Механика. часть 3 механика твердого тела Практикум

рии, могут располагаться вне тела, например, у полуокружности, у кольца, у полого цилиндра и др.

Какова зависимость между моментами инерции тел относительно осей, пересекающихся в одной точке? Пусть на рис. 1 оси XYZ выбраны так, что они совпадают с главными осями инерции тела с началом в точке О. Рассмотрим произвольную ось, также проходящую через эту точку, направление которой задается единичным вектором n , составляющим с главными осями углы α, β, γ соответственно. Тогда момент инерции тела относительно этой оси может быть представлен в виде

где Ix, Iу, Iz – главные моменты инерции.

ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ И ПРИБОРА

Определение главных моментов инерции симметричных тел и проверку равенства (1) легко осуществить при помощи крутильного маятника, схематически изображенного на рис. 2. Исследуемое тело зажимается в рамке маятника, подвешенной к упругой вертикально натянутой проволоке (поэтому вектор n на нашей установке всегда направлен по вертикали). Период крутильных колебаний маятника равен

где I – момент инерции тела относительно вертикальной оси, I0 – момент инерции рамки, f – модуль кручения проволоки.

Период колебаний рамки без груза:

Исключая f из (2) и (3), находим

Закрепляя тело в рамке при помощи прижимной планки так, чтобы с вертикальной осью вращения поочередно совпали главные оси инерции тела, получим для главных моментов инерции выражения

11

где Тх, Тy Тz – периоды колебаний маятника, когда его ось вращения совпадает с одной из главных осей X, Y, Z.

Подставив (4) и (5) в соотношение (1), получим

Формула (6) связывает периоды крутильных колебаний тела Тх, Ту, Тz относительно его главных осей с периодом колебаний вокруг произвольной оси, составляющей с главными осями углы α, β, γ. Заметим, что затухание колебаний при этом предполагалось достаточно малым.

Для определения момента инерции I0 рамки воспользуемся эталонным телом, момент инерции которого IЭ известен. Из формулы (4) имеем

T2

I0 = I 2 0 2 ,

Э TЭ T0

где Тэ – период колебаний рамки с эталонным телом. Подставив I0 в формулу (5), получаем окончательно

В данной работе для исследования используются три массивных металлических тела:

а) куб со стороной а; б) прямоугольный параллелепипед, у которого

а= b < с; в) прямоугольный параллелепипед с различными длинами ребер:

а< b < с. Главные оси таких тел перпендикулярны граням и проходят через их середины. Начало главных осей поместим в центре инерции (тогда глав-

ные оси называют главными центральными осями инерции). Время колеба-

ний измеряется миллисекундомером, размещенным в основании прибора и снабженным фотоэлектрическим датчиком. Секундомер устанавливается на нуль нажатием клавиши «СБРОС». Отклоненная от положения равновесия рамка с телом удерживается электромагнитом, который включается при отжатии кнопки «ПУСК». Последующим включением кнопки «ПУСК» мы освобождаем рамку и запускаем секундомер. При нажатии клавиши «СТОП» прекращается счет времени и числа периодов и полученные значения высвечиваются на световых табло.

ВНИМАНИЕ! ЗАКРЕПЛЕНИЕ ТЯЖЕЛЫХ ОБРАЗЦОВ В РАМКЕ ПРИБОРА ПРОВОДИТСЯ С ОСТОРОЖНОСТЬЮ ВО ИЗБЕЖАНИЕ ОБ-

12

РЫВА ПРОВОЛОКИ. ПРИ ОСВОБОЖДЕНИИ ОБРАЗЦА СЛЕДУЕТ ПРИДЕРЖИВАТЬ ЕГО РУКОЙ, НЕ ДОПУСКАЯ ВЫПАДЕНИЯ ЕГО ИЗ РАМКИ И УДАРА ПО КОРПУСУ ПРИБОРА.

Как показано выше, проверка формулы (1) для крутильного маятника сводится к проверке равенства (6). Рассмотрим последовательно это равенство для всех рассматриваемых в работе образцов.

