Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегральное исчисление Учебно-методическое пособие по курсу Математический анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

641.13 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

промежутках, так и на случай функций, определённых на ограниченных промежутках, но неограниченных на них. Данное обобщение делается с помощью рассматриваемых далее предельных переходов.

Определение 4 Несобственный интеграл первого рода (типа) является следующим пределом

lim A∫ f (x)d x = ∞∫ f (x)d x .		(5)
A→∞ a	a

Определение 5

Пусть f (x), x [a,b] – функция, неограниченная в точке x =A, A [a,b]. Несобственный интеграл второго рода (типа) является следующим пределом

		lim	b−ε		b		(6а)
		lim	∫ f (x)d x =		∫ f (x)d x , (A=a)		(6а)
		ε→+0	a		a
или
		lim	b∫ f (x)d x = b∫ f (x)d x , (A=b)				(6б)
		ε→+0 a+ε			a
или
lim	A−ε			b		b	(6с)
lim		∫ f (x)d x +		∫ f (x)d x		= ∫ f (x)d x , (A [a,b]).	(6с)
ε→+0		a		A+ε		a

Если пределы в (5) и (6) существуют и сходятся, то говорят, что рассмотренные интегралы сходится. В противоположном случае то говорят, что данные интегралы расходятся.

Пример 37

+∞ d x

, (λ>0). Его вычисление

Определим значение следующего интеграла I =

∫

xλ

+∞, λ <1

позволяет получить I =

lim

−

, т.е. при λ>1 дан-

(λ −

1)x

λ−1

−

A→+∞

(λ −1)aλ−1

ный интеграл сходится к величине I = −

. В противоположном случае

(λ −1)aλ−1

интеграл расходится.

Пример 38

d x

Вычислим следующий интеграл I =

, (a>0). Использование таблиц

∫

a (x −a)λ

первообразных приводит к следующему результату

+∞,

λ <1

I = lim

−

, т.е. при λ <1 и a>0 данный

(λ −1)x

λ−1

−

ε→+0

(λ −1)(bλ−1 −aλ−1 )

a+ε

интеграл сходится к величине I = −		1
интеграл сходится к величине I = −	(λ −1)(bλ−1 −aλ−1 ). В противоположном
случае интеграл расходится.
Пример 39
	b	d x
Вычислим следующий интеграл I = ∫		d x	, (a>0). С помощью таблиц перво-
Вычислим следующий интеграл I = ∫		(b − x)λ	, (a>0). С помощью таблиц перво-
	a	(b − x)λ
				1	b−ε
				1	b−ε
образных можно получить следующий результат I = lim −						=
образных можно получить следующий результат I = lim −				(λ −1)xλ−1		=
			ε→−0	(λ −1)xλ−1
					a
					a

+∞, λ <1
	1	, т.е. при λ<1 и a>0 данный интеграл сходится к величине
=	1	, т.е. при λ<1 и a>0 данный интеграл сходится к величине
−	(λ −1)(bλ−1 −aλ−1 )
I = −	1
I = −	(λ −1)(bλ−1 −aλ−1). В противоположном случае интеграл расходится.

6.Приложения интегрального исчисления в экономике

Вданном разделе рассмотрим несколько приложений интегрального исчисления в экономике.

Пример 40

Проведем оценку объема выпускаемой продукции, произведенной за время T. Пусть функция y=f (t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени t. Найдем объем продукции u, произведенной за промежуток времени [0,T].

Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени (f(t) -

постоянная функция),		то объем продукции ∆u , произведенной за некоторый
промежуток времени [t,t + ∆t], задается формулой ∆u = f (t)∆t .
Построим интегральную сумму. Разобьем отрезок [0,T] на промежутки времени
точками: 0 = t0	< t1 < t2	<K< tn =T . Для величины объема продукции ∆ui , про-
изведенной за промежуток времени				[ti−1 ,ti ] , имеем
		∆ui = f (ci )∆ti				, где ci [ti−1 ,ti ],
		∆ti = ti −ti−1 ,			i =1,2,K, n .
n	n
Тогда ∑∆ui =	∑ f (ci )∆ti . Перейдя к пределу при max ∆ti → 0 , найдем объем
i=1	i=1
произведенной продукции						n
		u =		lim		n
		u =		lim		∑ f (ci )∆ti .
				max ∆ti	→0 i=1
По определению определенного интеграла
		lim		n		T
		lim	∑ f (ci			)∆ti = ∫ f (t)dt ,
		max ∆ti →0	i=1			0

таким образом

u = ∫ f (t) d t .

