Баев Теория колебаниы 2015

непосредственно следуют три важных вывода о бетатронных колебаниях: во-первых, сразу получаем выведенные выше условия их устойчивости (3.3.2); во-вторых, усиление фокусировки в одном из двух направлений, например в вертикальном, приводит к ослаблению фокусирующей силы в другом направлении, радиальном; в- третьих, в линейном приближении вертикальные и радиальные бетатронные колебания независимы. В частности, последнее свойство бетатронных колебаний делает обоснованным их разделение по координатам и, что еще более важно, позволяет в ряде случаев анализировать эти колебания независимо друг от друга. Или еще можно сказать о последнем свойстве, что, как это уже отмечалось выше, в линейном приближении вертикальные и радиальные бетатронные колебания являются нормальными или главными колебаниями системы.

В математических моделях физических систем, как правило, в качестве независимой переменной используется не время, а координата, что очень удобно, так как позволяет связывать экспериментальные результаты с результатами, получаемыми из математических моделей.

Если в уравнениях бетатронных колебаний перейти от времени к

Найденные выше условия устойчивости бетатронных колебаний (3.3.2) можно представить в графическом виде, т.е. в виде диаграммы

представляющее уравнение окружности единичного радиуса. Физический смысл имеет ее четверть, размещающаяся в первом квадранте, как показано на рис. 3.3.2

ν

1

0

1 ν

Рис. 3.3.2. Диаграмма устойчивости бетатронных колебаний.

Если точка, изображающая частицу на плоскости (ν , ν , лежит на окружности единичного радиуса, то ее бетатронные колебания устойчивы, если же нет, то бетатронные колебания такой частицы

исключением, не является азимутально-симметричным и может иметь сложную пространственную структуру, для которой найденные выше условия устойчивости бетатронных колебаний непригодны. Чтобы иметь возможность найти эти условия, очевидно, сначала необходимо построить математическую модель бетатронных колебаний в магнитном поле с произвольной пространственной структурой. Для

обобщенным азимутом становится обычный азимут цилиндрической системы координат.

Условимся в дальнейшем, в тех случаях, когда излагаемое в одинаковой степени относится как к вертикальным, так и к радиальным бетатронным колебаниям, обозначать их единым символом y.

252

Можно показать [5], что в магнитном поле с произвольной пространственной структурой, в линейном приближении, уравнения бетатронных колебаний хотя и сохраняют вид выведенных выше

аналогичных уравнений для азимутально-симметричного магнитного поля

поля функция, отражающая эту структуру, должна «восстановиться», т.е. быть периодической и иметь тот же период, что и магнитное поле.

здесь T – период пространственной структуры магнитного поля. Уравнение (3.3.33) с условием (3.3.34) является уравнением Хилла,

которое, таким образом, описывает в линейном приближении бетатронные колебания заряженных частиц в произвольном магнитном поле.

В качестве примера приложения рассмотренных выше методов анализа уравнений Хилла найдем условия устойчивости бетатронных колебаний в кольцевом магните с прямолинейными промежутками, один из вариантов которого представлен на рис 3.3.3

Прежде чем перейти к решению задачи, отметить следующее. На самом начальном этапе исследований условий устойчивости бетатронных колебаний, когда они были получены только применительно к азимутально-симметричным магнитным полям, приходилось преодолевать очень большие технологические трудности.

253

θ

g

Рис. 3.3.3. Кольцевой магнит с прямолинейными промежутками

Они были связаны с необходимостью размещения в рабочей области такого вспомогательного оборудования, как система ввода заряженных частиц в ускоритель и система их вывода, ускоряющая система, датчики положения пучка и т. п. Проблема состояла в том, чтобы это оборудование не нарушало азимутальную симметрию магнитного поля, поскольку в противном случае, при нарушении симметрии, найденные для азимутально-симметричного магнитного поля условия устойчивости бетатронных колебаний в реальном искаженном поле перестают работать.

