Добавил:

Rin_Yano Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекция 1. Числовые ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.10.2022

Размер:

849.72 Кб

Скачать

☆

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. IV. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 138 с.

Лекция №1

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Числовой ряд, сходимость, сумма. Основные свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости. Признаки сравнения. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов: Даламбера, Коши, интегральный признак. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

Определение ряда и его свойства

Определение: Пусть задана последовательность чисел		a1,a2 ,...,an...	Составленная из этих

чисел бесконечная сумма a1 a2 ... an ... an называется бесконечным рядом, а числа
	n 1
a1,a2 ,...,an... называются элементами ряда.
Определение: Элементы последовательности =		, = +	, = + + ,…,

= + + +	называются частичными суммами ряда an

n 1

Определение: Если последовательность , ,…, имеет конечный предел, то этот предел называется суммой ряда, а сам ряд называется сходящимся. Если последовательность не имеет предела или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся.

Замечание: Следующий простой пример показывает, что с бесконечными суммами нельзя обращаться как с конечными:

1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 ... 0 0 0 ... 0 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 ... 1 0 0 ... 1.

Примеры: 1) Геометрическая прогрессия an a1 qn 1 , q 1 .

Число q называется знаменателем прогрессии, сумма первых n элементов прогрессии может

быть вычислена по формуле Sn																											a1 1 qn										.
быть вычислена по формуле Sn																																					.
																													1 q
Если		q		1, то limqn										0 ,					limS					n		lim							a1 1 qn									a1		и ряд сходится.
																																	a1 1 qn									a1
																																									1	q
										n									n										n					1 q
										n									n										n					1 q
Если			q		1, то не существует конечного предела limSn																																							и ряд расходится.
Если			q		1, то не существует конечного предела limSn																																							и ряд расходится.
																																		1							n
2) Рассмотрим ряд с элементами a																																							:		n

																												n			n2
																												n			n2			n
							a				1	,a						1	,a							1			,a						1			,...
							a				2	,a							,a						12				,a					20				,...
								1			2				2		6					3			12					4				20
Поскольку								1					1				1				, то
Поскольку							n2	n					n								, то
							n2	n					n			n 1
	1					1			1		1						1			1												1						1					1
																							....																	1
	1					2			2								3			4			....													n				1			n 1
	1					2			2		3						3			4									n							n		1					n 1
																																						1

		1
	lim 1		1. Ряд сходится.
	lim 1		1. Ряд сходится.
→	n	n 1

3) Рассмотрим ряд 1 n . Его частичные суммы поочередно принимают значения -1 и 0.
		n 1
Такая последовательность не имеет предела. Ряд расходится.

4) Рассмотрим ряды a a a a ... и				n 1 2 3 ...	Сумма первого ряда при a 0
			n 1	n 1		.
равна (знак суммы зависит от знака числа a ), сумма второго ряда равна						.

Определение: если в ряде a1 a2 ... an ... an отбросить первые k						слагаемых, то
				n 1
получится новый ряд

		ak 1 ... an ... an		,

n k 1

называемый k -тым остатком ряда an .

n 1

Теорема (об остатках ряда)

1) Если ряд an сходится, то сходится и любой из его остатков.

n 1

2) Если сходится какой-либо остаток an ряда an , то сходится и ряд an .

n k 1

n 1

Доказательство: 1)Пусть ряд an сходитсяи егосуммаравна A,а A1, A2 ,..., An...-частичные

n 1

суммы ряда. Существует конечный предел частичных сумм lim A A. Рассмотрим

k -тый

n n

остаток ряда ak 1

. Пусть n k

. Рассмотрим частичную сумму An'

остатка:

... an

n k 1

ak 1 ak 2 ... an

a1 a2

... ak 1

ak 2 ... an

a2 ... ak

An'

постоянная

Вычислим предел частичных сумм остатка:

lim A'

lim

a a

... a

lim A

... a

n n

A a1 a2 ...an

Значит, остаток ряда сходится.