T	f (t) d t есть объем
Итак, если f(t) – производительность труда в момент t, то ∫	f (t) d t есть объем
0

выпускаемой продукции за промежуток [0,T]. Пример 41

В данном примере вычислим дисконтированную сумму. Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время t при годовом проценте p, называется дисконтированием. Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.

Пусть Kt - конечная сумма полученная за t лет, и К – дисконтируемая сумма, которую в финансовом анализе называют также современной суммой. Если проценты простые, то Kt = K(1+it), гдеi = p /100удельная процентная ставка.

Тогда K =				Kt	. В случае сложных процентов	Kt = K (1 +it)t	и поэтому
Тогда K =			(1	+it)	. В случае сложных процентов	Kt = K (1 +it)t	и поэтому
	Kt		(1	+it)
K =	Kt
		.
	(1 +i)t	.

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией f (t) и при удельной норме процента, равной i, процент начисляется непрерывно. Можно показать, что в этом случае дисконтированный доход K за время Т вычисляется по формуле:

K = ∫ f (t)e−it dt .

Пример 42 Определим дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8%,

если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10 млн. руб., и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1 млн. руб.

Очевидно, что капиталовложения задаются функцией f (t) =10 +1 t =10 +t . Тогда по формуле:

K = ∫ f (t)e−it dt

дисконтированная сумма капиталовложений равна:

K =

+t)e−0,08t dt .

∫(10

Вычислим интеграл по частям

−0,08t

u =10 +t

d u = d t

(10 +t)e−0,08t

−e−0,08t

∫

(10 +t)e

d t

−0,08t

−

∫

d t =

dv = e

d t v = −

−0.08

0.08

13 e−0,24

10 e0

−0,08t

= −

1300

10 100

−

−0.08

0.08

(−0.08)

8 e0,24

(0.08)2

−	1	≈31
	(0.08)2 e0,24

Итак, получили K =31 млн. руб. Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млн. руб. равносильны одновременным первоначальным вложениям 31 млн. руб. при той же, начисляемой непрерывно, процентной ставке.

Пример 43 Найдем среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период ос-

воения от x1 =100 до x2 =121 изделий. Для этого используем формулу

				1	x
tср	=				∫2 t(x)dx ,
		x		− x
			2		x1
				1

полагая в формуле t = ax−b , где а - затраты времени на первое изделие, b - показатель производственного процесса, a=600 (мин.), b=600.

Искомое среднее время с учетом заданных параметров определяется следующим интегралом, являющимся в данном случае табличным

tср =	1		∫600x	−2 dx = 600	2	x 100121 = 400 ≈ 57,2 (мин.).
		121		1
				21			7
	121−	100 100		21			7

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

I) Вычислить интегралы. Результат проверить дифференцированием

		sin2 (2x)d x
01.01	∫		;
		1−cos (2x)
01.02	∫sin5 (3 x)d x ;
01.03	∫ x3 cos2 (x)d x ;

	x d x			;			e−x
∫					∫ex 1	+			d x ;
		2						2
	x		+9				x

∫ x2ex d x ;	∫		5 −6 x d x ;
∫ctg 2 (x)d x ;	∫	1	( x −1)3d x ;
		x

01.04	∫	1		1+ln(x)d x;
			x
01.05	∫3 5 −6 x d x ;
01.06	∫			d x	;
01.06	∫		x2 −25		;
			x2 −25

01.07∫ 3 −2x − x2 d x ;

x2 + 4x +1

01.08 ∫ x arctg (x)d x ;

arcsin (x)

d x ;

