571_Sibirjakov_E.B._Kratkij_Kurs_Linejnoj_Algebry

ведущим. Затем путем перестановки строк и столбцов он становится элементом а11. Количество операций ~ n3 .

Вырожденная матрица

Определение. Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Если вспомнить что определитель произведения матриц равен произведению определителей, то очевидно, что произведение невырожденных матриц есть невырожденная матрица, а произведение любой (в том числе и невырожденной) матрицы на вырожденную, есть вырожденная матрица.

11

ЛЕКЦИЯ 3

Обратная матрица

Определение. Матрица A-1 называется обратной к квадратной матрице А,

если АА-1 = А-1А = Е (Е – единичная матрица). Свойство (А-1)-1 = А.

Теорема о существовании обратной матрицы (без доказательства)

≠0 ↔ !

=0 ↔ ¬

(¬ − квантор отрицания, !− квантор единственности).

Набор символов, приведенный выше, означает, что если матрица невырожденная, то обратная к ней существует и притом единственная. Если же матрица вырожденная, то обратной к ней не существует.

соединенная матрица, она же транспонированная матрица алгебраических до-

полнений ||Aji|| = ||Aij||т.

Недостаток метода – катастрофическое (с точки зрения практических вычислений и вычислительных алгоритмов) возрастание количества операций с ростом порядка матрицы. По этой причине стандартные программы этот метод не используют.

Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы

Элементарными называются следующие преобразования матриц:

─перестановка строк;

─умножение строки на число, отличное от нуля;

─прибавление к строке любой другой строки, умноженной на любое

число.

12

Элементарные преобразования невырожденную матрицу преобразуют в невырожденную, а вырожденную – в вырожденную.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если от А можно перейти к В при помощи конечного количества элементарных преобразований. Эквивалентность обозначается символом ~ (А~B).

Замечание. Все высказывания о свойствах элементарных преобразований, характерные для строк, справедливы также и для столбцов. Далее для определенности я буду говорить только о строках.

Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований

Теорема (без доказательства). Если последовательность элементарных преобразований приводит матрицу А к единичной (Е), то та же последовательность преобразований приводит матрицу Е к A-1 .

Правило вычисления обратной матрицы (алгоритм Жордана–Гаусса).

1.Записать рядом две матрицы А|Е.

2.Привести элементарными преобразованиями матрицу А к треугольному виду (прямой прогон).

3.Привести матрицу А к диагональному виду (обратный прогон).

4.Разделить на диагональные элементы. Тогда на месте исходной матрицы будет матрица Е, а на месте матрицы Е – обратная.

Замечание. Если матрица вырожденная, то на втором этапе получится строка нулей. В этом случае обратной матрицы не существует.

Пример

Ранг матрицы

Рангом матрицы (r(A), rangA, rang(A)) называется наивысший порядок минора, отличного от нуля.

Пояснение. В прямоугольной матрице, состоящей из m строк и n столбцов (пусть n > m) выделяется квадратная матрица путем удаления каких-либо строк и столбцов.

Для того чтобы вычислить ранг матрицы по определению, необходимо выделить какую-либо невырожденную подматрицу второго порядка, затем путем перебора найти невырожденную подматрицу третьего порядка. Если таковых не окажется, значит, ранг равен 2, если таковые существуют, процесс продолжается до тех пор, пока не найдется невырожденная подматрица порядка m.

13

Замечания

1.Ранг матрицы не может превосходить наименьший размер прямоугольной матрицы. То есть если m < n, то rang(A) ≤ m.

2.Ранг нулевой матрицы равен нулю.

Теорема о равенстве рангов эквивалентных матриц

Ранги эквивалентных матриц равны. То есть элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Линейная зависимость строк матрицы

Строки матрицы а1i, а2i, аki называются линейно зависимыми, если существуют числа, не все равные нулю (как говорят, нетривиальный набор чисел), для которых линейная комбинация равна нулевой строке:

λ1а1i + λ2а2i +…+ λkаki = (0,0,…0).

В противном случае строки называются линейно независимыми.

Напомню, что если строки линейно зависимы, то хотя бы одна из них есть линейная комбинация остальных.

Теорема о связи ранга матрицы и числа линейно независимых строк

Теорема (без доказательства). Ранг матрицы равен наибольшему числу

еелинейно независимых строк.

Вэтой теореме и заключается весь смысл понятия ранга матрицы. Если определитель – это индикативная характеристика матрицы (строки линейно независимы или хотя бы одна является тавтологией?), то ранг – характеристика уже количественная (а сколько же строк являются линейно независимыми?)