2) Пусть сходится остаток an

и его сумма равна A' . При

n k

рассмотрим частичную

n k 1

сумму ряда

an :

n 1

An a1 a2

... an a1

... ak ak 1 ak 2

... an

lim A

... a

. Ряд сходится. Теорема доказана.

n n

Теорема (сходимость и линейные операции)

Если

сходится

ряд

a1 a2

... an ... an ,

то

сходится

ряд

n 1

сa1 сa2 ... сan ... сan , где с - любое действительное число.

n 1

2) Если сходятся ряды a1 a2

... an ... an

b1 b2

... bn ... bn , то сходится и ряд

n 1

b1 a2 b2 ... an

an bn ,

bn ...

называемый суммой рядов an

и bn .

n 1

Доказательство: 1) Пусть ряд an

сходится и его сумма равна A.

n 1

обозначим

частичную сумму ряда an и An'

частичную сумму ряда сan .

n 1

lim сa

clim A

lim A'

сa

... сa

. Ряд

сa

сходится.

n 1

2) Обозначим

частичную сумму ряда an

Bn частичную сумму ряда bn .

n 1

Пусть ряды an

и bn сходятся и их суммы равны соответственно A и B. Тогда

n 1

... a

lim

lim a

... a

lim b b

... b

A B

Ряд сходится. Теорема доказана.

Теорема (необходимый признак сходимости)

Если ряд

сходится, то lima

n 1

Доказательство: Пусть сумма ряда an равна A. Тогда

lim a

n 1

A A 0. Теорема доказана.

lima

... a

n 1

Замечание: из теоремы следует, что если liman 0, то ряд расходится. Как будет показано

дальше, обратное утверждение не имеет места: существуют расходящиеся ряды, у которых

liman 0.

Признаки сходимости положительных рядов

Рассмотрим ряды, все элементы которых положительны. В этом случае обязательно существует конечный или бесконечный пределчастичных сумми расходимость ряда означает, что этот предел существует, но бесконечен.

Пример 1 (гармонический ряд)

Пусть дан ряд							1		1		1				1	...
						n 1	n					2			3
Рассмотрим частичные суммы ряда вида
		1		1	1		1			1		1			1				1		1					1
1																							...				...
1		2		3			5			6		7			8				9	10			...		16		...
		2		3	4		5			6		7			8				9	10					16
Поскольку
	1			1	...				1					1			1	...				1		n		1		1
	n 1		n 2		...			n n										...				2n		n		2n
	n 1		n 2					n n					2n 2n									2n				2n	2

то,		полагая n 2 ,																получим																1			1						1			. Полагая							n 3,				получим									1			1				1			1		1	; при		n 4:
																																	3			4							2																						5				6		7				8		2
	1		1	...						1						1					и т. д.
9				...					16						2						и т. д.
9		10							16						2
обозначим											частичные																				суммы											ряда								An ,		тогда,							как					только							что					было				показано,
	A k	1					1 ... 1															k			. Значит, частичные суммы ряда не могут быть ограничены сверху и ряд
	A k	1					1 ... 1
2		2					2						2							2

							k _ раз
расходится.
Пример 2 (обобщенный гармонический ряд)
																						1												1						1
Рассмотрим ряд																						1				1								1						1			... Случай										1 рассмотрен в предыдущем примере.
Рассмотрим ряд																										1																	... Случай										1 рассмотрен в предыдущем примере.
															n 1						n												2					3
Пусть 1, тогда																				1								1				и			1						1					...					1	1			1	...				1		.

																				n									n												2										k	1			2					k
																				n									n				1								2										k	1			2					k
По теореме о пределе и неравенствах для последовательностей получаем
		1					1													1														1				1											1																															,
	lim										...															lim																	...								.			То,		что последний предел равен																									было
	lim							2			...								k							lim																	...								.			То,		что последний предел равен																									было
	k 1							2											k										k		1							2											k
доказано в предыдущем примере. Ряд расходится.
Пусть 1. Обозначим 1 ; 0 .
		1							1								...														1										1							1		...		1			n				1				1
								n									...																							n							n			...		n			n			n					n

