Osetinskiy_N.I._Matemat._teoriya_sistem_upravleniya._Ch._2

Следовательно, можно разместить 6 полюсов общей системой с двумя входами и тремя выходами. При этом условие Х. Кимуры m + p 1 n не выполняется. Этот

интересный факт был подмечен еще К. Бирнсом и Р. Брокеттом [29]. Указанная И. Розенталем таблица дает значения числа (m; p), когда max(m; p) 5

Теорема Х. Кимуры вытекает теперь из следующего замечания [109]. Рассмотрим разбиение = (pm 1; 1p). Легко показать, что K = 1 в соответствии с единственной

Но тогда K = 1 нечетно и для этого имеем s = m 1 + p. Следовательно, (m; p) = maxfs : K нечетноg m 1 + p m.

Теорема 2.10. Из следующих условий вытекает разрешимость задачи синтеза в общем случае (предполагается, что m p; это неравенство не является

ограничением в силу двойственности): m = 2 и 1:5p n; m = 3 и 2p + 1 n; m 4

è 2:25p + m 3 n.

Доказательство этой и предыдущей теорем дано И. Розенталем в работе [109] и основывается на том, что кольцо когомологий вещественного грассманиана

Gp(Rm+p) с коэффициентами в Z2 совпадает с кольцом симметрических функций

Z2[x1; : : : ; xp]Sp .

2.5Методы аффинной алгебраической геометрии в задаче синтеза.

На языке пространства состояний задача синтеза имеет вид

Переформулировка проблемы синтеза как некоторой задачи о свойствах полиномиального отображения приводит к следствию, которое впервые было подмечено в [123].

А именно: условие mp n необходимо в общем случае для разрешимости задачи размещения полюсов при помощи обратной связи по выходу.

Пусть d jK дифференциал отображения в точке K. Равенство rank(d jK0 ) = n (íàä R èëè C) означает по теореме о неявной функции, что образ содержит

некоторую открытую окрестность точки (K0), т.е. можно разместить все полюса, достаточно близкие к корням характеристического полинома pK0 (s) = sn +

21

Теорема 2.12. (A; B) 2 rn;m(R) , существуют K 2 Rm n è v 2 Rn, такие, что

(A + BF; Bv) 2 rn;1(R) (ñì.5.1).

Доказательство. Положим [S1; S2] = S1S2 S2S1; Si 2 Rn n. Пусть E := En; 0 :=

0m n è

: GLn(R) Rm n ! Rn n

рациональное отображение F (T; F ) = T (A+BF )T 1. Тогда его дифференциал имеет âèä d j(E;0)(S; F ) = [S; A] + BF . Линейное отображение d j(E;0) : Rn n Rm n !

будет сюръективным , отображение двойственных пространств

d j(E;0) : (Rn n) ! (Rn n) (Rm n)

Åñëè d j(E;0)(L) = 0, то правая часть в (6.22) обращается в нуль для всех (S; F ). Поэтому tr([S; A]L) = tr([A; L]S) = 0 äëÿ âñåõ S è tr(BF L) = tr(LBF ) = 0 äëÿ âñåõ

F . Следовательно, [A; L] = 0 è LB = 0. Òî åñòü L(B; AB; : : : ; An 1B) = 0.

Лемма 1 (Р. Херман, К. Мартин). Для отображения , определенного выше,

n2 = rank(d j(E;0)) , dim(col.sp(B; AB; : : : ; An 1B)) = n:

Доказательство. Р. Херман и К. Мартин применяли эту лемму для доказательства второго следствия из теоремы 2.11 с учетом теоремы о доминантном морфизме (а именно, достижимость влечет разрешимость задачи размещения почти любого набора полюсов при помощи комплексной обратной связи по состоянию). Над полем

R в случае достижимой системы (A; B) из теоремы о неявной функции следует, что образ содержит открытое множество U n n-матриц. Так как множество X матриц с кратными собственными значениями есть собственное алгебраическое

доказывает лемму 1 и теорему.

2.6Проективные методы.

23

Заметим, что если min(m; p) = 1, òî dm;p = 1, что согласуется с предыдущими

результатами. Кроме того, d2;2 = 1, d2;3 = d3;2 = 5. Вообще, d2;p åñòü p-ое число

Каталана.

