Введение в математический анализ. Производная и ее приложения (110
.pdf1.2.5. Производная неявной функции
Функция y = f (x) называется неявной, если зависимость между х и y выражена уравнением
F(x, y) = 0 , |
(25) |
не разрешенным относительно y.
Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение (25) продифференцировать по х, рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное уравнение разрешить относительно y′.
П р и м е р 14. Найти производную функции y , заданной уравнением e y + xy = e .
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по х, учитывая, что y есть функция от х,
ey y′+ y + xy′=0 .
Из полученного уравнения находим y′:
y |
′ |
|
y |
|
|
= −e y + x . |
|||||
|
1.3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ
1.3.1. Возрастание и убывание функций
Функция y = f (x) называется возрастающей в некотором интервале, если для любых двух значений х1 и х2 из этого интервала f (x2 ) > f (x1 ) при х2 > х1.
Функция y = f (x) называется убывающей в некотором интервале, если для любых двух значений х1 и х2 из этого интервала f (x2 ) < f (x1) при х2 > х1.
Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции.
Теорема 7 (достаточный признак возрастания и убывания функции). Если во всех точках некоторого интервала выполняется условие f ′(x) >0 , то
в этом интервале функция f(x) возрастает, если же во всех точках некоторого интервала f ′(x) < 0, то функция убывает в этом интервале.
Замечание. Теорема остается справедливой, если производная f ′(x) обращается в нуль в отдельных точках интервала, не заполняющих никакого отрезка.
1.3.2. Экстремумы функций
Точка х0 называется точкой максимума функции y = f (x) , если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f (x) < f (x0 ) .
Точка х0 называется точкой минимума функции y = f (x) , если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f (x) > f (x0 ) .
11
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках — экстремумами функции.
Если функция y = f (x) имеет экстремум в точке х0, то ее производная
в этой точке равна нулю или не существует. Сформулированное условие на-
зывается необходимым условием существования экстремума.
Точки, в которых производная f ′(x) равна нулю или не существует, на-
зываются критическими точками (первого рода).
Замечание. Необходимое условие экстремума не является достаточным, так как наличие у функции критической точки вовсе не означает, что функция в этой точке обязательно достигает экстремума.
Теорема 8 (достаточный признак существования экстремума). Если х0 — критическая точка функции f (x) и при переходе через х0 производная меняет
знак с плюса на минус, то х0 является точкой максимума функции, а если с минуса на плюс, то х0 — точка минимума.
1.3.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
График функции y = f (x) называется выпуклым в некотором интервале,
если он расположен ниже любой своей касательной в этом интервале. График функции y = f (x) называется вогнутым в некотором интервале,
если он расположен выше любой своей касательной в этом интервале. Теорема 9 (достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой). Если
во всех точках некоторого интервала f ′′(x) > 0 , то в этом интервале график функции y = f (x) вогнутый, если f ′′(x) < 0 , то график функции выпуклый.
Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.
Необходимое условие существования точки перегиба состоит в том, что если М0 (x0; y0) — точка перегиба кривой, то вторая производная в точке x0 равна нулю или не существует.
Точки, в которых f ′′(x) равна нулю или не существует, называются кри-
тическими точками (второго рода).
Теорема 10 (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть x0 — критическая точка второго рода функции y = f (x) . Если при переходе
через точку х0 вторая производная меняет знак, то точка графика функции
сабсциссой х = х0 является точкой перегиба.
Пример 15. Исследовать функцию y = 15 x3 (4 − x) ипостроитьееграфик.
Решение. Функция определена и непрерывна в интервале (−∞;+∞) . Исследуем функцию на монотонность. Для этого найдем ее производную
y′= 15 (4x3 − x4 )′ = 15 (12x2 −4x3 )′ = 54 x2 (3 − x)
и решим уравнение f ′(x) = 0 .
12
Получим х1 = 0, х2 = 3. Это критические точки. Других критических точек у функции нет, так как производная существует на всей числовой оси.
