Добавил:

Alister_stud Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Амурский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

01431

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2022

Размер:

1.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

0 A2 B,

A1 3B,

A A1 3A2 3B,

2 2 A 2 A 2 A

B, решая которую,

найдем А =

–1, А1

= 1/3,

А2 = – 2/9, В = 2/9.

В результате получим

x2 2

(x 1)3 (x 2)

(x 1)3

3(x 1)2

9(x 1)

9(x 2)

Чтобы вычислить интеграл от рациональной дроби, нужно, если дробь неправильная, представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби, а дробь разложить на сумму простейших.

Пример:

(x4

1)dx

x 1

)dx xdx

(x 1)dx

x3 1

1)(x 2 x 1)

(x 1)dx

Bx C

Ax 2 Ax A Bx

2 Cx Bx C

(x 1)(x2

(x 1)(x 2

x 1)

x 2 x 1

x 1)

B 0

A B 0

A B C 1

3A 2

C 1

(2x 1)dx

x 2

2 x 1) C.

xdx

ln | x 1 |

ln( x

x 1

x 2 x 1

2 3

1.4. Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида sinmx cosnx dx

а) Если хотя бы один из показателей m и n – нечётное положительное число, используются подстановки sinx = t при нечётном n и cosx = t при нечетном m.

			Примеры:
) sin 2 x cos5							xdx [sin x t; cos xdx dt; cos 2											x 1 sin 2 x]
sin 2 x cos 4						x cos xdx sin 2 x(1 sin 2										x) 2 d sin x t 2 (1 t 2 ) 2 dt
(t 2 2t 4 t 6 )dt										t 3	2t 5			t 7	C	sin 3 x				2 sin 5 x			sin 7					x		C.
(t 2 2t 4 t 6 )dt															C															C.
								3			5		7			3			5					7
		sin 3 xdx									3							3
)							sin 3 x cos						xdx sin 2			x cos			x sin xdx
												2						2
																		2
	cos x			cos x
	cos x			cos x
								3									3		1		t	1					3

																						2			t		2
																						2			t		2
(1 cos 2 x) cos								2 xd cos x [cos x t]								(t	2 t 2 )dt												C
(1 cos 2 x) cos								2 xd cos x [cos x t]								(t	2 t 2 )dt					1				3			C
																						1				3
																						2		2
																						2		2

	2				2		cos3 x		C.
									C.
			cos x			3

б) Если оба показателя m и n – чётные положительные числа, подынтегральную функцию следует преобразовать с помощью извест-

ных соотношений: sin x cos x											1	sin 2x,		sin 2 x				1 cos 2x						,	cos2 x			1 cos 2x		.
ных соотношений: sin x cos x												sin 2x,		sin 2 x										,	cos2 x					.
								2												2									2
				Пример:
sin 4 x cos2 xdx								sin 2 x cos2 xsin 2 xdx								sin 2 2x						1 cos 2x					dx
sin 4 x cos2 xdx								sin 2 x cos2 xsin 2 xdx								4						2					dx
																4						2
		1	sin 2 2xdx				1	sin 2 2x cos 2xdx					1		1 cos 4x				dx				1		sin 2 2xd sin 2x
			sin 2 2xdx					sin 2 2x cos 2xdx											dx						sin 2 2xd sin 2x
	8			8				8								2						16
	1			dx	1	cos 4xdx			1	sin 2 2xd sin 2x							x				sin 4x					sin 3 2x			C.
				dx		cos 4xdx				sin 2 2xd sin 2x																			C.
	16			16				16								16						64					48

2. Интегралы вида tgmxdx и ctgmxdx, где m – целое положительное число, интегрируются с помощью соотношений tg2x = sec2x – 1 и ctg2x = cosec2x – 1, позволяющих последовательно понижать степень подынтегральной функции.

ln | cos x | C.

Пример:

tg5 xdx tg3 x(sec2 x 1)dx tg3 xd(tgx) tg3 xdx

tg3 xd(tgx) tgx(sec2 x 1)dx tg3 xd(tgx) tgxdtgx tgxdx

tg 4 x tg 2 x

4 2

3. Аналогично находятся интегралы вида tgmx secnx dx и ctgmx cosecnxdx, где n – целое положительное число.