Однородный куб. Очевидно, что для куба Ix = Iy = Iz . Тогда из равенства (1) с учетом того, что

cos2α + cos2 β+ cos2γ =1,

получаем I=Ix=const и, следовательно,

Таким образом, момент инерции куба относительно любой оси, проходящей через его центр, одинаков. Одинаковы должны быть и периоды колебаний куба вокруг таких осей.

1. Параллелепипед, а = b < с.

Направим ось Z параллельно большому ребру. В этом случае Ix=Iy, Тх=Ту., а так как

cos2α + cos2 β = 1 cos2γ,

то из формулы (6) получаем

T2 = Tx2 1 cos2γ +Tz2cos2γ.

Отсюда видно, что период крутильных колебаний зависит только от угла γ, который ось вращения составляет с главной осью OZ, параллельной большому ребру параллелепипеда, и не зависит от углов α и β. В частности, должны быть одинаковыми периоды колебаний относительно любой оси, лежащей в плоскости XOY (то есть, при у=тс/2). В этом случае

Проверить соотношение (9) можно, закрепляя образец в рамке таким образом, чтобы ось вращения была перпендикулярна его большому ребру. Периоды крутильных колебаний при любом таком положении тела должны совпадать в пределах погрешности измерений.

13

2. Параллелепипед, а < b < с (рис. 3). Пусть главные центральные оси х, у, z направлены соответственно параллельно ребрам а, b, с. Сначала закрепим параллелепипед в рамке так, чтобы ось вращения совпадала с главной диагональю АВ. Так как направляющие косинусы в этом случае равны

cos2α = a2 /(a2 +b2 + c2 ), cos2 β = b2 /(a2 +b2 + c2 ), cos2γ = c2 /(a2 +b2 + c2 )

то соотношение (6) дает

Таким образом, проверка соотношения (1) сводится к проверке ра-

венств (10)–(13).

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание 1. Проверка равенства (1) методом крутильного маятника

1.

2. Определить периоды колебаний куба, измеряя время 10 колебаний для следующих положений куба:

а) ось вращения проходит через центры каких-либо двух противоположных граней;

б) ось вращения проходит по какой-либо из главных диагоналей куба

(Т2);

в) ось вращения проходит через середины противолежащих ребер ку-

ба (T3).

Все измерения повторить 3 раза, результаты занести в таблицу. Вычислить средние значения периодов, оценить их погрешности. Проверить справедливость равенства (8) в пределах допущенных погрешностей.

14

3. Для параллелепипеда с двумя одинаковыми ребрами а = b < с определить период колебаний относительно осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной большому ребру, в случаях:

а) ось проходит через середины двух противолежащих больших ребер

(T4);

б) ось проходит через середины двух противолежащих граней (T5). Повторить измерения 3 раза, заполнить таблицу, найти <T4> и <T5> и

их погрешности. Показать равенство этих периодов (соотношение (9)) в пределах погрешностей измерений.

4.Аналогичные измерения проделать для параллелепипеда с ребрами

а< b < с, закрепляя его в рамке так, чтобы с осью вращения совпадали сначала главные оси инерции X, Y, Z (соответственно периоды Тх, Ту, Тz), а за-

тем оси АВ(ТАВ), EF(TEF), MN(TMN), РО(ТPQ). Для каждого из равенств (10)– (13) отдельно выписываются левая и правая части с указанием их погреш-

ностей. Если доверительные интервалы, указанные для левой и правой частей, пересекаются, данное равенство можно считать доказанным.

Размеры параллелепипеда а < b < с:

А = (40,0 ± 0,1) мм; b = (60,0 ± 0,1) мм; с = (100,0 ± 0,1) мм.

Задание 2. Определение главных моментов инерции тела при помощи крутильного маятника

1. Выбрав в качестве эталонного тела куб массы т с длиной ребра а, найти его момент инерции по формуле

IЭ = 16 ma2 ,

где m = (962 ± 1) г; а = (50,1 ± 0,1) мм. Вычислить погрешность момента инерции IЭ.