Точки х1 = 0 и х2 = 3 разбивают область существования функции на интервалы (−∞; 0) , (0; 3) , (3;+∞) . В каждом из них функция монотонна и про-
изводная сохраняет свой знак.
Для определения знака производной в каждом интервале выберем точки, например, х = –1, х = 1, х = 5 и найдем
f ′(−1) = 165 > 0 ; f ′(1) = 85 > 0 ; f ′(5) = −40 < 0 .
По теореме 7 заключаем, что в интервалах (−∞; 0) и (0; 3) функция возрастает, а в интервале (3;+∞) — убывает.
Определим точки экстремума. По необходимому условию существования экстремума их следует искать среди критических точек первого рода.
При переходе через точку х = 0 производная знак не меняет, следовательно, по теореме 8 экстремума в ней нет.
При переходе через точку х = 3 производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно в точке х = 3 функция имеет максимум. Вычислим
ymax = f (3) = 275 .
Определим интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого найдем y′′= 15 (12x2 −4x3 )′ =125 x(2 − x) .
Полученная производная всюду существует, а в точках х = 0 и х = 2 обращается в нуль. Это и есть критические точки второго рода. Они разбивают область определения функции на интервалы (−∞;0), (0; 2), (2;+∞) .
Возьмем какие-нибудь точки из этих интервалов, например, х = –1, х = 1, х = 5 и найдем
f ′′(−1) = −365 < 0 ; f ′′(1) = 125 > 0 ; f ′′(5) = −36 < 0.
По теореме 9 заключаем, что в интервалах (−∞; 0), (2;+∞) кривая выпуклая, в интервале (0; 2) — вогнутая.
Так как при переходе через точки х = 0 и х = 2 вторая производная меняет знак, то график функции имеет две точки перегиба с абсциссами х = 0 и х = 2 (теорема 10). Вычислим
f (0) = 0 ; f (2) = 165 .
|
2; |
16 |
|
— точки перегиба. |
Следовательно, точки (0; 0) и |
5 |
|
||
|
|
|
|
13
Точки пересечения кривой с осью Oх найдем из уравнения y = 0. В дан-
ном примере |
1 |
x |
3 |
(4 |
− x) = 0 . Получим точки пересечения кривой с осью Оx: |
|||||
5 |
|
|||||||||
х = 0 и х = 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По результатам исследования строим график функции (рис.). |
||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
27/5 |
y = |
x |
3 |
(4 − x) |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
16/5 |
|
|
|
|
|
0 |
2 3 4 |
x |
|
|
|
2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Задание 1. Найти пределы функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Вариант 1. а) |
lim |
1 − 2х |
; б) |
lim |
|
1 + х |
− |
1 − х |
; в) lim 1 − соs x . |
|
|
||||||||||||||||||||
3х − 2 |
|
|
|
|
|
3х |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
х→∞ |
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х→0 |
5x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вариант 2. а) |
lim |
х3 +1 |
|
; б) lim |
2 + х − 3 |
; в) lim |
arcsin 3x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
х −7 |
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
х→∞ |
2х3 +1 |
|
х→7 |
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вариант 3. |
а) |
lim |
2х3 + х2 −5 |
; б) lim |
х − |
|
х |
; в) |
lim |
1 −cos 2x |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
х3 + х −5 |
|
|
|
|
х2 |
− х |
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
х→∞ |
|
|
|
|
х→1 |
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вариант 4. |
а) |
lim |
3х4 + х2 −6 |
; б) lim |
|
|
|
х |
|
|
; в) |
lim |
|
5х |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
2х4 − х + 2 |
|
|
1 |
+3х −1 |
arctg x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
х→∞ |
|
|
х→0 |
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Вариант 5. |
а) |
lim |
2х4 + 6х −5 |
; б) lim |
|
1 − |
1 − х2 |
; в) |
lim |
cos x −cos3 x |
. |
|
|||||||||||||||||||
5х2 − х −1 |
|
|
|
х2 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
