Kalinin_V.V._Matematika_-__uchit_-_ne_uchit

стейшей моделью для описания такого движения является дви­

жение вязкой капли в тонком капилляре, заполненном водной

средой. При наложении градиента давления капля, как впрочем и

окружающая ее жидкость, начинает перемещаться. Математи­

ческие расчеты позволили устаноnить зависимость скорости дви­

жения от физика-химических, гидродинамических и геометричес­

ких характеристик системы:

др= 20 [4caL+(JI-l)Z +2,21·(3Са)

аа

Здесь

др = Р-- Р+ -перепад давления на конgах капилляра;

а - радиус капилляра;

L - длина капилляра; l -длина капли.

Первое слагаемое в квадратных скобках описывает обыч­

ное движение :;.кидкости по цилиндрическому капилляру (в гид­

родинамике оно называется течен.ие.м Пуазейля), а второе слага­

емое обусловлено поверхностными эффектами. Численные оцен­

ки показьшают, что при медленных движениях капли, характер­

ных для прочессов извлечения углеводородов, роль поверхност­

ных эффектов оказывается весьма значительной, и пренебреrать

ею, как это было принято в ранних классических исследованиях,

нельзя.

Математикавеликая и сложная наука, с ее помощью мож­ но решить множество разнообразных проблем, поставляемых нам окружающей действительностью. Вспомним еще раз фразу <<Наука только тогда достигает совершенства, когда ей удаётся пользоваться математикой)>. И действительно, без этой науки вряд ли человечество продвинулось бы так далеко в познании за­

конов, по которым устроена природа. Вместе с тем математика (и математики) часто занимается весьма абстрактными задачами,

10

не учитывать возможности, которые предоставляет компьютер,

и не научить студента пользоваться этими возможностями в про­

водимых теоретических расчетах в наше время просто недопус­

тимо.

Известно множество программ, которые позволяют про­

водить математические исследования не только в численном виде

(это можно было делать еще сотню лет назад на арифмометрах­

только долго!), а в символьной, аналитической форме. Один из луч­

ших образgов такого рода - система Mathematica, созданная С.

Вольфрамом лет пятнадgать назад. Удивительно, как эта програм­

ма, умещавшаяся вначале на двух дискетах, могла выполнять вы­

числения, потребовавшие бы у квалифиgированного спеgиалис­

та-математика часы и даже дни кропотливого труда. И матема­

тик при этом наверняка бы где-нибудь ошибся в расчетах.

Какие же возможности предоставляют компьютерные под­

ходы в математике? Начнем с простого примера из школьного

курса, связанного с решением систем линейных алгебраических

уравнений. Пусть дана система

Zx-y=-1

{х+ у=10

Любой школьник быстро найдет решение: {х=3, у=7}. Одна­

ко таких примеров в жизни, как правило, не возникает. Скажем,

решить систему

123456789x+98765432ly=987654330

{ 135792468х+975318642у=864297540

так легко уже не удастся. И калькулятор не поможетон просто

не справится с умножением чисел, имеющих такое количество

значащих gифр. А nот система Mathematica справляется за секун­

ды. Достаточно ввести исходные числовые значения

14

и выполнить команду

Solve[A.v==d, {х,у}].

Тут же компьютер даст отnет:

Out[2] := {{х4- 8,у42}}.

(Кто бы мог подумать, что таю1я громоздкая система уравнений

имеет такое простое р~шение!)

Следующая задача еще более сложная. Известно, что сво­ бодные колебания стержней или струн описываются так называ­

емым во.л.но8ьt.М уравнением:.

(Здесь и(х,t) - отклонение струны от положения равнове­

сия, как функчия времени t, и координаты х.)

К волновому уравнению должны быть добавлены гранич­ ные и начальные условия. Если постоянная а= 1, длина струны

равна 2, а ее кончы закреплены (вспомним, например, струны на гитаре), то граничные условия имеют nид и (0, t) =и (2,t) =О.

Будем считать, что в начальный момент струна отклонена

от равновесного положения так, что

u(x,O) =О,

15

Математики (в том числе студенты старших курсов) легко

могут решить такую задачу и получить ответ в виде ряда

nn2nn) . nnt . nnx

~4( cosз-cos-3- sштsшz-

uxt=z( ) .-

Однако наглядно представить этот результат практически

невозможно. Ведь для этого надо изобразить сумму ряда с беско­

нечным числом членов, зависящих от двух переменных - х и t.

Невозможно даже изобразить сумму нескольких членов такого

ряда. Так что математикам (и инженерам) оставалось только лю­ боваться красотой полученного решения, не имея возможности провести его детальный анализ.

Система Mathematica может не только решить задачу, но и изобразить форму струны либо в заданный момент времени, либо

в виде анимаgии, охватывающей произвольный интервал време­ ни. Не имея возможности показать в рукописном варианте лек­ чии анимираванную картину, ограничимся графическим изобра­ жением формы струны.

16

Еще более интересная задача связана с колебаниями прямо­

угольной мембраны. Такие колебания описываются уравнением

Если мембрана натянута на прямоугольную область

О<х<4, О<у<1 и закреплена по своему периметру:

и/х=О =и/х=4 =О,

ujy=o = ujy=1 =О,

а в начальном состоянии ее отклонение от положения равнове­

сия задается условиями

u\t=O = ху(1- у)(4- х),

ди

дt t=O =0'

то решение такой задачи записывается в виде двойного ряда

Amп=f6 х(4- х) sin 1t7x dx · JбуС1- у) sinnny dx.

17