	n 1											2															n n
					1								1											1						1								1							1						1			1			1					1								1					1
Значит,																												,																											,										...												и т. д.
					3								4										2							5							6							7						8			4			9				10									16						8
Следовательно, для любой частичной суммы A2k справедливо неравенство
													1
							1
	A k		1				1							2									(здесь воспользовались формулой для суммы геометрической
	A k		1			2																	(здесь воспользовались формулой для суммы геометрической
2						2					1				1
											1				2
															2
прогрессии). Ряд сходится.
																			1												1										1																			1									1
Пример: Ряды																			1				,								1			,							1					сходятся,						а ряды								1				,					1					расходятся.
Пример: Ряды																			2				,								5			,												сходятся,						а ряды												,			3							расходятся.
														n 1 n												n 1				n					n 1				n n																			n 1			n				n 1			n				n

Теорема (признак сравнения рядов) Пусть даны два ряда с положительными слагаемыми:


an	и bn . Если an	bn , хотя бы начиная с некоторого номера n, то из сходимости ряда
n 1	n 1

bn	следует сходимость ряда an и из расходимости ряда an следует расходимость ряда
n 1		n 1		n 1

bn .
n 1
Доказательство: Пусть неравенство an			bn	выполняется при всех n N . Рассмотрим N -ые

остатки рядов an и		bn . Пусть ряд	bn	сходится, тогда сходится и его остаток bn ,
	n 1	n 1	n 1	n N 1

значит, частичные суммы этого остатка ограничены. Поскольку an bn , то тем более будут

ограничены частичные суммы остатка an , и этот остаток сходится. Значит, сходится и ряд

n N 1

an . Расходимость доказывается аналогично. Теорема доказана.

n 1

Следствие: Если существует предел lim an L , то из сходимости положительного ряда

n bn

bn следует сходимость положительного

ряда

, а из расходимости an

следует

n 1

расходимость bn .

n 1

Примеры:

ряд

сходится, т.к.

а ряд

сходится, т.к.

является

n 1 n

1 n

n 1

обобщенным гармоническим рядом при 2 1.

2) Ряд

расходится, т.к.

, а ряд

расходится.

n 1

n 0,5

n 1

Теорема (признак Коши) Пусть дан ряд an с положительными элементами, тогда

n 1

Если limn an

, то ряд

сходится.

n 1

Если limn an

, то ряд

расходится.

n 1

Доказательство: Обозначим bn n

A 1. Выберем число 0 такое, что

A 1. По определению предела

1) Пусть limn

последовательности найдется номер N такой, что для всех номеров n N будет выполняться

неравенство bn A . Рассмотрим			последовательность			cn	A n	(сходящаяся
			bn n		A , то		A n .
геометрическая прогрессия). Поскольку				an		an		По признаку
сравнения ряд сходится.
2) Пусть теперь limn		A 1. Выберем	0 такое, что A 1.
	an						Снова по определению
n

предела найдется номер			N такой, что для всех номеров n N будет выполняться неравенство
bn n		1. Значит, и	an 1. Ряд 1 1 ... 1 ... расходится (по необходимому признаку
	an

сходимости), значит, по теореме сравнения расходится и ряд an . Теорема доказана.

n 1

		2n
Пример: Ряд				сходится. По признаку Коши: limn an
		n	n
				n
	n 1

Теорема (признак Даламбера1) Пусть дан ряд an .
				n 1
		an 1
1) Если lim				1, то ряд an сходится.
		an
n				n 1

limn	2n	lim	2	0 1
	nn
n		n n

1 Даламбер Жан Лерон (1717-1783) французский математик, механик и философ. Труды по математическому анализу, теории дифференциальных уравнений, теории рядов, алгебре, механике.

an 1

Если lim

1, то ряд an расходится.

n 1

Без доказательства.

n 1

Пример: Ряд

сходится.