х→∞ |
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вариант 6. |
а) |
|
3 + х +5х4 |
|
|
|
|
|
|
1 +3х − |
1 − 2х |
|
|
|
|
|
|
х |
2ctg 2x |
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
; б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; в) |
lim |
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х + х3 |
|
|
|
|
sin3x |
|
||||||||||||||||
|
|
х→∞ |
х4 −12х +1 |
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
14
Вариант 7. а) |
lim |
х−2х2 +5х4 |
; б) lim |
|
|
1+3х2 −1 |
; в) |
lim |
1−cos6x |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 +3х2 + х4 |
|
|
|
х2 + х3 |
|
|
|
1 −cos2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
х→∞ |
|
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5х2 −3х+1 ; б) lim |
|
|
|
|
2х−1 − |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Вариант 8. а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; в) lim |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
х−3 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
х→∞ |
3х2 + х−5 |
|
|
|
|
|
х→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Вариант 9. а) |
lim |
7х4 −2х3 + 2 |
; б) lim |
|
|
1+3х − |
|
2х+6 |
|
; в) |
lim |
1 −cos4x |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
х4 +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 − |
5х |
|
|
|
|
|
|
|
2x tg x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
х→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х→5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 10. а) |
lim |
|
8х5 −3х2 +9 |
; б) lim |
|
|
х−2 |
|
|
; в) lim 5хctg 3x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2х5 + 2х2 |
+ |
5 |
|
|
2х −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
х→∞ |
|
|
|
|
х→2 |
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Вариант 11. а) |
lim |
|
2х3 +7х2 −2 |
; б) lim |
|
|
|
2 − |
|
|
х |
|
|
; в) lim |
1−cos8x |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6х3 −4х2 |
+ |
3х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−cos4x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
х→∞ |
|
|
|
|
х→4 |
|
6х+1 −5 |
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 12. а) |
lim |
|
10х2 − х+1 |
; б) lim |
|
|
9 + х − |
9 − х |
; в) |
lim |
|
sin3x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5х2 +6х−2 |
|
|
|
|
|
х2 +6х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
х→∞ |
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Вариант 13. а) |
lim |
|
х4 +1 |
|
; б) |
lim |
|
|
|
3х−3 |
|
|
|
; в) |
lim |
|
|
|
10х2 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 + х − |
|
|
|
|
|
|
−cos х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
х→∞ |
|
х2 +3х−2 |
|
|
|
|
|
х→1 |
|
3 |
|
|
|
|
х→0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 14. а) |
lim |
|
2х2 − х−6 |
|
; б) lim |
|
5 − х − 3 + х |
|
; в) |
lim |
|
3хtg х |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
х2 +7х−10 |
|
|
|
|
|
х− х2 |
|
|
|
|
|
|
sin2 |
х |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
х→∞ |
|
|
|
|
|
х→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Вариант 15. а) |
lim |
|
3х3 +7х−2 |
; б) lim |
|
|
7 + х − 7 − х |
; в) |
|
lim |
|
|
|
|
хtg x |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5х3 −3х+1 |
|
|
|
|
|
|
5х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−cos x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
х→∞ |
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х→0 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Вариант 16. а) |
lim |
|
4х2 + х+7 |
; б) |
|
lim |
|
|
4 + х − |
|
|
4 − х |
; в) |
lim |
cos x −cos5 x |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5х2 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3х2 + х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
