Методы и средства научных исследований (90
..pdfЛабораторная работа 3
КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК ОПЫТОВ И ИХ УЧЕТ
Цель работы: освоение и закрепление теоретических знаний по разделу «Статистическая обработка экспериментальных данных»; получение навыка классификации ошибок опытов и их учета; освоение принципа статистической гипотезы об однородности двух дисперсий.
Оборудование, приборы, принадлежности, материалы
1.Влагомер МГ4 У.
2.Микрометр - 2 шт.
3.Исследуемый материал.
Краткие теоретические сведения
Все ошибки опытов делятся на два класса: систематические и случайные.
Систематические ошибки порождены причинами, действующими регулярно в одном направлении. Чаще всего их можно изучить и определить количественно. Они подлежат обязательному исключению.
Случайные ошибки появляются нерегулярно, причины их возникновения неизвестны, и учесть их заранее невозможно.
Промах – случайная ошибка, возникающая при грубом наблюдении
и подлежащая исключению из выборки. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Для обнаружения промаха в выборке сомнительный результат |
|
|
|
||||||||||||
временно |
|
исключают |
из выборки, а по оставшимся |
данным |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
рассчитывают |
среднее |
арифметическое |
|
и оценку дисперсии |
|
2 |
. |
||||||||
|
|
|
|
Стьюдента : |
|
|
|||||||||
Далее вычисляют величину критерия |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Из таблиц |
|
расч |
|
|
|
|
|
(3.1) |
|||||||
|
|
|
распределения Стьюдента (табл. 1 Приложения) по |
||||||||||||
выбранному уровню значимости |
|
, |
и |
числу степеней свободы |
|
|
, |
||||||||
связанному с оценкой дисперсии |
|
находят табличное значение |
– |
||||||||||||
является |
- |
табл. |
Если |
|
расч > табл |
, то подозреваемый |
результат |
||||||||
критерия |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
промахом и должен быть исключен из выборки.
11
Для проверки статистической гипотезы об однородности двух дисперсий (например, задача сравнения точности двух измерительных
приборов) используется – критерий Фишера. Вначале вычисляются |
||||||||||||||||||||
выборочные |
дисперсии |
2 |
и |
|
2 |
для |
соответствующих |
выборок |
||||||||||||
большей 1из |
2 |
, |
после1 чего - |
величина2 |
расч |
, равная отношению |
||||||||||||||
объемом |
и |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
выборочных дисперсий к меньшей. Пусть для |
||||||||||||||||
определенности 12 |
|
> 22. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.2) |
|||||||
Далее задаются |
уровнем значимости |
|
и вычисляют числа степеней |
|||||||||||||||||
|
|
расч |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
знаменателя по формулам: |
|
|
|
||||||||
свободы дисперсии числителя и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.4) |
|
По трем величинам |
2 |
2 |
|
из таблиц распределения Фишера |
||||||||||||||||
|
, то |
выборочные = табл |
(табл. 2 Приложения). Если |
расч |
> |
|||||||||||||||
отыскивают величину |
, 1 |
и 2 |
|
|
||||||||||||||||
(табл |
|
расч ≤ табл |
|
|
дисперсии |
|
считаются |
неоднородными |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
различие между ними значимо) для выбранного уровня значимости . |
||||||||||||||||||||
Если |
|
|
|
, |
то |
можно принять |
гипотезу |
об |
однородности |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
дисперсий.
Содержание лабораторной работы
1.Подготовка к лабораторной работе: изучение методического пособия и рекомендованной литературы.
2.Измерение влажности образца древесины.
3.Анализ и выявление грубых измерений.
4.Измерение размеров двумя микрометрами.
5.Сравнение точности измерительных приборов.
6.Оформление отчета и сдача лабораторной работы.
Последовательность выполнения лабораторной работы
1.Изучить краткие теоретические сведения, записать основные определения, понятия, формулы.
2.Произвести измерение влажности образца древесины в 10 точках с помощью влагомера.
3.Проверить, не является ли промахом сомнительный результат измерений.
12
4.Произвести измерение ширины обработанного пиломатериала в 10 точках двумя микрометрами.
5.Сравнить точность обоих приборов с применением гипотезы об однородности двух дисперсий.
6.Сделать выводы по работе.
Содержание и оформление отчета
В отчете должны быть отражены и представлены:
1.Цель работы.
2.Основные определения и понятия, формулы.