∫

d x ;

1− x2

∫(3 −2 x)4 d x ;

∫sin (3x)sin (5x)d x ;

1−sin3 (x)

3x + 2

∫

sin3 (x)

d x ;

∫

3x −4 d x ;

∫

4x2 +7x +3

d x ;

∫

d x

;

x2 + 25

2x2 + x −1

4x +3

x d x

∫

d x ;

∫

;

4x −1

sin2 (x)

01.09∫ x3e−xd x ;

01.10∫ex ln (1+ex )d x ;

(x +1)d x

01.11 ∫ (x −2)(x −3); 01.12 ∫ x cos (2 x)d x ;

01.13 ∫	x −1	d x ;
	2 x −1

01.14∫ x ln (x)d x ;

01.15∫ xx d+1x ;

01.16∫ln (x)dxx ;

01.17∫ (x3 −1)d x ; 5x2 −4x −1

01.18∫sin4 (x)d x ;

01.19 ∫ 2a x − x2 d x ; 01.20 ∫11+− xx d x ;

01.21∫ sin (x);

01.22∫ x cos2 (x)d x ;

01.23∫ x4 +1 d x ; x3 − x2

01.24∫tg (x)d x ;

01.25 ∫	(5 x −8)d x	;
	x3 −4x2 + 4x

∫sin2 (x)d x ;

∫sin3(x)cos3(x)d x;

∫	(x +1)d x					;
	x3 −2x2 + x

∫ x a − x d x ;
∫	3x2	+5x + 4				d x ;
	2x2 − x +1

∫[1+3cos (2x)]2 d x ;
∫	2x3	−2x +1				d x ;
	3x2	+ 4x + 2

∫	4x +1		d x ;

	4x −3
				π
∫sin x +				6	cos (x)d x ;

∫sin (3x)sin (x)d x ;

∫[1−sin (2 x)]2 d x ;

∫ arctg (x)d x ; 1+ x2

2sin (x)

∫ cos2 (x)d x ;

∫ x tg 2 (x)d x ;

∫ x2 d x ; e2x

∫sin 4 (x)cos (x)d x ;

(5 x −14)d x

∫ x3 − x2 −4x + 4 ;

x3d x

∫ x −2 ;

∫ecos2 (x)sin (2x)d x ; ∫ 55xx+−14 d x ;

∫ x2e5 x d x ;

4x d x

∫ 4 + x2 ;

∫sin2 (x)cos5 (x)d x ;

∫ 3 +ln (x)d x ; x

x2d x

∫ (x3 + 4)6 ;

∫ (x2 + 4x)d x ; x2 + 2x + 2

∫x2 + 2x −8 d x ; 8 − x3

∫sin2 (x)cos2 (x)d x ;

∫xx −+23 d x ;

∫x4 + x2 ;

∫x3 ln (x)d x ; x d x

∫x4 − x2 −2 ;

∫[ln (x)]2 d x ;

∫	d x	;
	x2 −4

01.26	∫ x tg (x −π)d x ;
01.27	∫	x3d x		;
		x8 −1

01.28	∫	x2	−9	d x ;
		x4	−81

01.29∫ x ln (x2 )d x ;

01.30∫ sincos4((xx))d x ;

II)Вычислить интегралы

	1			d x	;
02.01 ∫				d x	;
	0			4 − x2
02.04	π ∫	4 tg3 (x)d x ;
	0
02.07	1∫ x ln (x +1)d x ;
	0
3π		4	sin2 (x)d x ;
02.10	∫		sin2 (x)d x ;
	0
02.13	π	6		d x		;
	π∫			d x
	π∫	8		cos2 (2 x)
π	2
02.16	∫ x3 cos2 (x)d x
	0

02.19 1∫ x3e−x2 d x ;

02.22 5∫ x5d x ;

