- •6. Экстремум функции нескольких переменных
- •7. Условные экстремумы функций нескольких переменных
- •Составим вспомогательную функцию
- •8. Абсолютный экстремум функции
- •9. Пример применения в задачах экономики
- •10. Метод наименьших квадратов
- •Решение. Фактически нужно найти параметры k и b так, чтобы выражение
- •Следовательно, система уравнений имеет вид
6. Экстремум функции нескольких переменных
Определение. Функция z=f(x,y) имеет в точке М0 максимум (минимум), если значение функции в этой точке наибольшее (наименьшее) по сравнению с точками, близкими к М0.
Необходимые условия экстремума: если функция z=f(x,y) имеет в точке М0 максимум (минимум), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю.
Отметим, что равенство нулю частных производных не означает существование экстремума (максимума или минимума). Например, для гиперболического параболоида (см. рис. 9) в точке (0,0) частные производные равны нулю, но эта точка не является ни максимумом, ни минимумом.
Достаточные условия экстремума функции двух переменных: если для функции z=f(x,y) в точке М0 частные производные первого порядка равны нулю и значения вторых производных в этой точке равны
, , ,
то функция имеет максимум, если Δ=AּC-B2>0 при A<0, и минимум при A>0.
Задание 5. Исследовать на экстремум заданную функцию.
№ |
z=f(x,y) |
№ |
z=f(x,y) |
1 |
|
16 |
|
2 |
|
17 |
|
3 |
|
18 |
|
4 |
|
19 |
|
5 |
|
20 |
|
6 |
|
21 |
|
7 |
|
22 |
|
8 |
|
23 |
|
9 |
|
24 |
|
10 |
|
25 |
|
11 |
|
26 |
|
12 |
|
27 |
|
13 |
|
28 |
|
14 |
|
29 |
|
15 |
|
30 |
|
Типовой пример. Исследовать на экстремум функцию .
Решение. Находим частные производные функции:
; .
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки. Для этого решаем систему уравнений
откуда x=1; y=2. Таким образом, стационарной является точка M(1,2). Находим значения частных производных второго порядка в точке M:
; ; .
Составляем выражение .
Так как и , делаем вывод о наличии минимума в точке M(1,2). При этом минимальное значение функции . Для проверки и сравнения можно вычислить значение функции в точке, близкой к M(1,2).
7. Условные экстремумы функций нескольких переменных
Задачи на нахождение экстремумов функций нескольких переменных, в которых независимые переменные связаны между собой соотношениями, называются задачами на условный экстремум. Разъясним это понятие на простом примере функции двух переменных.
Пусть задана функция и линия AB с уравнением на плоскости (см. рис. 11). Задача состоит в том, чтобы на AB найти такую точку M1, в которой значение функции является наибольшим по сравнению со значениями этой функции в точках AB, находящихся вблизи точки M1. Такие точки называются точками условного экстремума функции z. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии AB. Графиком функции является верхняя полусфера. Эта функция имеет максимум в точке , ему соответствует вершина полусферы (рис.10). Геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке , лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции на данной линии, ей соответствует точка M1 на полусфере.
z
M
M1
O y
P B
A
x
Рис. 11
Правило. Для нахождения экстремума функции при условии необходимо составить вспомогательную функцию Лагранжа
,
(параметр играет вспомогательную роль) и для нее найти обычный экстремум, т.е. приравнять нулю частные производные
, , .
Типовой пример. Из данного куска жести площадью 2 нужно сделать закрытую коробку в форме параллелепипеда, имеющую наибольший объем.
Решение. Обозначим длину, ширину и высоту коробки через . Задача сводится к нахождению максимума функции при условии, что .