х→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Вариант 17. а) |
lim |
|
12х3 +3х+1 |
|
|
; б) |
lim |
|
|
х2 −7 −3 |
|
; в) |
lim |
|
|
|
|
|
|
4х2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6х3 + х2 + х−2 |
|
|
|
х2 −4х |
|
|
|
|
1 −cos4x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
х→∞ |
|
|
|
|
|
|
х→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 18. а) |
lim |
3х2 −2 |
; б) lim |
|
5х−5 |
|
|
; в) |
lim |
|
|
|
8х2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
х2 +1 |
3 + |
х − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
х→∞ |
|
|
|
|
|
х→1 |
|
|
|
|
|
х→0 |
sin2 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 19. а) |
lim |
|
5х2 +4х−2 |
; б) lim |
|
|
4х − х |
; в) lim |
tg2 |
3x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
х3 +2х+ |
1 |
|
|
х2 |
−16 |
|
|
10x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
х→∞ |
|
|
|
|
|
|
х→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Вариант 20. а) |
lim |
|
2х5 −4х+3 |
; б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
2х |
|
|
|
|
|
|
|
|
; в) lim хctg 3x. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
х5 +3х+ |
1 |
|
|
|
10 + х − |
|
10 − |
х |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
х→∞ |
|
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
|
|
4х3 −2х2 + |
1 ; б) lim |
1 + х −1 |
|
|
sin |
2 x |
|
|||||
Вариант 21. а) |
lim |
; в) lim |
|
3 |
|
. |
|
|||||||
3х3 −5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
х→∞ |
х→0 |
х |
х→0 |
x2 |
|
||||||||
Вариант 22. а) |
lim |
3х2 −2х−1 |
; б) lim |
|
2х+1 −3 |
; в) lim |
2arcsin x |
. |
||||||
х3 +4 |
|
х−2 − 2 |
|
3х |
||||||||||
|
х→∞ |
х→4 |
х→0 |
|
|
Вариант 23. а) lim
х→∞
Вариант 24. а) lim
х→∞
Вариант 25. а) lim
х→∞
Вариант 26. а) lim
х→∞
Вариант 27. а) lim
х→∞
2х2 −1 |
|
|
|
|
|
1+ х+ х2 −1 |
|
|
|
|
|
|
sin |
2 x |
|
||||||||||||||
; б) lim |
|
; в) lim |
|
|
2 |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
3х2 −4х |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
х→0 |
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
||||||||||||
5х3 −7х |
; б) lim |
|
|
|
x |
|
; в) lim |
|
|
|
х |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
1−2х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
х→0 |
|
1+3x −1 |
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5х2 −3х+ 2 |
; б) |
lim |
2 − |
х−3 |
; в) lim |
1−cos2x |
. |
||||||||||||||||||||||
2х2 +4х+1 |
|
х2 −49 |
|
xsin x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
х→7 |
|
|
|
х→0 |
|
|
||||||||||||||||||||
7х3 −3 |
; б) |
lim |
|
|
х −3 |
; в) lim |
sin5x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6 +2х2 |
|
9 − |
х |
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
х→9 |
|
|
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 −2х2 |
; б) |
lim |
|
|
|
х−3 |
|
; в) lim |
1−cos5x |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
5х2 +1 |
|
|
х+6 −3 |
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
х→3 |
|
|
х→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 28. а) |
lim |
2х2 +5х+6 |
; б) lim |
|
х+3 −2 |
х |
; в) lim |
arctg 2х |
. |
|
|||||||
5х2 + х−3 |
|
х−1 |
|
xsin3x |
|
||||||||||||
|
х→∞ |
|
х→1 |
|
х→0 |
|
|
||||||||||
Вариант 29. а) |
lim |
3х3 |
−2х2 + 4 |
; б) lim |
5 − х −2 |
|
; в) lim |
|
|
5х |
. |
|
|
||||
4 |
− х+ х2 |
|
2 − х −1 |
arctg 3x |
|
|
|||||||||||
|
х→∞ |
|
х→1 |
|
х→0 |
|
|
|
|||||||||
Вариант 30. а) |
lim |
3х2 |
+2х−2 |
; б) lim |
|
|
х−1 − 2 |
; в) lim |
|
|
xsin 3x |
|
. |
||||
|
х4 −1 |
|
|
2х+3 −3 |
|
cos x −cos3 x |
|||||||||||
|
х→∞ |
|
|
х→3 |
|
х→0 |
|
|
Задание 2. Найти производные dydx данных функций.
