Бураева Е.В.. Учебно-методическое пособие для самостоятельного работы по дисциплине «Эконометрика» для студентов заочного отделения, обучающихся по направлению подготовки 38.03.01 Экономика
.pdf
38
Уравнение примет вид: |
~ |
4.8 9.08x |
У Х |
урожайность картофеля, ц/га
300
250
200
150
100
50
0
0
y = 9,08x + 4,8 
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
доза внесения органических удобрений, т/га
Рис.2. Влияние дозы внесения удобрений на урожайность картофеля.
Полученное уравнение ~ называется уравнением регрессии,
У Х 4.8 9.08x
которое характеризует зависимость урожайности картофеля (у) от дозы внесения удобрений (х). Коэффициент 9.08, стоящий перед х, называется
коэффициентом регрессии. По знаку этого коэффициента судят о направлении связи. Если знак «+» – связь прямая; «-»– связь обратная.
Величина коэффициента регрессии показывает, на сколько в среднем изменится величина результативного признака у при изменении факторного признака х на единицу. В данном случае с увеличение дозы внесения удобрений на 1 т/га урожайность картофеля увеличиться в среднем на 9.08
ц/га.
Подставляя в полученное уравнение регрессии значения xi из исходных данных определяем теоретические (выровненные) значения результативного признака:
~4.8+9.08*13=122.84, ц/га;
y1
~4.8+9.08*15=141.00, ц/га
y2
~4.8+9.08*28=259.04, ц/га и т.д.
y3
Результаты занесем в табл. 5.
3. Коэффициент регрессии применяется для расчета среднего коэффициента эластичности, который показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины
39
при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения. Для парной линейной регрессии вычисляется по формуле:
|
|
|
|
b |
x |
|
|
|
(7) |
|
Э |
||||||||||
|
|
y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
17 |
|
0.969% |
||||||
|
||||||||||
Э 9.08 |
|
|
||||||||
159.1667 |
||||||||||
Следовательно, с увеличением дозы внесения удобрений на 1% от своего среднего значения урожайность картофеля увеличиться в среднем на 0.969%.
При линейной корреляции между х и у исчисляют парный линейный коэффициент корреляции r. Он принимает значения в интервале –1 r 1.
Знак коэффициента корреляции показывает направление связи: «+» – связь прямая, «–» – связь обратная. Абсолютная величина характеризует степень тесноты связи. В соответствии со шкалой Чеддока:
Значения |
|
r |
|
|
0,1-0,3 |
0,3-0,5 |
0,5-0,7 |
0,7-0,9 |
Св. 0,9 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Характеристики |
слабая |
умеренная |
заметная |
высокая |
очень |
||||
силы связи |
|
|
|
|
высокая |
||||
Если r= 0 , то связь между факторами х и у отсутствует. r – связь функциональная.
Коэффициент парной линейной корреляции рассчитаем по формуле:
r b x (8)
y
r 9.08 47.8645.05 0.958
Линейный коэффициент парной корреляции показывает, что связь между дозой внесения удобрений на 1га и урожайностью картофеля прямая и очень сильная.
Изменение результативного признака у обусловлено вариацией факторного признака х. Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака характеризует коэффициент детерминации D. Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента корреляции.
|
40 |
D=r2*100% |
(9) |
D= 0.9582*100%=91.78%.
Следовательно, вариация урожайности картофеля на 91.78 % объясняется
вариацией дозы внесения удобрений под картофель, а остальные 8.22 %
вариации урожайности обусловлены изменением других, не учтенных в модели факторов.
4. Оценим модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий
Фишера.
Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных
значений от фактических:
|
|
1 |
|
* |
|
|
y yˆ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
А |
|
|
|
|
|
|
*100% = |
|
Ai |
|
|
|
(10) |
||||||||||
n |
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Допустимый предел значений А - не более 8 – 10%. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Выполним вспомогательные расчеты: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходные данные для анализа |
|
|
|
|
|||||||
№ |
Х, |
|
У, ц/га |
|
|
|
|
|
|
|
Расчетные величины |
|
|
|
|||||||||
п/п |
т/га |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
2 |
~ |
|
~ 2 |
|
y yˆ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y , ц/га |
|
|
|
|
x x |
y y |
|
y y |
|
|
*100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ai, %) |
|
1 |
|
13 |
|
|
|
120 |
|
|
122.84 |
|
16 |
-2.84 |
|
8.0656 |
2.3 |
||||||||
2 |
|
15 |
|
|
|
130 |
|
|
141.00 |
|
4 |
-11.00 |
|
121.0000 |
8.5 |
||||||||
3 |
|
28 |
|
|
|
250 |
|
|
259.04 |
|
121 |
-9.04 |
|
81.7216 |
3.6 |
||||||||
4 |
|
25 |
|
|
|
220 |
|
|
231.80 |
|
64 |
-11.80 |
|
139.2400 |
5.4 |
||||||||
5 |
|
14 |
|
|
|
130 |
|
|
131.92 |
|
9 |
-1.92 |
|
3.6864 |
1.5 |
||||||||
6 |
|
10 |
|
|
|
70 |
|
|
95.60 |
|
49 |
-25.60 |
|
655.3600 |
36.6 |
||||||||
7 |
|
12 |
|
|
|
110 |
|
|
113.76 |
|
25 |
-3.76 |
|
14.1376 |
3.5 |
||||||||
8 |
|
19 |
|
|
|
180 |
|
|
177.32 |
|
4 |
2.68 |
|
7.1824 |
1.5 |
||||||||
9 |
|
20 |
|
|
|
190 |
|
|
186.40 |
|
9 |
3.60 |
|
12.9600 |
1.9 |
||||||||
10 |
|
17 |
|
|
|
180 |
|
|
159.16 |
|
0 |
20.84 |
|
434.3056 |
11.6 |
||||||||
11 |
|
15 |
|
|
|
160 |
|
|
141.00 |
|
4 |
19.00 |
|
361.0000 |
11.9 |
||||||||
12 |
|
16 |
|
|
|
170 |
|
|
150.08 |
|
1 |
19.92 |
|
396.8064 |
11.7 |
||||||||
Итог |
204 |
|
|
1910 |
|
|
1910 |
|
306 |
0.08 |
|
2235.466 |
100.0 |
||||||||||
о: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ср. |
17 |
|
|
159.1667 |
|
|
х |
|
25.5 |
х |
|
х |
8.3 |
||||||||||
знач |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Средняя ошибка аппроксимации равна 8.3%. т. в среднем расчетные значения урожайности картофеля отличаются от фактических на 8.3%. что входит в допустимый предел.
41
F-критерий Фишера необходим для проверки нулевой гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (r).
|
|
r 2 |
|
|
||
F = = |
|
|
* (n-2) |
(11) |
||
1 r 2 |
||||||
Fфакт. |
|
|
0.9582 |
(12 2) 111,6 |
|
|
|
0.9582 |
|
||||
|
1 |
|
|
|||
Сравним фактическое значение критерия Фишера с табличным. Для этого выпишем значения критерия Фишера из таблицы «Значения F-критерия Фишера при уровне значимости =0.05» (9. с.187-188).
k1=m (число степеней свободы факторной дисперсии); k2=n-m-1 (число степеней свободы остаточной дисперсии);
где m – число параметров при переменных х . n – число единиц совокупности.
В нашем примере k1=1; k=12-1-1=10.
Таким образом. Fтабл.=4.96 при =0.05.
Т.к. Fфакт.> Fтабл., то при заданном уровне вероятности =0.05 следует отвергнуть нулевую гипотезу о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи; необходимо признать закономерный характер их формирования.
5. Вероятностная оценка параметров корреляции производится по общим правилам проверки статистических гипотез, разработанным математической статистикой, в частности путем сравнения оцениваемой величины со средней случайной ошибкой оценки:
tb |
b |
|
ta |
b |
|
tr |
b |
|
|||
m |
|
; |
|
|
; |
|
|
(12) |
|||
|
m |
|
m |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
b |
|
|
a |
|
|
r |
|
||
Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
mb |
|
|
( y yˆ x )2 /(n 2) |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x x )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ma Sост |
* |
|
|
x 2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n * x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Sост |
|
|
|
( y y ) |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
mr xy |
|
|
|
|
|
|
1 r 2 xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
mb |
|
|
|
|
2232.39 /(12 2) |
|
0.8541 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
306 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
2232,39 |
|
|
14,941 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ост |
|
|
|
|
12 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
mb 14.941 |
|
3774 |
|
15.1464 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.05*12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ta= |
|
4,8 |
|
|
|
|
0,317; |
|
tb |
9.08 |
|
10,631; |
tr |
0.958 |
|
10,562 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
15,1464 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8541 |
|
|
0.0907 |
|
|||||||||||||||||||||
42
(13)
(14)
(15)
при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы равных 12-
2=10 равно 2,2281 (9, с.188).
tтабл, следовательно нулевая гипотеза о несущественности коэффициентов корреляции и регрессии отвергается , т. е. r и b не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х.