15

2.Закрепив куб в рамке так, чтобы вертикальная ось вращения прохо-

дила через его центр, определить 5 раз по времени 10 колебаний период ТЭ колебаний рамки с эталонным телом. Найти средний период и его погрешность.

Заметим, что согласно (8), периоды колебаний куба относительно любой оси, проходящей через центр куба, одинаковы, поэтому в опыте можно использовать любую такую ось.

3.Определить, производя аналогичные измерения, средний период Т0 колебаний пустой рамки и его погрешность.

4.Закрепляя в рамке параллелепипед с различными длинами ребер (а < b < с) так, чтобы с осью вращения маятника последовательно совпада-

ли главные оси X, Y, Z, измерить аналогичным образом периоды Тx, Тy, Тz найти их средние значения и погрешности.

5.Рассчитать по формулам (7) главные центральные моменты инерции параллелепипеда. Вычислить погрешности моментов инерции. Пред-

ставить Ix, Iy, Iz в окончательном виде вместе с их погрешностями. Проанализировать результаты.

Та б л и ц а 2

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции.

2.Что такое главные оси и главные моменты инерции? Можно ли провести главные оси в любом теле или только в центросимметричных телах?

3.Вывести формулу (1).

4.Как определить главные моменты инерции симметричных тел при помощи крутильного маятника?

5.Как проверить равенство (1) для куба? параллелепипеда с двумя равными ребрами? параллелепипеда с тремя разными ребрами?

6.Каковы формулы для подсчета погрешностей левых и правых частей равенств (10)–(13) в задании 1?

7.Как вычислить погрешность момента инерции в задании 2?

16

ЛИТЕРАТУРА

1.Сивухин Д. В. Общий курс физики / Д. В. Сивухин. – М. : Физматлит, 2005. – Т. 1. – 559 с.

2.Савельев И. В. Курс физики / И. В. Савельев. – СПб. : Лань, 2004. – Т. 1. –

432с.

3.Матвеев А. Н. Механика и теория относительности / А. Н. Матвеев. – М. : Мир и образование, 2003. – 432 с.

4.Айзерман М. А. Классическая механика / М. А. Айзерман. – М. : Наука, 1980. – С. 168–173.

5.Каленков С. Г. Практикум по физике. Механика : учебник / С. Г. Кален-

ков, Г. И. Соломахо. – М., 1990. – 112 с.

6.Физический практикум. Механика и молекулярная физика / под ред. В. И. Ивероновой. – М. : Наука, 1967. – 352 с.

17

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-3.3

ИЗУЧЕНИЕ ГИРОСКОПА

Цель работы: наблюдение явления регулярной прецессии, определение угловой скорости прецессии.

Приборы и принадлежности: гироскоп, электронный блок управления с миллисекундомером.

ВВЕДЕНИЕ

Гироскопом называется быстро вращающееся твёрдое тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Гироскоп называют уравновешенным (или свободным), если его центр масс совпадает с точкой опоры.

Движение гироскопа с закреплённым центром масс описывается уравнением моментов:

dt

где L – момент импульса гироскопа, M – момент внешних сил. Дальнейшие выкладки поясняются векторной схемой (рис. 1), где гироскоп изображён в виде диска, насажанного на горизонтальную ось ab. Пусть M = 0, а гироскоп вращается с постоянной угловой скоростью ω0 вокруг своей оси симметрии ab, так что

где I0 – момент инерции гироскопа относительно оси ab.

Рис. 1. Схема возникновения регулярной прецессии

18

одного порядка, а угловые скорости ω0 и Ω различаются, по крайней мере, на 3–4 порядка.

Так как длина вектора L не меняется при приложении к оси гироскопа различных моментов сил, то отношение момента силы к угловой скорости вызванной им прецессии должно оставаться постоянным:

20