Шведенко Начала математического анализа 2011

161

eSLI OGRANI^ITXSQ LI[X DEJSTWITELXNYMI ZNA^ENIQ- MI x (T. E. RASSMATRIWATX \KSPONENCIALXNU@ FUNKCI@ NA DEJSTWITELXNOJ OSI), TO K UVE PERE^ISLENNYM SWOJSTWAM NADLEVIT DOBAWITX SLEDU@]IE:

A exp x exp(;x) = exp 0 = 1, FUNKCIQ y = exp x W TO^KAH DEJSTWITELXNOJ OSI PRINIMAET LI[X POLOVITELXNYE ZNA- ^ENIQ, I ESLI x1 < x2 , TO

exp x2 = exp(x2 ;x1 +x1) = exp(x2 ;x1) exp x1 > exp x1,

STWO) RASPROSTRANITX OPREDELENIE \KSPONENCIALXNOJ FUNKCII NA WS@

RAS[IRENNU@ SISTEMU DEJSTWITELXNYH ^ISEL (SM. S. 43), POLAGAQ PO

FUNKCIQ y = '(t) IMEET W (KONE^NOJ ILI BESKONE^NOJ) TO^KE KONE^- NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL.

162

^TO DOKAZYWAET WOZRASTANIE FUNKCII y = exp x NA DEJST-

WITELXNOJ OSI. w SILU KRITERIQ NEPRERYWNOSTI MONOTONNOJ FUNKCII MNOVESTWO ZNA^ENIJ \TOJ FUNKCII ESTX PROME-

VUTOK, A TAK KAK \TOT PROMEVUTOK SODERVIT LI[X POLO-

VITELXNYE ^ISLA, W TOM ^ISLE (SWOJSTWO 4 ) SKOLX UGODNO BOLX[IE I SKOLX UGODNO BLIZKIE K NUL@, \TIM PROMEVUT-

KOM QWLQETSQ (0 +1). Q.E.D.

w SO^ETANII S TEOREMOJ OB OBRATNOJ FUNKCII TOLXKO ^TO DOKAZANNOE SWOJSTWO \KSPONENCIALXNOJ FUNKCII POZWOLQET SDELATX SLEDU@]IJ WAVNYJ WYWOD:

fUNKCIQ y = exp x, RASSMATRIWAEMAQ NA DEJSTWITELX- NOJ OSI, IMEET OBRATNU@ FUNKCI@, OPREDELENNU@ NA PRO- MEVUTKE (0 +1) I QWLQ@]U@SQ NA NEM NEPRERYWNOJ I

WOZRASTA@]EJ. |TU FUNKCI@ NAZYWA@T LOGARIFMI^ESKOJ

(LOGARIFMOM1) I OBOZNA^A@T x = ln y TAKIM OBRAZOM: ln(exp x) = x DLQ WSEH x 2R exp(ln y) = y DLQ WSEH y >0 .

oPERIRUQ OSNOWNYM TOVDESTWOM DLQ \KSPONENTY (SWOJ-

STWO 1 ), MOVNO WYWESTI PRIWY^NYE SWOJSTWA LOGARIFMA:

ln a+ln b = ln exp(ln a+ln b) = ln exp(ln a) exp(ln b) = ln(ab) 0 = ln1= ln 1 b = ln1 + ln b ln a = ln a b = lna + ln b. Q.E.D.

lOGARIFMY I SAMO \TO SLOWO (GRE^. o o& o&

NO[ENIQ) WWEL W OBIHOD [OTLADSKIJ BARON nEPER (Neper ILI Napier, John, Laird of Merchiston, 1550{1617) W IZDANNOM W 1614 G. \oPISANII UDIWITELXNYH TABLIC LOGARIFMOW" (\Miri ci Logarithmorum Canonis descriptio"). o nEPERE I EGO LOGARIFMAH (A ONI OTLI^ALISX OT NYNE[- NIH I RAWNQLISX 107 ln(107x;1)) MOVNO PO^ITATX W [6] I [23].

163

dLQ DOKAZATELXSTWA DOSTATO^NO WZQTX W \TIH FORMULAH

d = ec, = e;c I PRIMENITX WOZRASTANIE FUNKCII y = ln x.

dOKAZATELXSTWO. uDOBNO PRIMENITX KRITERII (\KWIWA-

LENTNYE OPREDELENIQ) PREDELA I NEPRERYWNOSTI FUNKCII W

^ENIJ \TOJ FUNKCII BUDET SHODITXSQ K ln 1 = ln(exp 0) = 0,

PRI \TOM WSE ^ISLA yn = ln(1+ xn) BUDUT OTLI^NY OT NULQ. w SILU OSNOWNOGO PREDELA DLQ \KSPONENTY (SWOJSTWO 3 ) PO-

165

dLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA a I L@BYH DEJSTWI-

TELXNYH ^ISEL a b SPRAWEDLIWY RAWENSTWA:

pOLXZUQSX OPREDELENIEM STEPENI, SWOJSTWOM NEPRERYW-

NOSTI \KSPONENTY1 I OSNOWNYM PREDELOM DLQ LOGARIFMA

(SM. S. 163), MOVNO POLU^ITX PREDELXNOE SOOTNO[ENIE

166

sTEPENNAQ FUNKCIQ

dOKAZATELXSTWO. nEPRERYWNOSTX FUNKCII y = x NA PRO-

MEVUTKE (0 +1) ESTX PRQMOE SLEDSTWIE NEPRERYWNOSTI NA \TOM PROMEVUTKE LOGARIFMA (SM. S. 162) I SWOJSTWA PERE-

STANOWO^NOSTI SIMWOLOW NEPRERYWNOJ FUNKCII (W DANNOM SLU^AE \KSPONENTY) I PREDELA: KAKOWA BY NI BYLA TO^KA

eSLI 0 < x1 < x2 , TO (W SILU WOZRASTANIQ LOGARIFMA)

ln x1 < ln x2 , ESLI >0, I ln x1 > ln x2 , ESLI < 0, TAK

L@BOM 6= 0)IMEET MNOVESTWOM ZNA^ENIJ NA PROMEVUTKE \TOT VE PROMEVUTOK, A POSKOLXKU DLQ L@BOGO x >0 (x )1 = exp;1 ln;exp( ln x) = exp(lnx) = x,

FUNKCIQ x = y 1 SLUVIT OBRATNOJ PO OTNO[ENI@ K y = x .