Формула (6.23) и некоторые ее обобщения получаются на основе исчисления Шуберта. Классическая задача Шуберта формулируется следующим образом. Пусть

задано mp плоскостей Vi размерности m в Cm+p. Сколько p-мерных плоскостей W

пересекает каждую Vi нетривиально? Ответ как раз дается формулой (6.23), если

плоскости Vi находятся в общем положении. Помимо этого, если взять Vi = gr(T (si)), то из (6.18) получается, что формула (6.23) дает верхнюю границу числа возможных комплексных законов обратной связи K, размещающих полюса замкнутой системы

в точки s = si. Но на самом деле, если каждая p-плоскость W = gr(K), то (6.23) приводит к точному числу обратных связей. В данном контексте термин "общее положение"означает, что только конечное число p-плоскостей W пересекает все Vi нетривиально. Отметим, что условие mp n необходимо для нахождения n øòóê m-

мерных плоскостей gr(T (si)) в общем положении. Достаточной же будет импликация

В [29] это условие называлось невырожденностью функции T (s). Известно [34], что невырожденные системы являются общими, если mp n. Из невырожденности вытекает замкнутость множества im . Отсюда выводится следующий результат.

Теорема 2.13 (Р. Брокетт, К. Бирнс [29]). Пусть mp = n. Тогда для любой невырожденной системы размерности n и любого приведенного полинома p(s) степени n существует dm;p законов обратной связи (с учетом кратности), для которых p(s) будет характеристическим полиномом замкнутой системы. В частности, если min(m; p) = 1 или min(m; p) = 2 и max(m; p) = 2r 1, то для невырожденной вещественной передаточной функции и вещественного p(s) всегда найдется вещественная обратная связь, синтезирующая p(s).

Идею вычисления на основе метода нахождения m-плоскостей gr(T (s)) â

общем положении при помощи отображения Хермана Мартина предложил К. Бирнс. Рассмотрим Gm(CN ) как естественную компактификацию пространства (N m) m-

матриц. Для этого выберем некоторое m-мерное подпространство U CN è произвольное дополнительное к нему подпространство Y CN ; CN = U Y . Äëÿ

любой m-плоскости V имеются две возможности: или V дополнительна к Y , èëè V содержится в множестве

(Y ) := fV : dim V = m; dim(V \ Y ) 1g:

В первом случае существует линейное отображение G : U ! Y , для которого V = gr(G). То есть имеется соответствие

Если менять Y , то соответствие (6.25) определит покрытие Gm(CN ) подмножествами

гиперповерхность Шуберта (Y ) â PN 1(C) состоит из всех прямых l Y . Òàê êàê

Шуберта не будут гладкими многообразиями.

24

Если, например, m = 2; N = 4, то имеются два типа точек V 2 (Y ) для любого фиксированного Y : такие V , ÷òî dim(V \ Y ) = 1, è V = Y , которая будет

единственной особой точкой в (Y ). Åñëè Y1 è Y2 пара двумерных плоскостей общего положения в C4, òî åñòü Y1 Y2 = C4, то в этом случае пересечение (Y )\ (Y )

Прежде чем переходить к общему случаю, обратимся к примерам, которые частично уже рассматривались: mp = n è min(m; p) = 1 èëè m = p = 2. Пусть сперва p =

1; m = n. Тогда любая гиперповерхность Шуберта (si) будет гиперплоскостью PN 1(C) PN (C), ò.å. (si) соответствует некоторой гиперплоскости V (si) â Cn+1,

òàê ÷òî

(si) = fпрямые l Cn+1 : l V (si)g:

Òàê êàê V (si) è V (sj) или совпадают, или пересекаются по подпространству коразмерности 2, то добавление каждого условия gr(K) 2 (si) приводит к

понижению размерности самое большее на 1. Поэтому dim (\ni=1 (si)) 0. Как уже отмечалось, в общем случае равенство dim (\ni=1 (si)) = 0 справедливо в точности, когда числители линейно независимы, и тогда (\ni=1 (si)) = fV g. Åñëè V íå

представляется в виде V = gr(K), то надо перейти к другому условию V = Y , которое

не выполняется в общем случае. И наконец, если множество полюсов fs1; : : : ; sng симметрично в C1, òî

nn

\\

òî åñòü V = gr(K) и, следовательно, обратная связь K будет вещественной. Случай m = p = 2, конечно, не будет линейным. Однако предполагая, что

шубертовы гиперповерхности (si); i = 1 : : : 4, находятся в общем положении, его

тоже можно полностью разобрать (см. [37], [108]). Здесь уместно привести следующий результат.

Теорема 2.14 (Я. Виллемс, В. Хесселинк). Для общей системы (A; B; C) 2

4;2;2(C) существуют две обратные связи (с учетом кратности), которые

позволяют разместить заданное множество полюсов. Кроме того, для общей вещественной системы (тех же размеров):

(1)существует открытое множество вещественных характеристических полиномов, имеющее бесконечную лебегову меру, которые нельзя синтезировать при помощи вещественной обратной связи;

(2)множество тех вещественных характеристических полиномов, которые можно синтезировать, является замкнутым, содержащим некоторое открытое подмножество бесконечной меры Лебега.