Вычисление ранга матрицы

Метод элементарных преобразований. Поскольку элементарные преоб-

разования не изменяют ранг матрицы, то можно привести матрицу к такому виду, чтобы слева была треугольная матрица. Нулевые строки и столбцы при этом можно удалять. Ранг матрицы будет равен числу ненулевых строк.

Пример. Вычислить ранг матрицы.

14

ЛЕКЦИЯ 4

Системы линейных уравнений

Системой линейных уравнений (СЛУ) называется система вида

b2,… bm – свободные члены. Система называется линейной, т. к. переменные входят во все уравнения в первой степени.

Решение системы линейных уравнений (СЛУ)

Совокупность чисел λ1 ,λ2, … λn называется решением системы, если при подстановке x1 = λ1 , x2 = λ2, … xn = λn каждое уравнение превращается в тождество.

Классификация СЛУ

Следует иметь в виду, что СЛУ может быть:

─однородной, если bi = 0 для всех i;

─неоднородной, если bi ≠ 0 хотя бы для одного i;

─совместной, если существует хотя бы одно решение системы;

─несовместной, если не существует ни одного решения;

─определенной, если решение системы единственно;

─неопределенной, если решений бесконечно много.

Замечание. О форме записи. СЛУ можно записать в матричном виде, а именно: Ах = b, где А = ||аij|| – матрица коэффициентов системы, х – столбец переменных, b – столбец свободных членов.

Метод Крамера решения СЛУ

Дана система n уравнений с n неизвестными. Ах = b, причем матрица А – квадратная и не вырожденная. Тогда решение системы находится по формулам:

определитель матрицы, полученной замены в Аj-го столбца на столбец свободных членов.

Метод нахождения решений, описанный выше, называется методом Крамера, а формулы, соответственно, называются формулами Крамера.

15

Замечание. Если detA ≠ 0, то решение существует и единственно. В противном случае решений либо нет, либо их бесконечно много (метод Крамера не применим).

Соответственно, x = ─1, y = 0, z = 1.

Можно записать решение системы в виде вектора (─1;0;1).

Равносильные системы

Равносильными называются системы, имеющие одно и то же решение. Следующие элементарные преобразования над уравнениями позволяют получить равносильную систему:

1)любая перестановка уравнений;

2)умножение любого уравнения на число, отличное от нуля;

3)прибавление к любому уравнению любого другого, умноженного на любое число.

Метод Гаусса решения СЛУ

Дана система m уравнений с n неизвестными:

Об обозначениях. Систему записывают в виде Ах = b, где А – матрица коэффициентов, x – столбец переменных (который нужно найти), b – столбец свободных членов. Также систему записывают в виде расширенной матрицы А|b.

16

Немного о смысле. А что означает решить систему линейных уравнений? Предположим, что все уравнения линейно независимы, т. е. ни одно из них не есть линейная комбинация остальных (тавтология отсутствует, в про-

тивном случае часть уравнений будет просто исключена). Рассмотрим несколько случаев.

1. Если система несовместна (внутри системы есть противоречие), указать, что решений нет, например:

2.Если число уравнений совпадает с числом неизвестных, и внутри системы нет противоречий, то решением будет набор чисел. Указать этот набор и значит решить.

3.Если переменных больше, чем уравнений, и внутри системы нет противоречий, то решить систему означает указать связи между переменными.

Пример. Одно уравнение – два неизвестных. Возможно, кто-то помнит, что это уравнение прямой на плоскости x + y = 1. Его решением, в частности, будет x = 1 – y. Смысл следующий. X = 1 – y, при этом y – любое число. Решений бесконечно много? Да. Точек на прямой тоже бесконечно много. Значит ли это, что решение бессмысленно? Отнюдь нет. Грубо говоря, на плоскости точек во много раз больше, чем на прямой. Вы показываете, что решением является не произвольный набор чисел, а набор, ограниченный определенными связями. То есть в данном случае выделяете на плоскости прямую, которая является решением.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных.

Если матрица А – квадратная и невырожденная, то в результате элементарных преобразований на ее месте получится треугольная матрица. В результате обратного прогона определяются все переменные.

Если же на месте матрицы А получится квазитреугольная матрица, т. е. прямоугольная матрица, которая содержит треугольную подматрицу, то для нахождения решения одни переменные (связанные) нужно выразить через другие (свободные).

Замечание. В матэкономике эти переменные называются иначе. Одна из основных задач теории оптимизации – определить, какие переменные из всех возможных следует обратить в ноль.

Если система несовместна, то в результате приведения матрицы к квазитреугольному виду получите классическое противоречие вида 0 = 1.