Взаимосвязь между t-статистикой и F-статистикой:
tr2 tb2 F
111,6=111,6=111,6
Рассчитаем доверительные интервалы для каждого показателя. Для этого определим предельную ошибку для каждого из показателей.
a tтабл. *ma |
b tтабл. * mb |
(16) |
a 2.2281*15.1464 33.75 |
|
b 2.2281* 0.8541 1.90 |
|
|
43 |
a =a ± a |
b =b ± b; |
(17) |
max =4.8 +33.75=38.55 |
max =9.08+1.90=10.98 |
|
mix =4.8 -33.75= – 28.95 |
mix =9.08-1.09=7.18 |
|
Анализ верхних и нижних границ доверительных интервалов приводит к выводу, что с вероятностью p = 1– = 0, 95 параметры a и b находятся в указанных пределах. Причем параметр а не является статистически значимым, т.к. принимает нулевое значение.
44
Список рекомендуемой литературы:
Основная литература:
1. Евсеев, Е. А. Эконометрика: учебное пособие для академического бакалавриата / Е. А. Евсеев, В. М. Буре. — 2-е изд., испр. и доп. — М. :
Издательство Юрайт, 2018. — 186 с. — (Серия : Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-534-04565-9. https://biblio-online.ru/viewer/066F04BB- 9B56-424C-B19C-F9949BAD3F1B/ekonometrika#page/11
2. Эконометрика: учебник для бакалавриата и магистратуры / И. И.
Елисеева [и др.]; под ред. И. И. Елисеевой. — М. : Издательство Юрайт,
2018. — 449 с. — (Серия : Бакалавр и магистр. Академический курс). —
ISBN 978-5-534-00313-0. https://biblio-online.ru/viewer/CAD31DD6-D5BC- 4549-B1C1-729B90A8E65B/ekonometrika#page/10
3. Кремер, Н. Ш. Эконометрика: учебник и практикум для академического бакалавриата / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко ; под ред. Н. Ш.
Кремера. — 4-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 354 с.
— (Серия: Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-534-02760-0. https://biblio-online.ru/viewer/6F2C70FA-4C16-4212-990F- F7FCFDD527A7/ekonometrika#page/1
Дополнительная литература:
4.Гуляева, Т.И. Эконометрика: учеб. пособие / Е.В. Бураева, Т.И.
Гуляева .— Орёл : Изд-во Орел ГАУ, 2014 .— 203 с.
5. Исследование операций в экономике : учебник для академического бакалавриата / под ред. Н. Ш. Кремера. — 3-е изд., пер. и
доп. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 438 с. — (Серия : Бакалавр.
Академический курс). — ISBN 978-5-9916-9922-8.
6. Мардас, А. Н. Эконометрика : учебник и практикум для академического бакалавриата / А. Н. Мардас. — 2-е изд., испр. и доп. — М. :
Издательство Юрайт, 2018. — 180 с. — (Серия : Бакалавр. Академический
45
курс). — ISBN 978-5-9916-8164-3. https://biblio-online.ru/viewer/C3F5B1E3- 0900-4ADD-8864-D98F195BB173/ekonometrika#page/1
7. Подкорытова, О. А. Анализ временных рядов : учебное пособие для бакалавриата и магистратуры / О. А. Подкорытова, М. В. Соколов. — 2-е
изд., пер. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 267 с. — (Серия :
Бакалавр и магистр. Модуль.). — ISBN 978-5-534-02556-9. https://biblio- online.ru/viewer/7132122F-D176-4118-AD03-D43A9FA2FF86/analiz- vremennyh-ryadov#page/1
8.Теория статистики с элементами эконометрики в 2 ч. Часть 1 :
учебник для академического бакалавриата / В. В. Ковалев [и др.] ; отв. ред. В.
В. Ковалев. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 333 с. — (Серия : Бакалавр.
Академический курс). — ISBN 978-5-534-04021-0. https://biblio- online.ru/viewer/ACBA5E18-2F0F-47D8-B55A-CBBEF1C894D5/teoriya- statistiki-s-elementami-ekonometriki-v-2-ch-chast-1#page/1
9.Теория статистики с элементами эконометрики в 2 ч. Часть 2 :
учебник для академического бакалавриата / В. В. Ковалев [и др.] ; отв. ред. В.
В. Ковалев. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 348 с. — (Серия : Бакалавр.
Академический курс). — ISBN 978-5-534-04023-4. https://biblio- online.ru/viewer/C2886B7B-1F20-4BB8-B64D-6C893978A254/teoriya-statistiki- s-elementami-ekonometriki-v-2-ch-chast-2#page/1
10. Тимофеев, В. С. Эконометрика : учебник для академического бакалавриата / В. С. Тимофеев, А. В. Фаддеенков, В. Ю. Щеколдин. — 2-е
изд., пер. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2019. — 328 с. — (Серия :
Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-9916-4366-5. https://biblio- online.ru/viewer/CE6771BC-1935-43F3-8D96- 7680E6645862/ekonometrika#page/1