По признаку Даламбера an

;an 1

n 1!

n 1

lim

an 1

lim

3n 1

lim

0 1.

n 1!

n an

n n 1

Теорема (интегральный

признак сходимости) Пусть

y f x

- непрерывная,

положительная и монотонно убывающая функция одной действительной переменной. Ряд

f n сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл f (x)dx.

n 1

Доказательство: Пусть F(x)

- какая-либо первообразная функции f (x) . Поскольку f (x) 0

, то F(x) - возрастающая функция, значит,

существует конечный или бесконечный предел

limF(x).

F(n 1) F(n) :

A1 F 2 F(1),

Рассмотрим

частичные

суммы

ряда

F 2 F(1) F(3) F(2)

n 1

F(3) F(1),

F 3 F(1) F(4) F(3)

F(4) F(1),…,

F(n) F(1) n

f (x)dx.

F(n 1) F(n)

Значит, если

limF(x) ,

то

ряд

сходится, в

противном

случае –

n 1

расходится. По формуле конечных приращений на промежутке n;n 1

F(n 1) F(n) f (n ),

где 0;1 . Значит, поскольку функция

f (x) монотонна, то

f n 1 F n 1 F n f n

f (x)dx

Если сходится

ряд

F(n 1) F(n) lim

f (x)dx, то по

признаку

сравнения

n 1

n . Аналогично,

сходится и ряд f n 1 . Тогда, по теоремеоб остатках, сходится и ряд

n 1

если ряд F(n 1) F(n)

f (x)dx

расходится, то

расходится и ряд f n . Теорема

n 1

доказана.

Пример: Проверить сходимость ряда

n 1

nlnn

ln x

Решение: Рассмотрим интеграл

ln y

0 . Интеграл

xln x

ln x

расходится. Значит, расходится и ряд

n 1

nlnn

Сходимость произвольных рядов

Рассмотрим ряд an , в котором лишь конечное количество элементов отрицательно,

n 1

остальные положительны. Тогда среди отрицательных элементов есть элемент с наибольшим


номером N . Следовательно, остаток			an содержит только положительные элементы. По
		n N 1

теореме об остатках сходимость ряда			an	равносильна сходимости его остатка				an	и,
			n 1					n N 1

таким образом, вопрос о		сходимости	ряда	an	сводится к	исследованию	сходимости
				n 1

положительного ряда	an .
	n N 1

Пусть все элементы	ряда	an отрицательны и			an bn ,bn	0. Тогда по	теореме		о
		n 1

сходимости и линейных операциях an bn . В ряде bn все элементы положительны,
		n 1	n 1		n 1

значит, и в этом случае вопрос о сходимости сводится к рассмотрению положительного ряда.

Рассмотрим ряд an , в котором лишь конечное количество элементов положительно,

n 1

остальные отрицательны. Тогда an	bn , где	bn 0 и вопрос о сходимости снова
n 1	n 1

сводится к положительному ряду.

В связи с этим осталось рассмотреть ряды, в которых имеется бесконечное количество как положительных, так и отрицательных элементов.

Определение: Ряд an называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд an .

n 1

Теорема (об абсолютной сходимости) Если ряд an абсолютно сходится, то он сходится.

n 1

Доказательство: Пусть p1, p2 ,..., pl ,... - положительные элементы ряда an , q1,q2 ,...,qm ,... -

n 1

его отрицательные

элементы. Обозначим Sk k

Pl l

pn ,

где

суммируются

все

n 1

положительные элементы, входящие в частичную сумму

Sk , Qm

, где суммируются

n 1

модули всех отрицательных элементов, входящих в частичную сумму

Sk . Поскольку Pl

и ряд an сходится, то сходится и ряд pn . Обозначим

pn P .

n 1

Рассмотрим ряд

qn . Поскольку Qm Sk , то

ряд

qn сходится. По

n 1

теореме о сходимости и арифметических операциях ряд

qn сходится.

Пусть qn

n 1

Поскольку ряд an содержит бесконечное количество как положительных, так и

n 1

отрицательных элементов,

то

при

k , будет также

l и

m . Рассмотрим

P Q

: lim

limP lim Q

P Q . Теорема доказана.

n 1

Замечание: Существуют сходящиеся, но не абсолютно сходящиеся ряды.