17

Выводы

1.Метод Гаусса универсален, т. е. он охватывает все возможные случаи, включая выяснение совместности системы и нахождения решений неопределенной системы.

2.Метод Гаусса экономичен. Количество операций ~ кубу от числа урав-

нений.

Пример 1. Решение существует и единственно.

Обратный прогон. x3 = 1, 10х2 + х3 = 1, →х2 = 0, 2х1 – 4 × 0 + 3 × 1 = 1 →х1 =–1; (−1,0,1) – ответ.

х1, х2 – связанные переменные, х3 – свободная.

3х2 = 10 + х3 → х2 = 10/3 + х3/3;

х1 = 4 – х3 – х2 → x1 = 4 – х3 – 10/3 – x3/3 = 2/3 –4x3/3.

= −

– ответ.

=+

18

ЛЕКЦИЯ 5

Исследование СЛУ

Пояснение. Зачастую находить решение СЛУ не нужно. Нужно лишь дать ответ два вопроса:

1.Существует ли решение (совместна ли система)?

2.Единственно ли решение (система определенная или нет)? Исследовать СЛУ – это значит дать ответ на эти два вопроса. Ответы на них дает теорема Кронекера–Капелли.

Теорема Кронекера–Капелли

Дана СЛУ Ах = b, где А – матрица размерности m× n. А|b – расширенная матрица системы.

Теорема (без доказательства). Для того, чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы rang(A) = rang(A|b).

Сокращенная форма записи. СЛУ совместна ↔ rang(A) = rang(A|b).

Следствие. Если rang(A) < rang(A|b), то система несовместна.

Исследование однородной СЛУ

Если система имеет вид: Ах = 0, где 0 – нулевой столбец (т. е. все свободные члены равны нулю), то такая система называется однородной.

Свойства однородных систем

1.Однородная система всегда совместна, так как rang(A0) = rang(A). Она всегда имеет тривиальное решение, т. е. х = 0, т. е. все переменные равны нулю.

2.Для того чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо, чтобы ранг матрицы А был меньше числа неизвестных, т. е. rang(A) < n.

3.Если матрица А – квадратная (т. е. число неизвестных совпадает с числом уравнений), то для существования нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы det(A) = 0.

Матричные уравнения

АХ = В, где А, В – известные матрицы, Х – неизвестная матрица.

Для решения уравнения умножим обе части слева на матрицу, обратную кА. A-1AX = A-1B → EX = A-1B → X = A-1B.

Аналогично решаются уравнения вида AXB = C, где А, В, С – известные матрицы, Х – неизвестная.

AXB=C→A-1AXBB-1= A-1CB-1→ X= A-1CB-1.

19

Вектор

Существует достаточно много определений того, что же такое вектор. Первое из них, с которым вы наверняка сталкивались в школе, геометрическое определение.

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок, т. е. такой, в котором указано, какая из точек является началом, какая концом.

Не лучшее определение, ибо геометрия – лишь одно из приложений этого понятия. Скорость, например, или вектор электромагнитной индукции совсем не являются отрезками. В связи с этим можем вспомнить, что вектор-строка, либо вектор-столбец – частный случай матрицы.

Определение 2. Вектором называется упорядоченный набор чисел. Количество этих чисел есть размерность пространства, а сами числа называются координатами.

Определение хорошее, но неполное.

Математики обычно в качестве формального определения вектора приводят достаточно большое количество аксиом, смысл которых трудно понять. Попробую вычленить из этих аксиом главное.

Вектор не просто упорядоченный набор чисел. Этот набор не зависит от выбора системы координат. Это значит, что при изменении системы координат координаты вектора преобразуются строго определенным образом. Именно по этой причине (независимости от координатного базиса) векторы используются для описания физических величин. Это логично, ибо если бы объект (вектор) зависел бы от системы координат, то мы бы сильно рисковали перепутать моделирование объективной реальности с моделированием абстрактной координатной системы.

Обозначения: а, a, AB.

Вы спросите, а каким именно строго определенным образом преобразуются координаты вектора при изменении системы координат? Ответ на этот вопрос будет дан ниже (лекция 7).

Частные случаи.

Нулевой вектор – это вектор, модуль которого равен нулю. Обозначается как 0.

Замечание. Направление нулевого вектора не определено. Единичный вектор – вектор, модуль которого равен единице.

Векторные и скалярные величины

Величину, которую можно описать числом, называют скалярной. Например, температура, масса, плотность. Величины, которые зависят не только от числа (модуль), но и от направления, описывают с помощью векторов. Соответственно, такие величины называются векторными.

Примеры. Скорость, сила. Если величина зависит не только от числа, но и от нескольких направлений, то она описывается с помощью тензора.

20