Интегралы sin(mx) cos(nx) dx, cos(mx) cos(nx) dx, sin(mx) sin(nx) dx вычисляются с помощью формул sin cos = ½[sin( + ) + + sin( – )], cos cos = ½[cos( + ) + cos( – )], sin sin = = ½[cos( – ) – cos ( + )], позволяющих произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.

4. Интегралы вида R(sinx, cosx)dx, где R – рациональная функ-

ция, вычисляются с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg x/2 = t (х = 2arctgt). Переход к новой переменной в подынтегральном выражении осуществляется с помощью формул

2tg

1 tg 2

1 t 2

2dt

sin x

; cos x

; dx

(1.26)

1 tg

2 x

1 t 2

1 tg

2 x

1 t 2

t 2

Пример:

2dt

1 t 2

4 sin x 3cos x 5

1 t

8t 8

(t 2)

t 2

1 t 2

Проинтегрируем с помощью тригонометрической подстановки

простейшую рациональную дробь четвёртого типа

(x2 nx q)

где n2 4q 0 . Выделив в знаменателе полный квадрат, получим

4q n2

и, обозначив

p 2 , полу-

4q n

чим

(z 2 p2 )

1.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций

1. Интегралы вида R(x, (ax + b) m1/n1, (ax + b) m2/n2, …)dx, где

R – рациональная функция, а mi, ni, – целые числа, вычисляются с помощью подстановки ах + b = ts, где s – наименьшее общее кратное чисел ni.

Пример:

3; n2

2; s 6

3t 5dt

t 2 dt

t 6 1

2x 1 t 6 ; x

; dx 3t 5dt

t 4 t 3

t 1

(2x 1) 3 (2x 1) 2

3 (t 1

)dt

t 2 3t 3ln | t 1 | C,

t 1

где t 6

2x 1.

2. Интегралы вида

сводятся к табличным выде-

ax2 bx c

лением полного квадрата в подкоренном выражении.

Пример:

d(x 1)

ln | x x2 2x 5 | C.

4x2 8x 20

x2 2x 5

(x 1)2 4

Интегралы вида

Ax B

dx вычисляются с помощью

ax2 bx c

известного уже приема – в числителе выделяют производную подкоренного выражения и интеграл представляют в виде суммы более простых интегралов.

Пример:

( 2x 6) 13

(3x 4)dx

dx [d ( x

6x 8) ( 2x 6)dx]

x2 6x 8

d ( x2 6x 8)

d (x 3)

x2 6x 8 13 arcsin( x 3) C.

x2 6x 8

1 (x 3)2

4. Интеграл

вида

с помощью

подстановки

) ax2 bx c

х – = 1/t сводится к интегралу, рассмотренному ранее.

Пример:

[x 1

; x

1;dx

]

(x 1)

x2 3x 3

(

t2 t 1 | C

ln | t

t2 t 1

)

ln |

3x 3

| C.

x 1

Интегралы

вида

R(x, x 2

a 2 )dx,

R(x,

a 2 x 2 )dx,

R(x, a 2 x 2 )dx приводятся к интегралам от рациональных отно-

сительно sint (cost) функций с помощью надлежащей тригонометрической подстановки: для первого х =а sect (х = а cosect), для второго

х = а sint (х = а cost) и для третьего х = а tgt (x = a ctgt).

Пример:

atgt; dx

adt

]

adt

cos 2 t

a 2 x 2

cos 2 tatgt

a 2 a 2tg 2t

sin tdt

d cos t

cos

sin t

sin 2 t

cos 2 t 1

cos t cos t

[tgt

; cos t

]

x 2 a

| C

ln |

x 2 a 2


ln \|		cos t 1		\| C
ln \|		cos t 1		\| C
		cos t 1

	a		x 2 a 2
					\| C.
			x		\| C.
			x

1.6. О «неберущихся» интегралах

Выше говорилось, что если и выполняются условия существования первообразной, то не всегда она может быть найдена как конечная комбинация элементарных функций. Соответствующий интеграл можно рассматривать как новую неэлементарную функцию. Такие функции часто носят название специальных, многие из них хорошо изучены (и табулированы). Например, та из первообразных

е х 2 dx C , которая обращается в нуль при х = 0, называется функцией Гаусса и обозначается Ф(х), т.е. Ф(х) = е х 2 dx C, если Ф(0) = 0.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте определение первообразной функции. Докажите, что любые две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое.