Вариант 1. а) у = 11 +− хх ; б) у = sin45x + cos45x; в) х2у – ух = 5.
Вариант 2. а) у = − |
1 |
|
; б) у = (ecos x + 3)2 ; в) ln (x + y)= xy2. |
(1 − х2 ) |
5 |
||
|
|
|
Вариант 3. а) у = 2x −1 ; б) у = ln sin(2x + 5); в) х2 – 6у + у3 = 5. 1 − x
16
Вариант 4. а) у = 2 3 (2 − х3 )2 ; б) у = arctg ex; в) уsin x= cos(x + y).
Вариант 5. а) у = |
|
|
|
|
|
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
; б) у = 2tg3 (x2 |
+ 1); в) хеу + 1 – у = 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
х2 + 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вариант 6. а) у = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; б) у = ln (3x + 1); в) х – у + arctg y = 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 + x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 7. а) у = 1+sin 2x ; б) у = 10x2 +x+1 |
; в) yln x – xln y = 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1−sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Вариант 8. а) у = |
4sin x |
; б) у =3arctg x |
3 |
; в) х3 + ху2 + у3 = 8. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вариант 9. а) у = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; б) у = arctg tg |
x; в) у – 1 = 2ху. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
4 −3cos x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 10. а) у = |
3 |
|
х −7 |
|
|
; б) у = |
|
1 |
ln4 |
|
(x3 |
+ 3); в) ysin x – cos y = 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
12 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|||||
Вариант 11. а) у = |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; б) у = |
|
|
tg x + lncos x; в) е |
– ху = 0. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 x |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
х+1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
; в) у = sin(x + 2 y). |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Вариант 12. а) |
у = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; б) у = ln tg |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
х−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Вариант 13. а) |
у = |
|
|
х |
2 |
|
|
|
|
9 |
; б) у =ln |
( |
e2x + |
e4x +1 |
) |
; в) х – у + sin y = 0. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3х+1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вариант 14. а) |
у = arcsin х ; б) у =ln (х2 +5х+ х); в) х2 + у2 =5ех. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1− х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вариант 15. а) |
у = |
|
|
|
1+ х2 |
|
|
; б) у= sin(x + sin x); в) е |
у |
+ ху = е. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3х+5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ех |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вариант 16. а) |
у = 4 1+cos2 x ; б) |
|
у =ln |
|
|
; в) arctg y = x + y. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
х |
2 +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
х |
|
||||||||
Вариант 17. а) |
у = |
|
|
|
; б) |
у =ln arcsin 5x ; в) 10 |
|
= 8 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8(1− х2 )4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2х2 |
−2х+1 |
|
|||||||
Вариант 18. а) |
y = |
|
|
|
arctg x −(arcsin x) |
|
; б) |
у = |
|
|
|
|
|
|
|
|
; в) 2у ln y = x. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+3х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Вариант 19. а) |
у = |
|
|
|
; б) у =arcsin |
sin x ; в) tg y = xy . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 +5х2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
|
у =ех (sin 3x −3cos 3x); ) |
|
|
|
|
|
|
1 |
; в) 2у = 1 + ху3. |
||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 20. а) |
|
y =ln arctg |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 21. а) |
у = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
;б) у =ln (1+ х+ |
|
2х+ х2 );в) cos(x + y)= x. |
||||||||||||||||||||
|
(1− х2 )(1 −2х3 ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 22. а) |
у = |
|
|
1+ |
|
|
х |
|
|
; б) |