После получения условий устойчивости бетатронных колебаний в произвольных магнитных полях все эти проблемы автоматически отпали благодаря внесению в конструкцию магнита прямолинейных промежутков, которые позволяли размещать в них практически любое вспомогательное оборудование, не рискуя нарушить устойчивость бетатронных колебаний.

Перейдем теперь непосредственно к выводу условий устойчивости бетатронных колебаний в магните с прямолинейными промежутками, в котором бетатронные колебания описываются уравнением Хилла (3.3.33). Для этого предварительно аппроксимируем магнитное поле прямоугольной функцией, считая, что на равновесной орбите оно под

Матрица прямолинейного промежутка, длинной g , очевидно, имеет вид

из которой получаем условия устойчивости бетатронных колебаний применительно к рассматриваемой магнитной системе в следующем виде:

Распишем эти условия для каждого вида бетатронных колебаний отдельно. Условия устойчивости вертикальных бетатронных колебаний:

условия устойчивости радиальных бетатронных колебаний:

257

1 N cos √1 %θ 12 √1 % g sin √1 %θ N 1. 3.3.49

Поставленная задача решена, причем решена аналитически, а это самый сильный результат, поскольку в нем в виде аналитических выражений увязаны все параметры магнитной системы, что позволяет видеть, как изменение тех или иных параметров влияет на устойчивость бетатронных колебаний.

Найденные условия устойчивости можно представить графически, в виде диаграмм устойчивости, существенно облегчающих проектирование магнитной системы.

3.4. Уравнение огибающей пучка

Этот параграф также посвящен динамической оптике, и прежде, чем непосредственно перейти к изложению его предмета, отметим следующее. Задача описания динамики пучков заряженных частиц относятся к одним из самых сложных в теоретической физики, а именно: к задачам многих тел.

Математические модели динамики пучков можно разбить на две группы. Одна из них, примитивная, называемая методом отдельных частиц, состоит в том, что пучок аппроксимируется набором частиц, число которых в зависимости от характера решаемой задачи варьируется от нескольких десятков до нескольких тысяч, что означает необходимость получения от нескольких десятков до нескольких тысяч частных решений уравнения движения отдельной частицы. В совокупности все эти решения дают общее представление о движении пучка в целом и о таких его обобщенных характеристиках, как размеры, спектры, фазовые объемы и т.п.

Если учесть, что характеристики современных электрофизических установок определяются значениями большого числа их независимых параметров и что для каждого набора значений этих параметров в процессе проектирования установки необходимо всякий раз получать несколько десятков или даже несколько тысяч частных решений уравнения движения заряда в электромагнитном поле, то становятся очевидными чрезвычайная трудоемкость и низкая эффективность этого подхода.

258

Другой подход, которому и посвящен настоящий параграф, по существу следствие идей, изложенных выше. Суть его состоит в том, чтобы для обобщенных характеристик пучка, которые и являются его обобщенными координатами, вывести уравнения, аналогичные уравнениям Лагранжа или Гамильтона. Тогда частные решения таких уравнений сразу будут давать представление о поведении пучка в целом.

Ниже речь пойдет об одном из таких уравнений, которых сегодня известно несколько [19]. Это уравнение огибающей Владимирского Капчинского или ВК-уравнение, описывающего поведение границы пучка.

Запишем уравнение движения частицы относительно равновесной орбиты

3.4.1

где H отклонение частицы от равновесной орбиты, а 5 произвольная функция, описывающая силу, действующую на частицу в области равновесной орбиты.

Представим его общее решение в виде (2.2.43), тогда с помощью

Освобождаясь в выражениях (2.2.43) и (3.4.2) от тригонометрических функций, найдем один из интегралов уравнения

Положим (это приближение довольно часто используется в физике пучков), что границей фазового объема пучка служит эллипс и

момент времени совпал с границей фазового объема пучка, изображенного на рис. 3.4.1.

При этом оказывается [13], что интеграл уравнения движения (3.4.3) определяется длинами N и M полуосей эллипса, изображенного на рис. 3.4.1, которым аппроксимируется эмиттанс пучка

объема пучка, должно соответствовать полученное из начальных