1 n

Примеры: 1) Ряд

абсолютно сходится, т.к. сходится ряд

n 1

n 1 n

sinn

2) Ряд

сходится, т.к. ряд

n 1

Определение: Знакочередующимся называется ряд an , элементы которого удовлетворяют

n 1

условию an an 1 0 для любого числа n.

Замечание: знакочередующийся ряд принято записывать

виде

с1 с2 с3

с4

... или

с1 с2 с3

с4 ..., где все элементы сi

Теорема (признак Лейбница) Если слагаемые знакочередующегося ряда монотонно убывают

по абсолютной величине сn 1	сn и стремятся к нулю	limсn 0 , то ряд сходится.
		n

Доказательство: Рассмотрим частичную сумму, состоящую из четного числа слагаемых

С2m c1	c2 c3 c4 ... c2m 1		c2m .	Поскольку		сn 1 cn ,		то	сn cn 1	0	и
последовательность		таких	частичных		сумм		возрастает.		Поскольку
С2m c1	c2 c3 c4 c5 ... c2m и			сn cn 1	0,		сi 0, то	С2m c1 .		Значит,
последовательность частичных сумм С2m				возрастает		и	ограничена сверху числом				c1 ,
следовательно, она имеет предел limС2m C .
		m
Рассмотрим теперь частичную сумму нечетного числа							слагаемых	С2m 1	С2m c2m .		По
условию	теоремы	limcn 0,	значит,	lim С2m 1	limС2m lim c2m			C 0 C .		Значит,
		n		m	m		m

limСn C и ряд сходится. Теорема доказана.

		n 1		1	n			n
Примеры: Из теоремы Лейбница следует, что сходятся ряды 1			,			,	1		.
				2n 1
n 1	n		n 1			n 1	n

Замечание: легко проверить, что ни один из этих рядов не сходится абсолютно. Определение: Если ряд сходится, но не абсолютно сходится, то такой ряд называется условно сходящимся.

	1	n 1		1	1	1
Рассмотрим условно сходящийся ряд			1				...,	выберем произвольное
	n			2	3	4
n 1
число A и переставим в ряде элементы по следующему правилу:								сначала соберем ровно

столько идущих по порядку положительных элементов , чтобы их сумма была больше, чем A , затем добавим к полученной сумме ровно столько идущих подряд отрицательных элементов, чтобы новая сумма стала меньше, чем A, затем опять по тому же правилу добавим положительные элементы, чтобы новая сумма стала больше, чем A и т. д. Легко понять, что в пределе получится число A. Но, поскольку это число было выбрано произвольно, значит, перестановкой элементов в данном ряде можно добиться того, чтобы его «сумма» была равна любому числу. Это еще раз подчеркивает, что сбесконечными суммами нельзя обращаться как с конечными: нельзя переставлять слагаемые и даже не всегда можно произвольным образом расставлять скобки.

Теорема Римана2 (об условно сходящихся рядах) Пусть ряд an условно сходится, тогда

n 1

для любого числа A можно так переставить элементы в ряде an , что сумма ряда с

n 1

переставленными элементами будет равна A. Кроме того, можно так переставить элементы ряда, что ряд с переставленными элементами будет расходиться.

Без доказательства.

2 Риман Бернхард (1826-1856) немецкий математик. Основоположник геометрического направления в теории функций, создатель одной из неевклидовых геометрий. Труды по алгебраическим функциям, теории дифференциальных уравнений, теории чисел, тригонометрическим рядам и теории интеграла.

Соседние файлы в папке Лекции

#
06.10.2022849.72 Кб21Лекция 1. Числовые ряды.pdf
#
06.10.2022686 Кб24Лекция 2. Функциональные ряды..pdf
#
06.10.2022189.67 Кб23Лекция 3. Комплексные числа.pdf
#
06.10.2022602.5 Кб25Лекция 4. Дифференциальные уравнения первого порядка.pdf
#
06.10.2022616.21 Кб23Лекция 5. Дифференциальные уравнения первого порядка _ продолжение.pdf
#
06.10.2022711.88 Кб24Лекция 6. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.pdf