1 a IMENNO: WOZRASTA@]EJ, ESLI >0, I UBYWA@]EJ, ESLI <0.

168

pOKAZATELXNAQ FUNKCIQ I OBRATNAQ K NEJ

pRI FIKSIROWANNOM a > 0 a 6=,1POKAZATELXNAQ FUNKCIQ y = ax QWLQETSQ NEPRERYWNOJ I STROGO MONOTONNOJ1 NA DEJSTWITELXNOJ OSI I IMEET MNOVESTWOM ZNA^ENIJ PRO- MEVUTOK (0 +1) OBRATNOJ PO OTNO[ENI@ K NEJ (NA \TOM PROMEVUTKE) SLUVIT FUNKCIQ, OBOZNA^AEMAQ x = loga y I NAZYWAEMAQ LOGARIFMOM PO OSNOWANI@ a.

x def

dOKAZATELXSTWO. tO, ^TO FUNKCIQ y = a = exp(x ln a) NA

DEJSTWITELXNOJ OSI QWLQETSQ NEPRERYWNOJ, STROGO MONO-

TONNOJ2, IMEET MNOVESTWOM ZNA^ENIJ PROMEVUTOK (0 +1),

I NA \TOM PROMEVUTKE OPREDELENA OBRATNAQ K NEJ FUNKCIQ,

TAKVE QWLQ@]AQSQ NEPRERYWNOJ I STROGO MONOTONNOJ, NA-

PRQMU@ WYTEKAET IZ TOGO, ^TO \TIMI SWOJSTWAMI OBLADAET

\KSPONENCIALXNAQ FUNKCIQ, I TEOREMY OB OBRATNOJ FUNK-

CII. dOPOLNITELXNO SLEDUET LI[X UKAZATX NA SWQZX MEV- DU LOGARIFMAMI loga I ln. pO OPREDELENI@ loga ax = x DLQ L@BOGO DEJSTWITELXNOGO ^ISLA x. pOLAGAQ ax = y, MOV- NO ZAKL@^ITX, ^TO y = aloga y DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA y. iZ POSLEDNEGO RAWENSTWA, W SWO@ O^EREDX, SLEDU-

1 a IMENNO: WOZRASTA@]EJ, ESLI a >1, I UBYWA@]EJ, ESLI a < 1.

2 wOZRASTA@]EJ PRI a >1 (KOGDA ln a >0), I UBYWA@]EJ, ESLI a < 1 (KOGDA ln a <0).

169

wOT RAS[IFROWKA \TOJ CEPO^KI RAWENSTW.

pUSTX fxng | L@BAQ SHODQ]AQSQ K NUL@ POSLEDOWATELX- NOSTX DEJSTWITELXNYH ^ISEL, OTLI^NYH OT NULQ. tAK KAK

OPREDELENIQ) PREDELA FUNKCII \^EREZ POSLEDOWATELXNOSTI"

POZWOLQET ZAKL@^ITX: SU]ESTWUET lim ax;1 = ln a. Q.E.D.

x!0 x

dOKAZANNYM PREDELXNYM SOOTNO[ENIEM ZAWER[AETSQ sPISOK OSNOWNYH PREDELOW DLQ \LEMENTARNYH1 FUNKCIJ:

1 k \LEMENTARNYM PRINQTO OTNOSITX TE FUNKCII (DEJSTWITELXNOJ

I KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ), KOTORYE MOVNO WYRAZITX ^EREZ PEREMENNU@ I KONSTANTY, PROIZWODQ KONE^NOE ^ISLO DEJSTWIJ SLOVENIQ, WY-

^ITANIQ, UMNOVENIQ, DELENIQ, WZQTIQ \KSPONENTY I LOGARIFMA (SM. [4], S. 7).

170

III.11. kAK OPERIRU@T SIMWOLAMI o I O I PONQTIEM \KWIWALENTNOSTI FUNKCIJ

nA PERWYH STRANICAH WTOROGO TOMA \lEKCIJ PO TEORII ^ISEL" [45] (1927 G.) NEMECKIJ MATEMATIK |. lANDAU (Landau Edmund, 1877{1938) WWEL SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ, STAW[IE

jf(x)j6h DLQ NEKOTOROGO ^ISLA h > 0 I WSEH x IZ NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0

^ENNYM W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 .

1 ~ITAETSQ: \f(x) ESTX o MALOE OT EDINICY PRI STREMLENII x K x0".

2t. E. FUNKCIQ y = f(x) STANOWITSQ BESKONE^NO MALOJ, KOGDA TO^KA x STREMITSQ K TO^KE x0 . tO^KA x0 MOVET BYTX KAK KONE^NOJ, TAK I BESKONE^NOJ, A STREMLENIE x K NEJ | STREMLENIEM SPRAWA ILI SLEWA

K x0".