Тема 11.

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Основные понятия

Статистической называется гипотеза о предполагаемом виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Например, утверждения, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, или, что дисперсии двух нормально распределенных совокупностей равны между собой, будут статистическими гипотезами.

Нулевой называется выдвинутая гипотеза (H₀), конкурирующей – гипотеза (H₁), противоречащая нулевой.

При принятии гипотез могут быть допущены ошибки.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Ошибка второго рода заключается в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза.

Вероятность совершить ошибку первого рода обозначается буквой  и называется уровнем значимости. Обычно принимают

 = 0,05 или  = 0,01.

Критерием называется случайная величина, которая служит для проверки нулевой гипотезы Н₀.

Критической областью называется совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу Н₀ отвергают.

Областью принятия гипотезы называется совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

По результатам опытов вычисляют наблюдаемое (опытное) значение критерия. Если оно принадлежит критической области, то гипотезу Н₀ отвергают. Если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу Н₀ принимают.

Критическими называются точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей

Пусть и – объемы двух выборок с исправленными выборочными дисперсиями и . Предполагается, что обе выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей и .

Выберем уровень значимости . Пусть, например, . Тогда для проверки нулевой гипотезы

:

о равенстве генеральных дисперсий совокупностей и при конкурирующей гипотезе надо вычислить наблюдаемое значение критерия Фишера

.

Затем по таблице приложения 5 находим критическую точку распределения Фишера с заданным уровнем значимости и числам , – степеням свободы исправленных выборочных дисперсий и соответственно. Если , то нет оснований отвергнуть гипотезу . Если же , – нулевую гипотезу отвергают.

Пример 11.1. Рассмотрим в качестве выборок элементы первого и второго столбцов таблицы 10.0. Тогда ; Следовательно, и

В приложении 5 находим . Так как , то нет оснований отвергнуть гипотезу : о равенстве генеральных дисперсий.

Проверка гипотезы о равенстве средних

двух нормально распределенных генеральных совокупностей,

Дисперсии которых неизвестны и одинаковы

П усть и – объемы двух выборок с выборочными средними и с исправленными выборочными дисперсиями и . Генеральные дисперсии неизвестны, но проверка по критерию Фишера не отвергает гипотезу .

Выберем уровень значимости и составим наблюдаемое значение критерия :

.

Если объемы выборок совпадают, то есть , то вычисление наблюдаемого значения значительно упрощается. В этом случае

.

Рассмотрим нулевую гипотезу и конкурирующую гипотезу . По заданному уровню значимости в таблице приложения 4 для распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область) находим значение , где – число степеней свободы.

Если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу .

Если то нулевую гипотезу отвергают, то есть считают, что .

Пример 11.2. Используем данные примера 11.1 для проверки гипотезы о равенстве средних. Как и выше, выбираются элементы первого и второго столбцов таблицы 10.0. Напомним, что .

Вычисляем

Выберем и, поскольку , по таблице приложения 4 находим .

Так как , то нулевая гипотеза о равенстве средних не отвергается.