ИздательствоВоронежский государственный университетГод2016Страниц25Уровень образованияБакалавриат, Специалитет. Теория упругости
.pdf
Рассмотрим цилиндрический стержень (рис. 4.3), нагруженный растягивающими усилиями интенсивностью: = .
Рис. 4.3. Нагружение стержня растягивающими усилиями
Предположим, что = = ; = = = = 0.Эти напряжения статически допустимы. В этом случае соотношения (4.2.1) выглядят так:
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
; |
= |
|
|
, |
(4.2.2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
; |
= |
|
|
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
– константы |
= |
|
|
|
; |
= |
|
|
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
анизотропии. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Определим перемещения путем интегрирования (4.2.2): |
|||||||||||||||||
|
|
= |
|
( |
|
+ |
|
|
|
+ |
)+ |
|
+ |
+ , |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
= |
|
|
( |
|
|
+ |
|
|
)+ |
|
+ |
+ |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
– |
+ |
− |
|
+ . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
постоянные, характеризующие «жесткое» пе- |
|||||||
ремещение, |
тела, ,в пространстве, , |
, не сопровождаемое деформацией. Первые |
||||||||||||||||
три характеризуют перемещения при повороте вокруг осей координат, а вторые три – поступательные перемещения вдоль осей. Эти постоянные мы определим из условия закрепления стержня.
Будем считать закрепленным элемент на оси |
около начала коорди- |
||||||||||||||||
нат. Имеем при = |
= |
= 0 условие: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
условиям, получим |
= |
|
− |
= 0. |
|||||||||||||
Удовлетворяя этим= |
= |
= 0; |
= |
|
|||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
( |
+0,5 |
), |
|
|
|
(4.2.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= |
|
|
|
(0,5 |
+ |
), . |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= |
|
( |
+ |
+ |
) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
21
Из (4.2.3) следует, что поперечные сечения в анизотропном стержне остаются плоскими при растяжении, но вследствие сдвигов наклоняются к линии действия силы.
4.3.Упражнения для самостоятельной работы
1.На рис. 4.4 изображено поперечное сечение yOA стенки плотины, ко-
торая по грани Oy нагружена давлением воды; грань OA не имеет нагрузки. Обозначить нормальное и каса-
тельное напряжения на грани Oy и написать, чему они равны (обращать внимание на направление давления, направленияоси Ox и знакпроекции). Обозначить также составляющие напряжения на косой грани OA (внешняя нормаль v) и записать отсюда условие того, что грань ОА свободна от нагрузки. Обозначить напряжения в сечениях aa и bb при отбрасывании той или иной части (левой или правой; верхней или нижней) стенки послерассечения.
2.Цилиндрическое тело (рис. 4.5) скручивается силами, приложенными по концевым поперечным сечениям. Обозначить напряжения в любой точке k поперечного сечения ln и записать условие того, что нормальное напряжение отсутствует. Обозначить напряжение в любой точке m боковой поверхности и записать условия того, что эта поверхность ничем не нагружена.
3.Цилиндрический брус (рис. 4.6) изгибается силами, приложенными в концевом поперечном сечении pq. Записать условия того, что боковая поверхность свободна от нагрузки (см. предыдущее упражнение), обозначить те напряжения в сечении mn (нормальные и касательные), которые определяются в со-
сопротивлении материалов.
4. Тонкая прямоугольная резиновая пластинка 
плотно, но без нажатия лежит между двумя стальными пластинками, кото-
рые можно принять абсолютно твердыми по сравнению с резиновой. Трение между пластинками устранено. Если координатную систему выберем так, чтобы ось Oz была нормальна к плоскостям соприкасания пластинок, то согласно условию задачи можно принять, что вдоль оси Oz удлинений
22
нет, т. е. = 0. Резиновая пластинка сжимается силами, приложенными по граням, нормальным к осям Ох и Оу. Требуется найти зависимость между нормальными напряжениями и удлинениями.
5. Резиновый кубик плотно вложен в стальной ящик такой же формы; сверху кубик плотно накрыт стальной крышкой,
Рис. 4.6 на которую производится давление р кг/см2. Принимая сталь абсолютно твер-
дой и полагая, что трения между сталью и резиной нет, найти: а) давление резины на стенки ящика; б) наибольшие касательные напряжения в резине.
23
Библиографический список
1.Горшков А.Г. Теория упругости и пластичности / А.Г. Горшков, Э.И. Старовойтов, Д.В. Тарлаковский. – М. : Физматлит, 2002. – 416 с.
2.Дементьев А.Д. Прикладные задачи теории упругости : учеб. пособие / А.Д. Дементьев, Л.А. Назаров, Л.А. Назарова. – Новосибирск : Новосиб. гос. агр. ун-т, 2002. – 224 с.
3.Демидов С.П. Теория упругости / С.П. Демидов. – М. : Высшая школа, 1979.
4.Журавков М.А. Механика сплошных сред. Теория упругости и пластичности : учеб. пособие / М.А. Журавков, Э.И. Старовойтов. – Минск :
БГУ, 2011. – 543 с.
5.Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лех-
ницкий. – М. : Наука, 1977. – 416 с.
6.Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм / Б. Сен-Венан. – М. : Физматлит, 1961. – 519 с.
7.Тимошенко С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко. – М. : ОНТИ,
1937.
24
Учебное издание
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Учебно-методическое пособие
Составители:
Малыгина Юлия Владимировна, Ковалев Алексей Викторович, Семыкина Татьяна Дмитриевна
Редактор М.С. Исаева
Подписано в печать 03.10.2016. Формат 60 × 84/16. Уч.-изд. л. 1,5. Усл. печ. л. 1,6. Тираж 25 экз. Заказ 598.
Издательский дом ВГУ 394000 Воронеж, пл. Ленина, 10
Отпечатано в типографии Издательского дома ВГУ 394000 Воронеж, ул. Пушкинская, 3