УПП / Курс 2 / Семестр 3 / Математика / Лекции / Лекция 4. Дифференциальные уравнения первого порядка

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А.Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с .

Лекция

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решение. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Однородные и дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения

Задача 1. Найти все линии, для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная

12 a2 .

Решение:

Длина катета ВС равна y0 , а длина катета АВ равна разности абсцисс точек В и А:

Площадь прямоугольного треугольника АВС равна половине произведения катетов, значит,

Таким образом, для определения уравнения линии получили уравнение, в котором в качестве неизвестных фигурируют функция y и ее производная.

Задача 2. В сосуд, содержащий 10 л. воды, непрерывно поступает со скоростью 2 л. в минуту раствор, в каждом литре которого содержится 0,2 кг. соли. Поступающий в сосуд раствор непрерывно перемешивается с содержимым сосуда, и смесь вытекает оттуда с той же скоростью. Найти закон изменения количества соли в растворе в зависимости от времени.

Решение: Обозначим y(t)- количество соли в сосуде через t минут после начала поступления раствора в сосуд. За одну минуту поступает 2 л. раствора, значит, за промежуток времени t

Заметим, что в первом примере при решении уравнения первого порядка получили ответ, зависящий от одной произвольной постоянной С1, а при решении во втором примере уравнения второго порядка получили ответ, зависящий от двух произвольных постоянных С1,С2 . В общем случае, как правило, при решении дифференциального уравнения порядка n решение будет зависеть от n произвольных постоянных.

переменных.

Одной из основных задач теории дифференциальных уравнений является задача Коши: найти решение дифференциального уравнения y' f (x, y), удовлетворяющее условию y(x0 ) y0 , где x0 , y0 - заданные числа. Геометрически задачу Коши можно интерпретировать так: из множества всех интегральных кривых дифференциального уравнения y' f (x, y) выбрать ту, которая проходит через заданную точку M x0, y0 .

Определение: Множество решений дифференциального уравнения первого порядка, зависящее от одной произвольной постоянной будем называть общим решением этого уравнения.

Определение: Если общее решение можно представить в виде С (x, y), т.е. выразить в нем произвольнуюпостояннуючерезпеременные x и y,тофункция z (x, y) называетсяобщим интегралом дифференциального уравнения.

y2

является общим интегралом дифференциального уравнения y' a2 .

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение: Уравнение вида f (x)dx g(y)dy 0 называется уравнением с разделенными переменными.

Запишемуравнениесразделеннымипеременнымиввиде f (x)dx g(y)dy ипроанализируем

его. В левой и правой частях уравнения находятся дифференциалы некоторых функций, и они равны. Значит, равны ипроизводные этихфункций.Потеореме о совпадении производных эти функции могут отличаться друг от друга лишь на произвольную постоянную:

f (x)dx g(y)dy С . Это равенство и есть общее решение уравнения с разделенными переменными.

Определение: Дифференциальные уравнения вида y' f (x)g(y) или вида f1(x) f2 (y)dx g1(x)g2 (y)dy 0 называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Замечание: При делении могут быть потеряны решения, поэтому после деления на переменную величину необходима проверка.

Пример 1: Найти общее решение дифференциального уравнения xydx x 1 dy 0

Решение: xydx x 1 dy

Добьемся того, чтобы в левой части равенства отсутствовала переменная y , а в правой части – переменная x . Для этого поделим все уравнение на y x 1 :

xx 1dx dyy

1 dx ln y lnCx 1

x ln x 1 ln y lnC ; lnex ln x 1 ln y lnC1

функции). Поскольку при решении уравнения производилось деление на переменные

дифференциального уравнения. Если x2 1 0, то x 1 и при подстановке этих значений в уравнение тождество не получается.

Теперь воспользуемся условием y(0) 1. Для этого в общее решение вместо переменной x подставим число 0, а вместо y - число 1:

Определение: Функция двух переменных z f (x, y) называется положительно однородной функцией порядка n, если для любого положительного значения переменной t выполняется равенство f (tx,ty) tn f (x, y) .

Замечание: любая однородная функция является положительно однородной, но обратное не верно.

Определение:Дифференциальноеуравнение f (x, y)dx g(x, y)dy 0 называетсяоднородным дифференциальным уравнением, если f (x, y),g(x, y) - однородные функции одного порядка. Следствие: Дифференциальное уравнение y' f (x, y) является однородным тогда и только тогда, когда f (x, y)- однородная функция нулевого порядка.

Метод решения однородного дифференциального уравнения состоит в замене неизвестной

в виде неявной функции.