2.Что называется неопределённым интегралом? Каков его геометрический смысл и основные свойства?

3.Постройте кривые семейства y xdx , проходящие через точки М1(2,1), М2(2,2), М3(2,3).

4.Каковы основные методы интегрирования функций?

5.Выведите формулу интегрирования по частям.

6.Укажите некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

7.Что называется дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью)?

8.Назовите четыре типа правильных рациональных дробей.

9.Как найти интегралы от простейших рациональных дробей 1-го и 2-го типов?

10.Как найти интегралы от простейших рациональных дробей 3-го и 4-го типов?

11.Как найти интегралы вида sin m x cos n xdx , если: а) хотя бы один из показателей m или n – нечётное положительное число; б) оба показателя m и n – чётные положительные числа?

12. Как найти интегралы вида tg m xdx,	ctgm xdx, где m – целое по-
ложительное число?

13.Как найти интегралы вида R(sin x, cos x)dx , где R – рациональная функция?

	ax b	m1	n1	,	ax b	m2	n2
14. Как найти интегралы вида R x,	ax b		n1	,	ax b		n2	,... dx ,

где R – рациональная функция, а mi, ni – целые числа?

15.

Как найти интегралы вида

Ax B

dx ?

2 bx c

ax2 bx c

16.

Как найти интегралы вида

(x a)

ax2 bx c

Как найти интегралы вида R x,

dx,

R x,

dx,

17.

x2 a2

a2 x2

R x, a2 x2 dx ?

18.Приведите примеры «неберущихся» интегралов.

19.Какая функция называется функцией Гаусса, как она определяется?

Глава 2. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1. Понятие определённого интеграла. Свойства

Что такое определённый интеграл		и почему он есть пло-
щадь? Пусть функция	определена	на промежутке

(рис. 2.1). Для определённости и простоты считаем, что функция по-

ложительна	и непрерывна на данном отрезке. Поставим за-
дачу найти площадь	криволинейной трапеции, ограниченной гра-
фиком функции	, прямыми	и осью	. Обратите

внимание на тот факт, что непрерывность функции на отрезке заведомо гарантирует существование конечной площади .

Разобьём отрезок на частей следующими точками:

Рис. 2.1

В результате получено частичных промежутков

с длинами соответственно. В общем случае длины различны – какие-то отрезки короче, какие-то длиннее. Максимальную длину называют диаметром разбиения и обозначают буквой «лямбда»: .

Примечание 1. последняя запись читается как «максимальное значение из множества (набора) ».

В каждом из полученных промежутков опять же произвольно выбираем точки .

Примечание 2. («кси») – 14-я буква греческого алфавита.

Рассмотрим i-й промежуток . Его длина, очевидно, равна (обоюдоострая линия). Значению аргумента соответствует значение функции , и произведение в точности равно площади соответствующего прямоугольника.

Аналогично устроен каждый отрезок. Составим сумму, которая равна площади ступенчатой фигуры:

Данная сумма называется интегральной суммой, и её часто за-

писывают в свёрнутом виде: .

Примечание 3. ∑– это значок суммы, а переменная – своеобразный «счётчик», т.е. сначала , затем , потом , … и, наконец, .

Что означает прилагательное «интегральная»? В широком смысле слова, интегрировать – это значит, что-то объединять. В данном случае интегральная сумма объединяет площади прямоугольников и с некоторой точностью приближает площадь криволинейной трапеции: .

Теперь зададимся вопросом: как улучшить точность приближения? Действия очевидны – увеличиваем и увеличиваем значение . При этом количество отрезков растёт, а их длины – уменьшаются, в том числе неизбежно уменьшается и максимальная длина . Количество точек

тоже возрастает, и ступенчатая фигура всё больше и больше напоминает криволинейную трапецию.

И, если количество отрезков разбиения устремить к бесконечности , то интегральная сумма (площадь ступенчатой фигуры) будет стремиться к площади криволинейной трапеции: .

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральной суммы при диаметре разбиения, стремящемся к нулю:

Врезультате площадь криволинейной трапеции S =

	Определение: конечный предел интегральной суммы
при	, не зависящий ни от способа дробления отрезка				, ни от
выбора точек , называется определённым интегралом функции
по промежутку		и обозначается символом		.
	При этом функция		называется интегрируемой в промежутке
.