Красавин Компютерныы практикум в среде МатЛаб 2015

axis([1.5 6.5 62 73])

set(gca, 'LineWidth',1)

set(gca, 'FontName', 'Trebuchet MS') set(gca, 'FontSize', 8)

set(gca, 'FontWeight', 'bold')

Рис. 13.1. Фитирование данных многочленами различной степени

В примере 13.4 рассматривается фитирование данных по численности населения США в различные годы (рис. 13.2).

Пример 13.4.

load census % загрузка данных о численности населения США в различные годы; этот файл поставляется вместе с MatLab

%pop - значения численности начеления,

%cdate - сетка по годам

[p,ErrorEst] = polyfit(cdate,pop,2); % аппроксимация данных многочленом второго порядка

%p – коэффициенты полинома

%ErrorEst - невязка аппроксимации (погрешность)

%вычисление аппроксимированных данных по полученной зависимости

151

[pop_fit,delta] = polyval(p,cdate,ErrorEst);

%pop_fit - аппроксимированные данные

%delta – погрешность

%построение графика численности населения США в различные годы figure

plot(cdate,pop,'d','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','b') hold on

plot(cdate,pop_fit,'g-','LineWidth',2) plot(cdate,pop_fit+3*delta,'r:','LineWidth',2) plot(cdate,pop_fit-3*delta,'r:','LineWidth',2)

xlabel('Годы', 'FontName', 'Trebuchet MS', 'FontSize', 8, 'FontWeight', 'bold');

ylabel('Население (миллионов)', 'FontName', 'Trebuchet MS', 'FontSize', 8,'FontWeight', 'bold');

grid on

legend({'Данные','Фитинг','Погрешность}, 'Location', 'NorthWest') set(gca, 'LineWidth',1)

set(gca, 'FontName', 'Trebuchet MS') set(gca, 'FontSize', 8)

set(gca, 'FontWeight', 'bold')

Рис. 13.2. Фитирование данных численности населения США

152

13.2. Аппроксимация методом наименьших квадратов

Пример 13.5 иллюстрирует использование функции lsqcurvefit для фитирования имеющегося массива данных суммой двух экспонент (рис. 13.3).

Пример 13.5.

% исходные данные

Data = ...

t = Data(:,1); % первый столбец данных y = Data(:,2); % второй столбец данных

153

%построение графика зависимости y от t figure

axis([0 2 -0.5 6]) hold on

plot(t,y,'r.','MarkerSize',20)

%Поиск решения с помощью метода наименьших квадратов в виде

%y = c(1)*exp(-lambda(1)*t) + c(2)*exp(-lambda(2)*t), где

%x(1) = c(1)

%x(2) = lambda(1)

%x(3) = c(2)

%x(4) = lambda(2)

%Задаем вид искомой зависимости в форме анонимной функции

F = @(x,xdata)x(1)*exp(-x(2)*xdata) + x(3)*exp(-x(4)*xdata);

x0 = [1 1 1 1]; % начальные значения c(1), lambda(1), c(2) и lambda(2)

x = lsqcurvefit(F,x0,t,y) % метод наименьших квадратов

% построение графика полученной зависимости plot(t,F(x,t),'LineWidth',2)

hold off

set(gca, 'LineWidth',1)

set(gca, 'FontName', 'Trebuchet MS') set(gca, 'FontSize', 8)

set(gca, 'FontWeight', 'bold')

Рис. 13.3. Фитирование данных суммой двух экспонент

154

x =

3.0069 10.5864 2.8890 1.4003

13.3. Сплайны

Сплайном называется кусочно-полиномиальная функция,

используются в задаче интерполяции табличных значений функции. На каждом из отрезков между заданными точками координат значения функции интерполируются многочленами определенной степени, которые сшиваются на границах отрезков. В MatLab интерполяция сплайнами (рис. 13.4) осуществляется при помощи функции interp1. В примере 13.6

v = sin(x); % вычисление значений синуса на заданной сетке по x xq = 0 : pi/16 : 2*pi; % сетка интерполяции

vq1 = interp1(x,v,xq,'nearest'); % приближение по соседним элементам

vq2 = interp1(x,v,xq); % линейная интерполяция

vq3 = interp1(x,v,xq,'spline'); % интерполяция кубическими сплайнами

vq4 = interp1(x,v,xq,'pchip'); % интерполяция кубическими эрмитовыми сплайнами

% построение результатов интерполяции figure

plot(xq,sin(xq),'Color',[0.1 0.7 1],'LineWidth',2.5) hold on

plot(xq,vq1,'r--','LineWidth',2.5); plot(xq,vq2,'Color',[0.5 0.1 1],'LineWidth',2.5); plot(xq,vq3,'Color','k','LineWidth',2.5); plot(xq,vq4,'Color',[1 0.5 0.1],'LineWidth',2.5); plot(x,v,'o')

axis([0 2*pi -1.1 1.1])

155

box on grid on

legend({'Original','Nearest','Linear','Spline','Pchip'})

set(gca, 'LineWidth',1)

set(gca, 'FontName', 'Trebuchet MS') set(gca, 'FontSize', 8)

set(gca, 'FontWeight', 'bold')

Рис. 13.4. Интерполяция сплайнами

156

14

Частица в потенциальной яме.

Численное решение уравнения Шредингера

14.1. Уравнение Шредингера

Рассмотрим квантово-механическую задачу о движении частицы в потенциальном поле. Квадрат модуля волновой функции |ψ , | для такой системы определяет плотность вероятности обнаружить частицу в момент времени в точке пространства с радиусом-вектором . Временная эволюция функции ψ ,

описывается нестационарным уравнением Шредингера

Для независящего от времени потенциала решения нестационарного уравнения Шредингера можно искать в виде

Частица, находящаяся в состоянии, описываемом волновой функцией ψ , , имеет конкретное значение энергии . Подставив ψ , в первое уравнение, получаем стационарное уравнение Шредингера:

2∆

или

,

157

где

2∆

оператор энергии (гамильтониан) системы.

(вырожденные состояния), рис. 14.1. Состояние с наименьшей энергией называется основным состоянием системы. Общее решение уравнения Шредингера можно представить в виде суперпозиции собственных функций гамильтониана:

ψ.

Здесь символ ∑ означает суммирование по всем дискретным состояниям и интегрирование по состояниям непрерывного спектра.

Рис. 14.1. Классификация собственных значений оператора энергии

158

14.2. Бесконечная потенциальная яма

Рассмотрим задачу о частице в одномерной потенциальной яме шириной с бесконечно высокими стенками (рис. 14.2).

Рис. 14.2. Бесконечная одномерная потенциальная яма

Гамильтониан этой системы имеет вид

2,

Шредингера, получаем:

159

Выберем в качестве ортонормированного базиса систему

Ψможет быть разложена по базисным функциям Φ:

ΨΦ ,

где коэффициенты разложения будут получены далее в расчете, а оператор энергии действует на базисные функции следующим образом: