247862

x vx v 0.

Это уравнение можем рассматривать как уравнение первого порядка относительно функции v, где у играет роль параметра. Разделяя переменные и интегрируя, получаем

v x , v x

ln v ln x ln f1 y .

f1xy .

Здесь f1 y – произвольная функция переменной у. Возвращаясь к функции u(x, y), имеем

где f2 y – произвольная функция y.

И окончательно, общее решение искомого уравнения u x, y ln x f1 y f2 y .

10

Задачи для самостоятельного решения

Найти общее решение уравнения.

1.6.2u 1 u 0.x y 2 x

1.7.2u 1 u 0.

y2 y y

1.8.2u 1 u 0.

x y 2x y

1.9.2u x u 0.x2 x

1.10.2u 2 u 0.

x y y x

Колебания бесконечной струны. Метод Даламбера

Имеется бесконечная струна. Надо найти колебания этой бесконечной струны в любой момент времени t и в любой

точке х, если начальное положение струны равно x , а начальная скорость ψ x . То есть, надо решить задачу Коши

для уравнения колебаний струны. Найти решение уравнения

2u a2 2u ,

t2 x2

11

удовлетворяющее начальным условиям:

u x,0 x ,

ut x, 0 ψ x ,

где x и x – функции, заданные на всей числовой

прямой.

Если функция x имеет непрерывные производные до второго порядка включительно, а ψ x – дифференцируемая

функция, то решение поставленной задачи Коши может быть найдено по формуле Даламбера

Примеры.

1) Найти колебания бесконечной струны, если начальное положение струны задается функцией x2, а начальная скорость равна нулю (физическая постоянная а = 4).

Решение.

Запишем задачу Коши:

2u 4 2u ,t2 x2

u x, 0 x2.ut x,0 0

12

Решение этой задачи ищем по формуле Даламбера

13

u x,t 13sin x sin3t.

3) Найти колебания бесконечной струны, если начальное положение струны задается функцией x3, а начальная скорость равна x (a 1).

Решение.

Запишем математическую модель этой задачи:

2u 2u ,t2 x2

u x, 0 x3.ut x,0 x

По формуле Даламбера

14

x3 3xt2 14 x2 2xt t2 x2 2xt t2 x3 xt 3xt2.

u x,t x3 xt 3xt2.

Задачи для самостоятельного решения

1.11. Решить задачу Коши для неограниченной струны методом Даламбера:

1.12. Найти колебания бесконечной струны, если начальное положение струны x2, а начальная скорость – cos2x.

1.13. Найти колебания бесконечной струны, если начальное положение равно нулю, а начальная скорость – sin 2x .

15

ЗАНЯТИЕ 2

Распространение тепла в стержне. Метод Фурье разделения переменных

Дан тонкий однородный стержень длины l с начальной

ны. Надо найти температуру стержня в любой момент времени в любой точке х.

Математической моделью этой физической задачи является первая краевая задача для уравнения распространения тепла

встержне длины l.

Вобласти 0 x l,t 0 найти решение уравнения

2u a2 2u ,

t2 x2

удовлетворяющее начальному условию

и однородным граничным условиям:

где x непрерывна и имеет непрерывную первую производную на отрезке 0,l и 0 l 0.

Решение этой задачи ищется методом Фурье разделения переменных. В 1 получена формула для решения:

16

Примеры.

1) Найти функцию u x,t распределения температуры

в стержне длиной l, если на концах стержня поддерживается нулевая температура, а начальное распределение температуры стержня задано формулой

Решение.

Решением первой краевой задачи для уравнения распространения тепла в стержне

u 0,t 0

u l,t 0

17

является функция

2πl2n cos π2n πl22n2 sin π2n .

18

2πl2n cos π2n πl22n2 sin π2n .

An 2l 2πl2n cos π2n πl22n2 sin π2n 2πl2n cos π2n πl22n2 sin π2n

в стержне длиной l, если на конце стержня x 0 поддерживается нулевая температура, а конец стержня x l теплоизолирован; начальная температура стержня равна х.

19