25

Теперь нам понадобятся несколько фактов о шубертовых гиперповерхностях, включенных в следующую теорему.

Теорема 2.15. Рассмотрим n плоскостей Yi размерности N p в пространстве CN . (1) Åñëè

\\

и в этом случае

n

!

card \ (Yi) = 1! : : : (p 1)!(p(N p))! (N p)! : : : (N 1)!

i=1

с учетом кратности пересечения

Пусть теперь T (s) передаточная p m-матрица степени n = mp. Обозначим Cm через U и Cp через Y и рассмотрим гиперповерхности Шуберта (si) Gp(Cm+p), определяемые так же, как в (6.26), причем полюса si 2 C попарно различны. Отметим, что если s = 1, то символ (1) все еще имеет смысл. Действительно, так как T (1) = 0, то U = gr(T (1)) Y U. В частности, (1) = (U), поэтому включение V 2 (1) означает, что dim(V \ U) 1, т.е. V 6= gr(K).

Теорема 2.16 (лемма об общем положении). Пусть n = mp. Если функция T (s)

\

i

Кроме того, общая система будет невырожденной.

Доказательство. Рассмотрим рациональное уравнение относительно неизвестных

Ki:

и эквивалентное полиномиальное уравнение

ãäå T (s) = N(s)D(s) 1 взаимно простое разложение и rank(K1; K2)t = p. Пусть T (s) фиксирована; если K1 = E, то корнями уравнения (6.29a) будут полюса замкнутой системы, соответствующей обратной связи K2. Поэтому, если rank K1 = p, то (6.29a) полиномиальное уравнение степени n. Тогда в силу непрерывности

степень этого уравнения при любом K не будет больше n. Из невырожденности следует, что полином в (6.29a) не может быть нулевым и имеет, стало быть, самое большее n корней для любой p-плоскости

26

В частности, 1 не является корнем уравнения (6.29). На геометрическом языке данный факт будет означать, что

!

n

\\

Если бы эта размерность оказалась положительной, то пересечение (6.31) имело бы неотрицательную размерность (теорема 6.15(1)). Следовательно, размерность пересечения равна нулю и опять можно применить эту теорему 6.15(2), из которой следует теорема Р .Брокетта К. Бирнса.

Здесь не доказано, однако, что невырожденность будет общим свойством, т.е. что для заданных n; m è p существует (вещественная) невырожденная система.

Мы еще остановимся на этом, но прежде обратимся к одному интересному факту, вытекающему из проверенной части леммы об общем положении [34].

Следствие. Для невырожденной системы подмножество im замкнуто в Cn. В частности, для невырожденной вещественной системы множество синтезируемых вещественных приведенных полиномов замкнуто.

Доказательство. Степень полинома в (6.29a) не больше n. Ее уменьшение означает, что один из полюсов замкнутой системы ушел в 1. Воспользуемся уравнением (6.29), перейдя к однородным координатам, т.е. заменим s íà s=t и введем множитель tr, ãäå r наивысший показатель степени у переменной t 1. Мы получаем отображение

ãäå (s; t) однородный полином степени n, не равный 0, если система невырождена.до : V ! sp( (s; t)), ãäå sp( )

обозначает прямую, проходящую через в (n + 1)-мерном пространстве однородных

полиномов степени n. То есть : Gp(Cm+p) ! Pn(C). Ограничение на дополнение приводит к морфизму алгебраических многообразий : Cmp ! Cn.

Если верно равенство im = im \ Cn, то в силу замкнутости множества im , получаем утверждение следствия. Но последнее равенство вытекает из того, что если p-плоскость V синтезирует множество из n различных конечных полюсов (с

учетом их кратностей), то V = gr(K). Åñëè æå V 6= gr(K), òî V 2 (1) è

(6.29) имеет n конечных корней и один бесконечный корень, что противоречит невырожденности.

Теперь кратко изложим конструкцию невырожденной системы, когда mp = n. Для этого рассмотрим отображение Хермана Мартина (см. п.5.5)

27

Из равенства Y = gr(0) следует согласно п.5.5, что

T 1( T (P1(C)) \ (Y )) = fполюса T (s)g

и с учетом кратностей card( T 1( T (P1(C) \ (Y ))) = n. Соответствие между рациональными кривыми степени n в грассманиане Gm(Cm+p) и собственными

передаточными p m-матрицами степени Макмиллана n позволяет применить методы алгебраической геометрии к задачам теории линейных систем. Например, понятие невырожденности функции T (s) сперва было дано именно в таком контексте

[34]. Более подробно: с учетом (6.33) невырожденность T (s) означает, что кривая

T (P1(C)) не содержится ни в какой гиперповерхности Шуберта. Например, если m = 1 è p = n, òî T (s) будет рациональной кривой в Pn(C), не содержащейся