3.Последовательность выполнения лабораторной работы.
4.Результаты измерений в виде ряда значений.
5.Расчеты.
6.Выводы по работе.
Контрольные вопросы
1.Понятие систематических и случайных ошибок.
2.Промахи. Их исключение из выборки.
3.Суть статистической гипотезы об однородности двух дисперсий.
Рекомендуемая литература
1. Пижурин, А.А. Основы научных исследований в деревообработке: учебник для вузов / А.А. Пижурин, А.А. Пижурин. – М.: Изд-во ГОУ ВПО МГУЛ, 2005. - 305 с.
2.Тимербаев, Н.Ф. Основы научных исследований: учебное пособие / Н.Ф. Тимербаев, Р.Г. Сафин. – Казань : Изд-во Казан. гос. технол. ун-та, 2008. – 84 с.
3.Румшинский, Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. / Л.З. Румшинский. – М.: Наука, 1971. – 192 с.
13
Лабораторная работа 4
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
С ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Цель работы: изучение основ теории регрессионного анализа; получение навыков обработки результатов эксперимента для получения математической модели с применением метода наименьших квадратов и оценки адекватности полученной модели.
Оборудование, приборы, принадлежности, материалы
1.Универсальная испытательная машина.
2.Испытываемые образцы.
Краткие теоретические сведения
В основе обработки результатов активного и пассивного экспериментов с количественными факторами лежит регрессионный анализ. Он включает метод отыскания параметров математической
модели и статистическую обработку данных. |
||||||
|
|
|
|
|
1, 2, … , |
(4.1) |
|
Регрессионная модель – зависимость выходной величины (отклика) |
|||||
|
от варьируемых факторов |
|
, полученная с применением |
|||
регрессионного анализа. Представляется в виде |
||||||
где |
( 1 |
, 2, … , ) |
– функция1 отклика2 . |
|
||
|
|
|
||||
Регрессионная модель является частным случаем математической модели объекта. Построенная регрессионная модель позволяет получить информацию о самом объекте и о способах управления им.
Модель в виде многочлена первого порядка сокращенно называют регрессионной моделью первого порядка или линейной.
В общем случае линейная регрессионная модель объекта имеет вид |
|||||
|
0 |
, 1 |
, 2 |
. . . |
(4.2) |
где |
|
|
|
0 – коэффициенты1 1 2 2 , числовые |
значения которых |
определяются по результатам эксперимента. Их называют линейными коэффициентами0 регрессии, а уравнение (4.2) – уравнением регрессии, коэффициент – свободным членом.
14
квадратов, |
|
|
|
= 0 |
+ 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Для получения моделей с одной переменной (одним варьируемым |
||||||||||||||||||||||||||||
фактором |
|
) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
применяется метод наименьших |
||||||||||||||||
|
|
|
|
позволяющий на основе экспериментальных данных |
|||||||||||||||||||||||||
рассчитать коэффициенты регрессии |
|
|
|
|
|
|
. Если предположить, что |
||||||||||||||||||||||
1 |
в опыте номер |
|
|
|
|
1, 12, …., 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
эксперимент состоит в постановке |
|
|
|
|
|
опытов и в этих опытах фактор |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
и 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
= 1, 2, … , |
|
соответственно. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
принимает значения |
1 |
, 2 |
, … , |
|
|
|
, |
то |
|
|
– это значение фактора |
|||||||||||||||||
наименьших |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принимает в |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выходная величина |
|
||||||||||||||
этих опытах значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя метод |
||||||||||
|
|
|
|
квадратов, можно определить численные значения |
|||||||||||||||||||||||||
коэффициентов регрессии 0 и 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 = |
|
=1 |
|
=1 |
1 |
|
|
=1 |
|
1 |
|
|
=1 |
|
1 |
, |
|
(4.3) |
||||||||||
|
= |
|
∑ =1 12 −(∑ =1 |
1 )2 |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
=1 |
|
1 |
|
2 |
=1 |
|
|
|
|
=1 |
1 |
|
|
|
(4.4) |
||||||||||
|
Для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(4.5) |
|||||||
|
|
|
∑ =1 1 −(∑ =1 |
1 ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
проверки вычислений необходимо установить равенство |
|||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
=1 |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
После того как |
уравнение регрессии получено, приступают к его |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
задачей |
которого является |
||||||||||||
статистическому |
анализу, |
основной |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
проверка адекватности регрессионной модели. Этот анализ дает возможность экспериментатору ответить на вопрос, будет ли построенная модель предсказывать значения выходной величины с той же точностью, что и результаты эксперимента.