3 x −2

02.25

π∫2 sin (x)cos2 (x)d x

∫(3 −2 x)4 d x ;
∫	4x2 +7x +3			d x ;
∫	2x2 + x	−1		d x ;
	2x2 + x	−1
∫	e2 xd x	;
∫	1−3e2 x	;
∫sin4 (x)cos (x)d x ;
∫	x3 + 2x2	+ x		d x ;
∫	x +1			d x ;
	x +1
	02.02	a	3	d x	;
		∫		d x
		∫		a2 + x2
		a		a2 + x2
	1
	02.05 ∫ x arctg (x)d x ;
	0

π2

02.08∫ x cos (x)d x ;

	3
02.11 ∫ x3ex					d x ;
	0
02.14 ∫ x			2	d x ;
	3
	0	x3 + 27
3π	4			2	(x)d x ;
02.17 ∫		sin		2	(x)d x ;
0

02.20 ∫ x2e x d x ;

02.23 1∫3x2 +5x +4 d x ;

0 2x2 −x +1

02.26

π ∫2 sin2 (x)cos2 (x)d x ;

∫ x2 e−3xd x ;

cos (2 x)d x

∫ sin (x)cos (x);

∫x [1+ln (x)];

∫ln (x2 +1)d x ;

∫x e−x2 d x .

5 x2 +5x −1		d x ;
02.03 ∫
	4 −3 x
0

02.06∫ ln (x)d x ;

1d x

02.090∫ x2 + x +1 ;

02.12π ∫2 sin5 (3 x)d x ;

02.155∫ 3x + 2 d x ;

2 3x −4

02.181∫(3 −2 x)4 d x ;

02.21π∫sin2 (x)d x ;2

02.24 ∫ x2 cos (2 x)d x ;

02.27

π∫[1+3cos (2x)]3 d x ;

02.28	1	+sin(2 x)]3 d x ;	02.29 ∫	4	−1 d x ;	02.30	1	(x)d x .
02.28	∫[1	+sin(2 x)]3 d x ;	02.29 ∫	x3	−1 d x ;	02.30	∫tg 2	(x)d x .
			5
	0		2	x	− x		0
	0						0

III) Найти площадь и периметр фигуры, ограниченной следующими линиями

03.01 y =2 -x2, y = x2;

03.03 y = 4 x, x =1, x =4, y = 0; 03.05 y = ( 4-x)2, x = 0, y = 0; 03.07 y = 3-2x-x2, y = 0;

03.09 x2-2y2= 0, y =- 8, 2 x -y-3=0; 03.11 x2+2y =0, 5 x+2 y-4 =0; 03.13 x2-6 y =18, x-6 y-12 =0; 03.15 2 x+y2 =0, 2 x +5 y-6 =0; 03.17 4 x2-y2 =0, 2 x-y-6 =0, y =0; 03.19 6 x-y2= 0, 6 x +y+1=0; 03.21 y =x2, y =2-x2;

03.23 y = x, y =x2; 03.25 y =-x2, y = x; 03.27 y =3x, y = x2; 03.29 y =5x, y = x, x =1;

03.02 y =2 p x2, x = h, y =0; 03.04 y2 = 4 x2, x = 1; 03.06 y = 4-x2, y = x2;

03.08y2 =x2, y = 8, x > 0;

03.102 x2 -8y2= 0, 2 x - y-6=0, x = 0;

03.12x2-2y =0, x +2y-6 =0;

03.14x2+2y =0, 2 x-y-3 =0;

03.16 2 x-y2 =0, 2 x-y-6 =0; 03.18 y2 =3x, 5x +y -6 =0; 03.20 x +y2= 0, x –2 y-3=0; 03.22 x =1, y = x2, y =1; 03.24 y =x2, y = x;

03.26 y =2, y =x2; 03.28 y =1-5x, y =-x2; 03.30 y = 2-x, y =x2.

IV) Найти объём и площадь поверхности тела вращения, полученного вращением вокруг оси абсцисс функции f (x). Функция f (x) определена на отрезке [a,b].

