиск на множестве X точки
* |
arg max Sp F |
1 |
|
s |
M tk ; |
|
t j |
|
|
||||
|
t X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) поиск среди точек плана точки
** |
arg mins |
|
1 |
s |
|
t j |
Sp F |
|
|
M t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
6)получение плана s 1 заменой точки t**j на точку t*j ;
7)при det F s det F s 1 останов; иначе s s 1 , переход к этапу 2.
Моделирование измерений температуры
Для решения модельных задач необходимо смоделировать результаты измерений в точках наблюдения. Для этого наложим на решение прямой задачи относительную погрешность.
Нормально распределенная погрешность. Моделировать слу-
чайные числа из нормального распределения N(0,1) будем на ос-
нове центральной предельной теоремы с помощью равномерного распределения R(0,1) (поскольку генераторслучайных равномерно
распределенных на отрезке [0,1] чисел встроен почти во все со-
34
временныеязыкипрограммирования). Формуладлямоделирования имеет вид
|
12 |
|
n |
n |
|
|
|
|
n |
|
i |
|
|
, |
|
2 |
|||||||
|
i 1 |
|
|
где N(0,1) ; R(0,1) ; n – параметр моделирования.
Тогдамодельвозмущенных наблюдений um (t j ) будутиметьвид
ˆ
u xm ,t j T xm ,t j 1 ,
где ˆ – относительная погрешность наблюдений.
Периодическая погрешность. Она формируется наложением на модельное решение некоторой периодической функции. Модель наблюдений, возмущенных подобным образом, может иметь следующий вид:
ˆ |
i j |
7 . |
u xi ,t j T xi ,t j 1 sin 1,5 |
Сдвиг. Возмущенные наблюдения, полученные с помощью сдвига модельного решения, рассчитывают по формуле
u xi ,t j T xi ,t j 1 ˆ .
Общая схема программного комплекса
Для решения поставленной задачи требуется разработка программного комплекса.
Алгоритм работы программного комплекса в общем виде представлен на рис. 3.2.
Алгоритм подпрограммы построения оптимальной схемы измерений представлен на рис. 3.3. На данном этапе решения из известного дискретного множества возможных наблюдений выбирается D-оптимальная схема измерений со спектром заданной длины.
35
Условияэксперимента, экспериментальныеданныеи погрешностьихизмерения, параметрическиеограничения
Выбор пробной точки
Расчет значений критериев
1 и 2
Проверка непустоты множества точек с
1
Выбор эффективных точек
Выбор решения задачи
Выдача результатов
ГенераторЛПпоследовательности
Выбор оптимальной схемы измерений
Решение уравнений теплопереноса
Рис. 3.2. Общая блок-схема работы программного комплекса
После разработки программного комплекса необходимо провести вычислительный эксперимент по его отладке, а затем выполнить разнообразные исследования. В частности, полезно провести анализ зависимости решения от числа пробных точек, вида
36
Множествовозможных измерений, число измерений
|
Задание начального плана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление информаци- |
|
|
Вычисление функ- |
|
|
онной матрицы Фишера F |
|
|
ций чувствитель- |
|
|
|
|
|
ности |
|
|
|
|
|
|
|
|
Построение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
нового плана, улуч- |
|
|
|
|
|
шающего det F |
|
|
|
Оптимальная схема измерений
Рис. 3.3. Блок-схема подпрограммы построения оптимальной схемы измерений
погрешности, схемы измерений, степени полинома – аппроксимацииТФХ. Крометого, можновыполнитьисследования, связанныес построением другого плана измерений. Например, в виде
x1, |
x2 , |
..., |
xN |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi 1, |
pi 0, |
|
p , |
p , |
..., |
p |
|
, |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
1 |
2 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где x j j 1, N – координатыточекрасположениятермодатчиков.
37
Полезно также рассмотреть другие методы решения двухкритериальнойзадачиоптимизацииисравнитьихпоэффективности. В заключении дипломной работы обязательно должны быть сформулированы выводы, в которых приводят основные полученные результаты и рекомендации по практическому использованию.