Пусть – число опытов (число серий параллельных опытов, если
опыты |
дублируются); |
|
– число |
оцениваемых коэффициентов |
|
|
|
|
|
> . |
|
адекватности |
модели возможна только при |
|
регрессии. Проверка |
|
|
|
|
1.Определяютад сумму квадратов, характеризующую адекватность модели :Порядок проверки адекватности модели:
15
|
ад = [( 1 − 1)2+. . . +( − )2] = − 2, |
|
|
(4.8) |
||||||||||||||||||||||||||
где – число дублированных опытов в |
каждой серии, |
|
– среднее |
|||||||||||||||||||||||||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
значение |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
й |
серии дублированных |
||||||||||||||
|
результатов эксперимента в |
|
||||||||||||||||||||||||||||
опытов, |
|
|
|
|
1, |
2, |
|
…, |
|
|
, |
|
– |
значение |
выходной величины, |
|||||||||||||||
рассчитанное по уравнению регрессии для |
|
|
– го основного опыта. |
|
||||||||||||||||||||||||||
2. |
Вычисляют |
|
|
число |
|
|
степеней |
свободы |
|
ад |
|
дисперсии |
||||||||||||||||||
|
адекватности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.9) |
||||||||
3. |
Вычисляют |
дисперсию адекватности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
Вычисляют |
|
|
|
|
ад |
ад |
|
ад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.10) |
|||||||||
|
|
|
|
{ } = |
дисперсию воспроизводимости: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
и |
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
= |
=1 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
(4.11) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( −1) |
|
|
|
|
(4.12) |
||||||||||||||
|
|
число степеней свободы для нее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
С |
|
помощью |
|
|
- критерия |
2 |
Фишера |
|
проверяют однородность |
||||||||||||||||||||
|
2 |
{ } |
|
адекватности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.13) |
|||||||||||
|
дисперсии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
. При этом вычисляютад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
которое |
|
|
|
|
|
расч |
|
ад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- критерия |
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
сравнивают с табличным значением |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
найденным при выбранном уровне |
значимости |
|
для |
чисел |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
табл |
|
||||||||||||||||||||
|
Приложения). |
|
|
ад |
в числителе и |
|
|
– в |
знаменателе (табл. 2 |
|||||||||||||||||||||
|
степеней свободы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
то модель |
считается |
|||||||||
|
адекватной и может |
быть использована для описания объекта. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
расч |
< табл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В противном случае модель неадекватна.
Содержание лабораторной работы
1.Подготовка к лабораторной работе: изучение методического пособия и рекомендованной литературы.
2.Определение разрывной нагрузки образцов древесины в зависимости от поперечного сечения образца на испытательной машине.
3.Получение регрессионной модели разрывной нагрузки от поперечного сечения образца.
16
4.Проверка адекватности регрессионной модели.
5.Оформление отчета и сдача лабораторной работы.
Последовательность выполнения лабораторной работы
1.Изучить краткие теоретические сведения, записать основные определения, понятия, формулы.
2.Подготовить универсальную испытательную машину к работе в соответствии с инструкцией по эксплуатации, произвести настройки параметров программного обеспечения.
3.Определить разрывные нагрузки предварительно подготовленных образцов древесины в зависимости от поперечного сечения образца. Провести пять опытов для разных поперечных сечений образца. Каждый опыт повторить три раза.
4.Оформить экспериментальные данные в виде табл. 4.1.
Таблица 4.1
Номер опыта |
Поперечное |
Номер |
Усилие |
, кН |
, кН |
|
сечение, см2 |
1 |
разрыва, кН |
||
|
образца |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5.Рассчитать коэффициенты регрессии.
6.Записать уравнение регрессии, провести проверку
7.Рассчитать по уравнению регрессии значения .
8.Построить в одной координатной плоскости график регрессионной функции и экспериментальные точки.
17
9.Провести проверку адекватности регрессионной модели.
10.Сделать выводы по работе.
Содержание и оформление отчета
В отчете должны быть отражены и представлены:
1.Цель работы.
2.Основные определения и понятия, формулы.
3.Последовательность выполнения лабораторной работы.
4.Результаты измерений в виде табл. 4.1.
5.Расчеты.
6.График регрессионной функции.
7.Выводы по работе.