ни в какой гиперплоскости. Это переформулировка невырожденности на языке алгебраической геометрии. Стандартные примеры таких кривых хорошо известны [14], [37]. В общем случае, рассмотрим рациональную кривую : P1(C) ! Pm+p 1(C)

äëÿ s 6= 1, определяемую соответствием s 7!(1; s; : : : ; sm+p 1). Тогда искомой будет ее (m 1)-ая производная кривая

(m 1) : P1(C) ! Gm(Cm+p):

Оказывается, что (m 1) невырожденная кривая в Gm(Cm+p), имеющая степень n = mp. Это завершает доказательство утверждения о невырожденности общей системы в теореме 2.16.

2.7Топологические методы и стабилизируемость.

Имеется один довольно простой подход, интерпретирующий проблему синтеза, как некую задачу о пересечении на многообразии Gp(Cm+p). Далее изложение

основывается на обзоре К. Бирнса [37] и статьях [35], [36]. Будем считать, что рассматриваются только вещественные системы и вещественные обратные связи.

Пусть задана передаточная функция T (s) и желаемое множество попарно различных вещественных полюсов si; 1 i n. Тогда равенство

Как отмечалось выше, дополнение гиперплоскости Шуберта это открытое множество, диффеоморфное Rmp, поэтому оно стягиваемо. В частности, утверждение

стягиваемыми в нем. Это простое замечание оказывается весьма действенным с учетом соображений об общем положении типа теоремы 2.16.

Нам понадобится следующий инвариант на гладких многообразиях. Категорией Люстерника Шнирельмана гладкого n-мерного многообразия X, обозначаемой L

S c(X) или кратко cat(X), называется минимальная мощность открытых покрытий для X : [ni=1Ui = X, причем элементы покрытий Ui стягиваемы в X.

28

Используя обобщение теоремы 2.16, когда mp n, К. Бирнс получил результат

о синтезе в общем случае (для размещения полюсов в общем наборе вещественных точек) [36]. Из этого вытекает следующий факт об общей стабилизируемости.

Теорема 2.17. Общая система из n;m;p(R) стабилизируема при помощи вещественной обратной связи по выходу при условии, что

Òàê êàê L S c(X) dim X + 1, то неравенство (6.36) дает также одно необходимое условие из работы [36].

Теорема 2.18. Условие mp n необходимо для стабилизации общей системы изn;m;p(R) при помощи обратной связи по выходу.

В доказательстве существенно используется неравенство m + p 1 km;p mp. Следующие примеры предложены К. Бирнсом [37] и выводятся из (6.36). Пусть s такое целое число, что 2s < m + p 2s+1.

Следствие. Если min(m; p) = 2, то из неравенства max(m; p) + 2 1 n следует стабилизируемость в общем случае.

стабилизируемость в общем случае:

Существует также несколько более тонкий инвариант, играющий подобную же роль в задаче синтеза при помощи вещественной обратной связи. Пусть f : X ! Y

непрерывное отображение. Тогда cat(f) определяется как минимальная мощность

такого открытого покрытия fUig многообразия X, ÷òî fjUi гомотопно постоянному отображению. Если f = idX тождественное отображение, то cat(idX ) = L S c(X),

а в общем случае cat(f) L S c(X). Рассуждения, такие же, как в [35],

показывают, что из (6.35) следует формула cm;p = cat( m;p) mp, ãäå m;p плюккерово вложение

m;p : Gp(Rm+p) ! PN (R); N = Cmp +p 1:

Теорема 2.19. Пусть n; m и p фиксированы. Тогда неравенство m;p n является

достаточным условием для разрешимости задачи синтеза в общем случае при помощи вещественной обратной связи по выходу.

29

На основе шубертова исчисления [74] можно оценить число m;p. Пусть s определено как выше, положим

:

Следствие. Условие 0m;p 2[n 1=2] + 1 достаточно для решения задачи синтеза для общей системы из (n;m;p)(R).

Следствие. Если mp = n, то условия

min(m; p) = 1 èëè min(m; p) = 2 è max(m; p) = 2r 1

будут достаточными для решения задачи синтеза для общей системы из n;m;p(R).

Следствие. Если m + p 1 n, то решение задачи синтеза для общей системы из n;m;p(R) существует.

В заключение отметим, что в проблеме синтеза при помощи обратной связи по выходу пока что имеется много нерешенных проблем. Более подробно о них говориться в обзоре [37]. Укажем, что в нашей работе совершенно не затронуты алгоритмические и численные вопросы построения обратной связи. Исследования в этом направлении в последнее время интенсивно развиваются.

30