у =sin ex2 +3x−2 ; в) y ln y = x3 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1+ |
2х |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вариант 23. а) |
|
у = |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
; б) |
у =ln cos2 3x ; в) x − y =arccos y . |
||||||||||||||||||||||||||
|
+ х2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вариант 24. а) |
|
х+ |
|
|
1− х2 |
|
; б) |
|
y =arctg |
|
|
|
x |
|
; в) ln (y − x)= x2 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вариант 25. а) |
y = |
|
|
2cos x |
|
|
|
; б) |
y =ln (3 −2x3 ); в) 2y + xy = 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos 2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вариант 26. а) |
y = x2 |
1+ |
|
|
|
x ; б) |
y =sin |
; в) |
y ln y = x3 + x + y . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вариант 27. а) |
y =arctg |
|
|
|
1− x |
; б) |
|
y =103−ln2 5x ; в) ln (x2 + y2 )= x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 + x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вариант 28. а) |
y = |
|
5 (1+ xe |
|
x ) |
3 |
; б) y =ln |
e3x |
|
; в) |
y3 +2x = x . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1+e3x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 29. а) |
у = |
|
|
|
х+ |
|
|
|
х2 +1 ; б) у =ln |
1+sin 3x |
; в) 5x +5y =5x+y . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−sin3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вариант 30. а) |
у = |
|
4 |
х2 + х+1 |
|
; б) |
y =sin2 cos3x ; в) |
|
x2 + y2 = ln y . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
х2 − х+1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Задание 3. Исследовать функцию и построить ее график. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
х4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ |
х4 |
|||||||||||
Вариант 1. у = 1 + 2х |
– |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2. у = х |
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 3. у = 9х2(1 – х). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4. у = |
х |
3 |
+ х2 −3х +1. |
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||
Вариант 5. у = |
6 |
х |
|
|
+ 2х |
|
|
|
+ 6х. |
|
|
|
|
|
|
Вариант 6. у = 2х4 – х2 + 1. |
|||||||||||||||||||||||
Вариант 7. у = |
|
х3 |
|
− 2х2 + 3х +1. |
|
|
|
|
|
Вариант 8. у = 1 |
(x4 −6x2 +5). |
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
Вариант 9. у = х3 – 3х2 + 4. |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 10. у = х4 – 2х2 + 10. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 11. у = |
1 |
|
|
(x3 −6x2 −36x +5) |
|
Вариант 12. у = 2 + х2 – 1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
20 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
18
Вариант 13. у = |
1 |
х3 – 4х + 7. |
Вариант 14. у = |
1 (x3 −3x2 + 4). |
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
Вариант 15. у = |
2х3 – 3х2 – 12х + 11. |
Вариант 16. у = х4 – 8 х3 + 22х2 – 24х. |
|||||||
Вариант 17. у = |
36х – 3х2 – 2х3. |
Вариант 18. у = х4 – 8х2 – 9. |
|||||||
|
|
1 |
3 |
2 |
Вариант 20. у = |
2х3 |
– 6х2 |
– 18х + 7. |
|
Вариант 19. у = |
3 |
х |
+ 5х + 9х – 2. |
Вариант 22. у = |
2х3 |
– 3х2. |
|
||
Вариант 21. у = х4 + 4 х3 – 2х2 – 12х + 5. |
Вариант 24. |
у = |
2х3 |
– 6х2 |
– 18х + 4. |
||||
Вариант 23. |
у = (х – 1)2 (х + 2). |
Вариант 26. |
у = |
х(2 – х )2. |
|||||
Вариант 25. |
у = |
1 |
(x3 −6x2 + 25). |
Вариант 28. |
у = |
6х2 − х4 . |
|||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
9 |
|
Вариант 27. |
у = х3 – 5х2 + 8х. |
Вариант 30. |
у = х3 – 12х2 |
+ 36х. |
|||||
Вариант 29. |
у = х2(4 – х)2. |
|
|
|
|
|
Список рекомендуемой литературы
1.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. пособие для вузов :
в2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М. : Изд. дом «ОНИКС 21 век» ; Мир и образование, 2003. 304 с.
2.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов / Н.С. Пискунов. М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1985. Т. 1. — 432 с. Т. 2. — 560 с.
3.Шипачев, В.С. Высшая математика / В.С. Шипачев. М. : Высш. шк., 2005. 479 с.
19