Контрольные вопросы
1.Понятие регрессионной модели и ее компонентов.
2.Применимость метода наименьших квадратов.
3.Порядок проверки адекватности модели.
Рекомендуемая литература
1. Пижурин, А.А. Основы научных исследований в деревообработке: учебник для вузов / А.А. Пижурин, А.А. Пижурин. – М.: Изд-во ГОУ ВПО МГУЛ, 2005. - 305 с.
2.Тимербаев, Н.Ф. Основы научных исследований: учебное пособие / Н.Ф. Тимербаев, Р.Г. Сафин. – Казань : Изд-во Казан. гос. технол. ун-та, 2008. – 84 с.
3.Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. / В.Е. Гмурман. – М.: Статистика, 1977. – 479 с.
4.Румшинский, Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. / Л.З. Румшинский. – М.: Наука, 1971. – 192 с.
5.Химмельблау, Д. Анализ процессов статистическими методами/ Д. Химмельблау; пер. с англ. – М.: Мир, 1973. – 957 с.
18
Лабораторная работа 5
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПОЛНОГО ТРЕХФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Цель работы: изучение основ теории регрессионного анализа; получение навыков обработки результатов полного трехфакторного эксперимента для получения математической модели и оценки ее адекватности.
Оборудование, приборы, принадлежности, материалы
1.Установка для получения мелкодисперсного древесноцеллюлозного материала УДЦМ-2.
2.Древесные опилки.
3.Реагенты.
4.Колба с обратным холодильником.
5.Фильтр.
6.Сушильный шкаф.
7.Электроплитка.
8.Весы.
Краткие теоретические сведения
Полным факторным планом эксперимента ПФП называют такой план, в котором число уровней варьирования всех факторов одинаково и всевозможные комбинации этих уровней встречаются одинаковое количество раз.
Рассмотрим многофакторные планы (эксперименты). То есть будем
считать, что на объект исследований воздействует сразу несколько, в |
||||||||
т.д.) (рис. 5.1). 1 |
, 2, … , |
|
|
|
обозначениях |
|||
общем случае |
|
факторов, которые в натуральных |
||||||
запишем так: |
|
|
(например, температура, давление, расход и |
|||||
|
. Основной уровень |
|
|
|
варьируется в диапазоне |
< < |
||
Пусть некоторый фактор |
|
(5.1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
варьирования (центр плана) определится как |
||||
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных имеет смысл перейти от натуральных обозначений факторов к безразмерным (нормализованным), т. е. от к , по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
, = 1, 2 … , |
|
|
0 |
|
|
(5.2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
∆ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
+ ∆ |
|
|
|
|
0 |
|
|
∆= − |
|||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
= |
−∆ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где |
|
– интервал варьирования, равный |
|
и 0 = 0 |
− 0. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
= − 0 , = |
|
− 0 |
|||||||||||||||||||||
|
. Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
. Отсюда получим |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
∆ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объект |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исследования |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.1. Геометрическое представление объекта исследования |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Оборудование, приборы, принадлежности, материалы |
|||||||||||||||||||||
|
Таким образом, при планировании по схеме ПФП реализуются все |
|||||||||||||||||||||||||
возможные |
комбинации из |
и |
факторов на двух выбранных уровнях |
|||||||||||||||||||||||
|
|
– нижнем |
|
верхнем соответственно. Необходимое |
||||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.3) |
||||||||
количество опытов при этом определяется по формуле |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Если |
= 3 |
, то мы имеем ПФП |
2 |
, |
или полный трехфакторный |
||||||||||||||||||||
эксперимент, а необходимое количество3 |
опытов составит 8. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
В общем |
случае |
в безразмерной |
системе координат верхний |
|||||||||||||||||||||
уровень для всех факторов равен +1, нижний уровень равен -1, координаты центра плана равны 0 и совпадают с началом новой системы координат. План проведения эксперимента (матрица планирования) записывается в виде таблицы для факторов в безразмерной системе координат (их называют кодированными переменными), а также с указанием факторов в натуральном масштабе. Здесь же в матрицу планирования введен столбец с так
называемой |
фиктивной переменной |
=+1. |
Например, |
изучалось |
|||
влияние на выход продукта ( |
20 |
2 |
|
|
( |
) в |
|
, %) трех факторов0 : температуры5 5 |
|||||||
диапазоне |
100-200 ˚С, |
давления |
( ) |
2·10 -6·10 |
Па 1 |
и |
|