Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

Скорость генерации нейтронов [нейтр./см3 с] – число нейтро-

нов, появляющихся (рождаемых) в единицу времени в единичном объеме 1 см3 – можно записать как функцию S(r ,t) .

Скорость поглощения [нейтр./см3 с] – число нейтронов, поглощаемых в единицу времени в единичном объеме 1 см3 среды – можно записать в виде Σa (r )Ф(rG,t) .

Скорость утечки описывается выражением (3.18) или (3.19). Подставляя в условие баланса нейтронов (3.20) выражения для скоростей генерации S(r,t) , поглощения Σa (r )Ф(rG,t) и утечки

нейтронов (3.19), получим уравнение диффузии нейтронов для сре-

ды, свойства которой изменяются плавно

∂n(∂rGt,t) = ∂Фυ(∂rGt,t) = S(rG,t) −Σa (rG)Ф(rG,t) + D(rG) 2Ф(rG,t). (3.21)

При скачкообразном (резком) изменении свойств, например, на границах сред, необходимо для каждой среды записывать это уравнение с соответствующими граничными условиями. Для однородной среды, свойства которой не зависят от координат

Уравнение диффузии для стационарной задачи (нет переменной

3.2. Граничные и прочие условия для нахождения решения уравнения диффузии для элементарных геометрий

Нейтроны различных энергий распределены в активной зоне ЯР по-разному. БН деления рождаются в топливе и за счет большой скорости и малого сечения поглощения для них быстро покидают топливную таблетку и попадают в замедлитель. Там они теряют энергию в результате столкновения с замедлителя и становятся сначала промежуточными, а потом ТН). Таким образом, БН рождаются в топливе, а перестают быть БН, становятся ТН, в замедлителе. Поэтому БН больше всего в топливе, а в замедлителе их поток быстро уменьшается. Промежуточные нейтроны рождаются в замедлителе (при замедлении БН) и, в конечном итоге, большая их

61

часть там и превращается в ТН. Те промежуточные нейтроны, которые попали в топливо, в большинстве своем, поглощаются ура- ном-238 в области резонансных энергий. Сечение резонансов достаточно велико, поэтому в центр таблетки промежуточные нейтроны практически не попадают, поглощаясь в периферийных слоях (там и происходит накопление вторичного ядерного топлива – плутония). Таким образом, промежуточные нейтроны сконцентрированы, в основном, в замедлителе.

Замедленные до тепловых энергий нейтроны из замедлителя путем диффузии попадают внутрь топливной таблетки и там вызывают деление урана-235 и плутония. Сечение деления урана-235 ТН достаточно большое (около 640 б), поэтому поток ТН в центре таблетки меньше, чем на ее периферии. До центра топливной таблетки доходит уменьшающееся количество ТН, так как подавляющее большинство актов деления происходит вначале на периферии.

Таким образом, поток ТН имеет максимумы в замедлителе и минимумы в центре топливных таблеток. Этим объясняется характерный всплеск энерговыделения в периферийных рядах твэлов ТВС – объем замедлителя между ТВС больше, чем между твэлами внутри ТВС и там поток ТН больше. Поток ТН чувствителен к наличию поглотителей – чем больше поглотителя в области пространства, тем меньше поток ТН.

Плотность потока нейтронов напрямую определяет число делений и, следовательно, энерговыделение в каждой области активной зоны ЯР. Для Gуправления ЯР необходимо знать плотность потока нейтронов Ф(r ,t) как функцию координат и времени, удовлетво-

ряющую, в простейшем случае, диффузионному приближению моноэнергетических нейтронов. Эта функция однозначно определяется из ряда дополнительных (начальных и граничных) условий, которым она должна удовлетворять по физическому смыслу в каждой конкретной задаче теории диффузии нейтронов:

1)условие на выпуклой границе среды с вакуумом для конечных или полубесконечных сред;

2)условия на границе раздела сред с различными физическими свойствами;

3)условие в окрестности внешних локализованных источников;

4)условие ограниченности и неотрицательности нейтронного потока;

62

5)начальные условия в нестационарных задачах (где есть зависимость от времени по переменной t);

6)условия, определяемые геометрическими особенностями решаемой задачи.

Рассмотрим перечисленные условия подробнее.

Условие на выпуклой границе среды с вакуумом. Диффузи-

онное приближение плохо описывает распределение плотности потока нейтронов в окрестностях границы среды с вакуумом, так как на границе резко меняются свойства сред. Строгая формулировка граничных условий в этом случае возможно лишь при решении газокинетического уравнения Больцмана методами теории переноса.

