Анализ оптимальных структур композитных стержней (120

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

где технические константы жесткости пакета Ex, Ey, νxy, νyx определяются по формулам (1)—(4).

Продольное перемещение одного торца стержня относительно

На рис. 4 показан типичный график продольного КЛТР перекрестно армированного углепластика.

Рис. 4. Зависимость продольного КЛТР и смещения торца перекрестно армированного стержня от угла армирования

Следует помнить, что отрицательное значение КЛТР однонаправленного материала в направлении армирования α1 для большинства современных углепластиков приводит к тому, что начальный участок графика до диапазона 42◦ ...44◦ соответствует отрицательным КЛТР: длина такого стержня при нагреве уменьшается,

апри охлаждении увеличивается.

1.4.Низшие частоты собственных колебаний

Вдомашнем задании предусмотрены три вида требований к динамическим характеристикам проектируемого стержня. Ограничения могут накладываться на следующие характеристики:

• низшую частоту продольных колебаний стержня f1(пр);

12

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 5. Типичные зависимости низших частот продольных (а) и крутильных (б) колебаний перекрестно армированных стержней из углепластика от угла армирования

Рис. 6. Типичная зависимость низшей частоты изгибных колебаний перекрестно армированного стержня от угла армирования

Формула (17) справедлива для ненагруженного стержня. Типичная зависимость низшей частоты изгибных колебаний

перекрестно армированного стержня из углепластика показана на рис. 6. В соответствии с формулой (17), основная часть графика

14

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

подобна зависимости квадратного корня из продольного модуля упругости, как и на графике рис. 5, а. Однако при малых углах ϕ оказывается существенным влияние низкой сдвиговой жесткости GF, что и приводит к уменьшению собственных частот и появлению максимума (на рис. 6 пунктиром показаны частоты, рассчитанные без учета сдвига по гипотезе Бернулли).

1.5.Характеристики демпфирования

Вразличных вариантах домашнего задания предусмотрен учет следующих характеристик демпфирования композитных стержней:

• коэффициенты диссипации при продольных колебаниях;

• коэффициенты диссипации при крутильных колебаниях;

• коэффициенты диссипации при изгибных колебаниях на низшей частоте;

• мощности диссипации при изгибных колебаниях на низшей частоте.

Воснове расчетных моделей для определения характеристик демпфирования композитных конструкций лежит энергетический подход [4].

Коэффициентом диссипации, или коэффициентом поглощения, любой механической системы называется отношение энергии, рассеянной за один период гармонических затухающих колебаний, к максимальной упругой энергии в этом периоде [5]. Если коэффициент диссипации не зависит от амплитуды, то логарифмический декремент колебаний постоянен и последовательные амплитуды составляют геометрическую прогрессию. Именно такая картина характерна обычно при малых колебаниях композитных конструкций. Для большинства современных композитов коэффициенты диссипации практически не зависят от частоты.

При свободных затухающих продольных колебаниях стержня, как и при крутильных колебаниях, коэффициенты диссипации одинаковы для различных форм колебаний и равны соответствующим коэффициентам композиционного материала.

Вотличие от коэффициентов диссипации мощности диссипации зависят от частоты колебаний. Эти величины характеризуют относительную долю энергии, рассеянной за единицу времени при

15

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

соответствующих типах колебаний. Мощность диссипации равна произведению коэффициента диссипации и числа периодов колебаний за единицу времени, т. е. частоты собственных колебаний. Как следует из определения, коэффициент диссипации — безразмерная величина. Обычно его выражают в процентах, а мощность диссипации — в процентах в секунду.

Для расчета коэффициентов диссипации многослойных композитов и состоящих из них конструкций необходимо знать технические константы жесткости и коэффициенты диссипации каждого

слоя: E1(i), E2(i), G(12i), ν(12i) E1(i)ν(21i) = E2(i)ν(12i) , ψ(1i), ψ(2i), ψ(6i). Для

расчета мощностей диссипации к указанным величинам добавляются также плотности материалов слоев ρi.

Для расчета характеристик демпфирования сначала следует определить коэффициенты матриц жесткости отдельных слоев (1), а также коэффициенты матриц упругодиссипативных характеристик (УДХ) слоев в своих естественных системах координат [1]:

p(12i) = 1/2 ψ(1i) + ψ(2i) g12(i); p(66i) = ψ(6i)g66(i).

Затем вычисляются коэффициенты матриц УДХ слоев в системе координат конструкции:

16

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

После этого могут быть определены коэффициенты диссипации пакета:

где Ex, Gxy, νxy — технические константы жесткости многослойного ортотропного пакета, которые вычисляются согласно (1)—(4).

Коэффициент диссипации при продольных колебаниях композитного стержня вычисляется по первой формуле (20). Для расчета коэффициента диссипации при крутильных колебаниях следует использовать вторую формулу (20).

При изгибных колебаниях стержней, для которых существенно влияние поперечного сдвига, коэффициенты диссипации различаются для разных форм колебаний. Для собственных колебаний формы справедлива формула

где индекс после запятой обозначает дифференцирование по данной координате; w(x) — прогиб стержня; ϑ(x) — угол поворота сечения в соответствии с гипотезой Тимошенко; EI и GF — жесткости стержня согласно (7) и (8).

Для граничных условий, показанных на рис. 1, зависимости ω(x) и ν(x) выражаются простыми тригонометрическими функциями, и формула (21) для коэффициента диссипации на низшей собственной частоте приобретает вид

Мощность диссипации при изгибных колебаниях на низшей частоте определяется произведением величин ψ(1изг) из (22)

17

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

На рис. 7 показаны типичные зависимости коэффициентов диссипации перекрестно армированных стержней из углепластика при продольных и крутильных колебаниях, а на рис. 8 — соответствующие коэффициенты диссипации и мощности диссипации при изгибных колебаниях.

Рис. 7. Типичные зависимости коэффициентов диссипации при продольных (а) и крутильных (б) колебаниях перекрестно армированных стержней из углепластика от угла армирования

Рис. 8. Типичные зависимости коэффициентов диссипации (а) и мощностей диссипации (б) при изгибных колебаниях перекрестно армированных стержней из углепластика от угла армирования

18

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Хорошо заметное различие между графиками рис. 7, а и 8, а объясняется влиянием сдвига, особенно существенным при малых углах армирования. Вид графика рис. 8, б становится понятен исходя из графика рис. 8, а и графика рис. 6.

1.6. Несущая способность композитных стержней

1.6.1. Прочность

Как уже отмечалось, при выполнении домашнего задания прочность композита рассчитывается по первому разрушению. Таким образом, предельные напряжения по данному критерию соответствуют началу необратимого деформирования (разрушения) слоев композитного материала.

Алгоритмы расчета прочности при пропорциональном нагружении рассмотрены в [1]. Они сводятся к расчету предельного значения параметра нагрузки при заданных значениях начальных напряжений. Для расчета необходимо знать технические константы

нии F1+(i) и сжатии F1−(i) в направлении армирования, при одно-

осном растяжении F2+(i) и сжатии F2−(i) в поперечном направлении, а также при сдвиге в осях естественной системы координат

слоя F12(i).

Прочность слоев оценивается в соответствии с критерием максимальных напряжений для монослоя [1]:

(величины F1−(i) и F2−(i) считаются отрицательными).

Вектор начальных напряжений при нагружении стержня осевой сжимающей силой N имеет вид

19