04.01 y = 4-x2, [0,2]				04.02 y =2p x2, [p,2p]	04.03 x+ y2 =4, [1,3]
04.04 y = 2 x2+1, [-5,5]				04.05 y =4-( 4-x)2, [2,6]	04.06 y = 4-x2, [-2,2]
04.07 y =3-2x-x2, [-3,1]				04.08 y =x2, [2,4]	04.09 x2 -2y= 0, [1,3]
04.10	2x2 -3y= 0, [0,2]			04.11 x2+2y =0, [1,2]	04.12	y =		, [0,5]
							x
04.13 x2-6y =0, [0,5]				04.14 2x-y-3 =0, [2,5]	04.15	2x+y2 =0, [-3,-1]
04.16	2x-y-6 =0, [4,6]			04.17 2x-y2 =0, [4,6]	04.18	6x-y2= 0, [0,3]
04.19	6x +y-12=0, [0,2]			04.20 x –2y+3=0, [-2,1]	04.21 y=2-x2, [-1,1]
04.22 y=x, [0,2]				04.23 y=x3, [0,2]	04.24	y =		, [0,1]
							x
04.25 y=-x2, [0,1]				04.26 x2 y =1, [1,2]	04.27 y = 4-x2, [-2,2]
04.28	y =		, [0,2]	04.29 x -3y2= 0, [0,1]	04.30 y=x2, [-1/4,1/4].
		x

V) Вычислить несобственные интегралы или показать их расходимость.

∞

05.01 ∫e−x d x

2 d x

05.040∫ (x −1)2

∞

05.07 ∫ x4 e−x2 d x

05.10 ∞∫ x ln (x)d x

∞ d x

05.13 ∫

0 x4 + x2

∞d x

05.160∫1+ x2

1x d x

05.19∫

0 1− x2

∞ arctg (x)

05.22 ∫ 1 + x2 d x

2 d x

05.250∫ x2 −4x +3

05.28	0
	∫ x ex d x

−∞

4d x

05.02∫

03 (4 − x)2

∞

05.05 ∫ x2 e−x2 d x

1d x

05.08∫

0 1− x2

	∞
05.11	∫ x3 e−x4 d x
	0
05.14	2		d x
	∫		d x
	∫
	0 x2 −4x +3
05.17	∞		d x
	∫
	∫	(1+ x)2
	0	(1+ x)2
05.20	∞		x d x
	∫
	∫	(1− x)3
	1	(1− x)3
05.23	∞		d x
	∫
	∫	1	+ x2
	1	1	+ x2
05.26	1		x2 +2x −8	d x
	∫
	∫		3
	−∞		8−x
	∞		e−x d x
05.29 ∫ x			e−x d x
	0

∞d x

05.031∫ x2 + x

2d x

05.06∫

03 (x −1)2

+∞ ln(x)		d x
05.09 ∫	x
2

05.12 ∞∫sin(x) e−x2 d x

	0
	1		d x
05.15 ∫			d x
	0		1− x2
05.18	∞			d x
	∫			d x
	∫
	−1x2 + 2x + 2
05.21	∞		x d x
05.21	∫
	3 x4 +9
	∞			d x
05.24 ∫				d x
	1 x	2		x2 −1
	∞	−x			ex
05.27 ∫e				1+			d x
05.27 ∫e				1+		2	d x
					x	2
	0				x
	∞				d x .
05.30 ∫ x2 e−x3					d x .
	0

ЛИТЕРАТУРА

Основная литература

1.Шилов, Г.Е. Математический анализ / Г.Е. Шилов. - М.: Издательство

“Лань”, 2015. 912 с.

2.Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа (в двух томах) / Г. М. Фихтенгольц. - М.: Издательство “Лань”, 2015. 912 с.

Дополнительная литература

1.Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов / Н.Ш. Кремер. - М.:

Юнити, 2008. 480 с.

2.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике / В.П. Минорский. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2004. 336 с.

3.Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике / В.С. Шипачев. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2005. 336 с.

Евгений Леонидович Панкратов Елена Алексеевна Булаева

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Учебно-методическое пособие

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского». 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

Подписано в печать . Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Таймс.

Усл. печ. л. 1,2. Уч.-изд.л. Заказ № . Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

603000, г. Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37

Лицензия ПД № 18-0099 от 14.05.01

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]