Врамках диффузионного приближения можно задать граничные условия, при которых решение уравнения диффузии не будет приводить к существенным отклонениям от действительности.

Выпуклой называют такую границу среды с вакуумом (рис. 13, а), пересечение которой нейтроном по всем направлениям не приво-

дит к возврату нейтрона обратно в среду при условии, что он движется все время прямолинейно.

Это можно сформулировать так: нейтрон, вылетевший в вакуум обратно не возвращается (воздух для нейтронов также считается

вакуумом). В связи с этим, односторонний ток нейтронов из вакуума в среду равен нулю. Обозначая через r0 вектор, определяющий

положение пространственных точек выпуклой границы среды с вакуумом, можно записать в общем случае согласно (3.10)

Условие (3.24) справедливо для «голого» реактора – реактора без отражателя. Введем параметр – длину линейной экстраполяции

δ = 2λ3tr = (3Σ2tr ) .

Тогда (3.24) можно записать в виде

Ф(Gr0 ,t) = −1 . (3.25) Ф(r0 ,t) δ

63

Из решения газокинетического уравнения Больцмана для сред слабо поглощающих нейтроны следует, что δ = rэ − r0 = 0,71λtr .

Убывающую функцию в случае скачкообразного изменения в какой-либо точке можно экстраполировать к нулю непрерывным образом. В пограничном слое в силу утечки части нейтронов в вакуум (пустота и воздух не отражают нейтроны) уже на расстоянии, равном транспортной длине, происходит нарушение изотропии диффузии. Применять уравнение диффузии в малой приграничной области нельзя. Точный переход диффузионного потока в направленный поток за пределами тела (активной зоны) дает только решение кинетического уравнения Больцмана. Поэтому распределение плотности потока нейтронов из тех внутренних областей, где справедлива теория диффузии, экстраполируется за пределы тела r0 линейно.

Рассмотрим одномерный случай или случай сферической симметрии. Зададим линейную (экстраполируем линейно) зависимость плотности потока нейтронов на границе среды с вакуумом в вакуум

(рис. 14)

Рис. 14. Экстраполированная

Точка, в которой происходит обраще-

граница: δ = rэ − r0 ние экстраполированного потока в нуль, принимается за условную границу тела

откуда

const2 / const1 = (δ+ r0 ) .

С учетом (3.28)

const2 / const1 = −(δ+ r0 ) = −rэ δ = rэ −r0 . (3.29)

64

Отсюда становится ясен смысл параметра δ – это расстояние от реальной границы тела (среды), на котором происходит обращение

Формулу (3.30) называют условием для плотности потока нейтронов на экстраполированной границе среды с вакуумом.

Иногда условие (3.30) с учетом выражения (3.25) записывают в

I. Условия сшивки решений уравнения диффузии на границе раздела сред с различными нейтронно-физическими свойст-

вами. Если рассматриваемая активная зона (тело) состоит из нескольких сред, то для простоты считают, что свойства сред не зависят от координат внутри этих сред, а изменяются лишь на их границах – макросечения реакций в данном случае являются ку- сочно-постоянными функциями координат, терпящими разрыв на границе сред r0. Количество нейтронов, вылетающих в единицу времени из одной среды должно равняться количеству нейтронов, влетающих в единицу времени в другую среду, и наоборот (равен-

где Di (i = 1, 2) – коэффициенты диффузии соответствующих сред. По сути, (3.31), (3.32) – требования непрерывности плотности потока нейтронов и проекций на нормаль к границе раздела плотности тока нейтронов при переходе границы раздела сред.

II. Условие локализованных источников. Пусть в не размно-

жающей нейтроны среде в точке r0 расположен точечный источник

моноэнергетических нейтронов с постоянной во времени (стационарной) мощностью S. Нейтронное поле, создаваемое этим источником, также будет стационарным – не зависящим от времени. Выделим в окрестности источника сферу радиуса R площадью поверхности SR и объемом VR. Если в уравнении диффузии вида (3.23) представить скорость утечки в единице объема в виде (3.19)

65

Это условие следует понимать как равенство числа испускаемых источником в единицу времени нейтронов числу нейтронов, утекающих сквозь поверхность элементарной сферы с источником

вцентре при ее радиусе, стремящемся к нулю.

III. Условие ограниченности и неотрицательности нейтрон-

ного потока. Согласно физическому смыслу нейтронный поток не может быть бесконечно большим и отрицательным, т.е.

IV. Начальные условия в нестационарных задачах. Для ре-

шения нестационарного уравнения, необходимо знать распределе-

V. Условия, определяемые геометрическими и физикохимическими особенностями решаемой задачи. Сложные задачи решаются достаточно просто аналитически, например, при наличии симметрии в системе, при разбиении сложной системы на части, при группировке составляющих сложных систем по схожести свойств, например, метод гомогенизации реакторной ячейки и т.д.