4.ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
ВЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕПЛОВОГО НАГРУЖЕНИЯ
При экспериментальных исследованиях и отработке тепловых режимов летательных аппаратов широко используют методы диагностики тепловых нагрузок, основанные на решении граничных обратных задач теплопроводности (ОЗТ) [15, 21]. При этом точность восстановления тепловых потоков может быть повышена за счет оптимального выбора количества термодатчиков и их рационального размещения в исследуемой конструкции. Решение такой задачи можно выполнить с помощью методов планирования эксперимента [22].
Рассмотрим плоскую, неограниченную пластину толщиной h, процесс переноса тепла в которой описывается следующим уравнением нестационарной теплопроводности с граничными условиями второго рода:
C(T ) |
T |
|
|
(T ) |
T |
, |
0 x h, |
0 m; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|||||||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
T (x, 0) T0 (x), |
0 x h; |
|
(T (0, )) T (0, ) q1 ( );
x
(T (h, )) T (h, ) q2 ( ),
x
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
где С(Т) – объемная теплоемкость; λ(Т) – коэффициент теплопроводности; T – температура; x – координата; – время; m – про-
38
должительность процесса; q1( ), q2 ( ) – плотности тепловых по-
токов на левой и правой границах пластины соответственно. Граничная ОЗТ заключается в определении плотности тепло-
вого потока на одной из границ, например q1( ), или одновременно на обеих границах – q1( ) и q2( ) с использованием математической модели (4.1) – (4.4) и по данным измерений температуры в некотором ограниченном количестве N точек пластины с координатами
x Xi , i 1, N :
Tэксп( Xi , ) fi ( ), i 1, N, (4.5)
где fi ( ), i 1, N, – экспериментально измеренные температуры; N
– число термодатчиков.
Эффективные итерационные вычислительные алгоритмы восстановления указанных характеристик предложены в работах [15, 21], в которых приближенное решение обратной задачи определяется из условия невязки:
N |
m |
T ( Xi , ) fi ( ) 2d 2 , |
|
I |
(4.6) |
||
i 1 |
0 |
|
|
где Т (х, ) – температура, рассчитанная с помощью математической модели (4.1) – (4.4) при фиксированных тепловых нагрузках;
|
N m |
2 |
2 (Xi , ) d – обобщенная погрешность температурных |
|
i 1 0 |
измерений; 2(Xi, ) – дисперсия погрешности измерения температуры в точке с координатой х = Хi.
Из условий единственности решения граничной обратной задачи для восстановления одной функции достаточно осуществить нестационарное измерение температуры в одной пространственной точке. Для восстановления двух характеристик минимально необходимой экспериментальной информацией является измерение температуры в двух точках [15]. Большее число термодатчиков приводит к переопределенной постановке ОЗТ.
39
Введем параметризацию неизвестных характеристик в виде
mr |
|
qr ( ) arjbrj ( ) , |
(4.7) |
j 1
где qr(x) – искомая характеристика; r = 1, 2 – номер границы, на которой восстанавливается характеристика; brj ( ) – система ба-
зисных функций.
Тогдаобратнаязадачасводитсякопределению(оценке) вектора параметров a ak 1M , М = т1 + т2, в состав которого включены
коэффициенты параметрического представления восстанавливаемых (одной или двух) функций. Если на r-й границе плотность теплового потока не восстанавливается, то mr = 0.
Сформулируем теперь задачу оптимального планирования измерений. Для этой цели введем в рассмотрение план эксперимента
N, X , X Xi N . |
|
(4.8) |
||||
1 |
|
|
|
|||
Для его построения используют, как и ранее, критерий D-опти- |
||||||
мальности [22] |
|
|
||||
det F( ), |
|
(4.9) |
||||
где F( ) – нормированная информационная матрица Фишера, |
||||||
F ( ) |
1 |
kj , k, j |
|
; |
|
(4.10) |
1, N |
|
|||||
N |
|
|||||
N m |
|
T(x, ) , |
||||
kj 2 ( Xi , ) k ( Xi , ) j ( Xi , )d ; |
k (x, ) |
|||||
i 1 0 |
|
ak |
k 1, M , – функции чувствительности.
Матрица F( ) характеризует суммарную чувствительность системы в точках измерения Хi, i 1, N , к малым вариациям всей совокупности параметров ak, k 1, M . Требуется найти такой план
40