Часто из соображений симметрии нейтронного поля на функцию налагают условие экстремума в центре симметричного тела

Пусть дано тело, состоящее из нескольких однородных по свойствам областей (зон), свойства которых резко меняются лишь на границах. Пусть внешняя граница является выпуклой, а генерация нейтронов осуществляется только внешними источниками с посто-

66

янной мощностью. В этом случае нейтронное поле в теле будет стационарно и будет описываться стационарным уравнением диф-

фузии моноэнергетических нейтронов в форме (3.23):

S(r ) −ΣaФ(rG) + D Ф(rG) = 0.

Считая, что коэффициент диффузии D ≠ 0 , разделим обе части уравнения на D, тогда уравнение примет вид

Уравнение (3.37) называют стационарным уравнением диффу-

зии для неразмножающей среды. Если в среде возможно появление нейтронов деления, то в уравнении (3.23) добавляется слагаемое

генерации нейтронов за счет деления ядер среды

S(r ) +νf Σf Ф(rG) −ΣaФ(rG) + D Ф(rG) = 0 ,

где νf – число нейтронов деления при распаде одного ядра среды

(урана-235).

Преобразуя, получаем стационарное уравнение диффузии для размножающей среды

щаяся.

67

Здесь рассмотрим только общую методику решения уравнения (3.37). Общую аналогичную методику решения уравнения (3.37/) рассмотрим в последующих лекциях.

Решение полученного неоднородного уравнения (3.37) ищут как

а также любого частного решения неоднородного уравнения. Считая мощность источника S и коэффициент диффузии среды D постоянными в данной области, можно записать частное решение, удовлетворяющее уравнению (3.37)

Если считать поток константой, то производная от константы в (3.37) будет равна нулю, и выполнится условие

− L12 Ф(rG) + SD(r ) = 0 ,

превращающееся в (3.39). Добавку (3.39) будем добавлять далее к общему решению однородной части уравнения диффузии (3.37) для различных систем координат и случаев симметрии.

Оператор Лапласа в различных системах координат принимает

для полубесконечного цилиндра в случае отсутствия зависимости функций от угловых переменных

для сферы в случае отсутствия зависимости функций от угло-

Решение уравнения диффузии (3.37) в случае плоской геометрии (3.40) имеет вид

68

где константы здесь и далее находятся с помощью вышеперечисленных шести групп граничных и прочих условий.

В случае цилиндрической симметрии ((3.41), зависимость только от координаты r) решение уравнения диффузии (3.37) имеет вид

где I0(r/L) и K0(r/L) – модифицированные функции Бесселя 1-го и 2- го рода нулевого порядка (n = 0) соответственно.

В случае сферической симметрии ((3.42), зависимость только от координаты r) решение уравнения диффузии (3.37) имеет вид

Рассмотрим, например, общее решение однородного уравнения (3.38) для сферической симметрии с точечным источником нейтронов, расположенным в начале координат. Это – формула (3.45) без последнего слагаемого

Исходя из условия ограниченности нейтронного потока сonst2 = 0, так как в противном случае плотность потока нейтронов будет бесконечно большой. Константу сonst1 находят либо из равенства скоростей генерации и поглощения нейтронов, либо из условия локализованного источника.

Окружим источник сферой SR радиуса R. Число нейтронов, утекающих из этой сферы в окружающее пространство, определяется согласно условию локализованного источника (3.33). Площадь та-

кой сферы SR = v∫ dSR = 4πR2 . Так как в рассматриваемом случае

69

3.3. Характерные задачи стационарной теории диффузии моноэнергетических нейтронов

Задача 3.1. Пусть точечный источник нейтронов постоянной мощностью S находится в бесконечной однородной среде. Определить средний квадрат расстояния, которое проходит моноэнергетический нейтрон от точки генерации до точки поглощения ядрами среды.

Решение. Скорость поглощения – число нейтронов, поглощаемых ядрами среды в единицу времени в единице объема среды в

окрестности точки r – определяется выражением ΣaФ(r ) . Эта

функция характеризует распределение плотности вероятности поглощения нейтрона, испущенного источником, на расстоянии r от источника. Тогда квадрат среднего расстояния, проходимого от точки генерации до точки поглощения, будет равен

∫r exp(−r / L)dr

0

Из (3.48) следует, что квадрат длины диффузии моноэнергетического нейтрона в среде равен одной шестой среднего квадрата расстояния, проходимого в нейтроном в этой среде от точки рождения до точки поглощения

70