978-5-7996-1814-8_2016
.pdf6. Решение типового варианта расчетной работы
Вычислим коэффициенты an по формуле (5.19)
|
|
|
|
|
= 2 |
l |
|
|
|
|
ж |
0,5 |
|
|
1 |
|
|
ц |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
з |
т |
0,3dx - |
т |
|
|
ч |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a |
|
|
f (x)dx = 2з |
|
|
0,3dx |
ч |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
an = |
2 l |
f (x)cos |
pnx |
|
|
ж |
0,5 |
0,3cos pnxdx - |
1 |
|
|
|
|
ц |
= |
1,2 |
sin |
pn |
. |
||||||||
l |
т |
|
|
l |
dx = 2з |
т |
т |
0,3cos pnxdx ч |
np |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
и |
0 |
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
Если n — четное, то |
|
n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Если n — нечетное, |
|
a = 0 |
|
|
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 2k -1, k =1,2,3,... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
ж |
|
p |
ц |
k -1 1,2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
an |
= |
|
|
|
|
|
|
sinзkp - |
|
ч = (-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(2k -1)p |
|
2 |
(2k |
-1)p |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
Подставим найденные коэффициенты в (5.18), получим искомое разложение в ряд
|
1,2 |
ж cos px |
|
cos3px |
|
cos5px |
k -1 cos(2k -1)px |
ц |
|||
f (x) = |
p |
з |
|
- |
|
+ |
|
+ ...(-1) |
|
+ ...ч. |
|
1 |
3 |
5 |
2k -1 |
||||||||
|
и |
|
|
|
ш |
89
7.Расчетная работа
Вданном разделе приведены задачи, которые могут быть использованы для проведения расчетной работы, а также контрольных работ по теме «Ряды».
Вариант 1
1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды
|
а) 1+ |
|
|
1 |
+ |
|
|
1 |
+ ; |
|
|||
|
2 |
2 |
3 |
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) 3 - |
|
5 |
+ |
|
|
7 |
|
|
- |
|
9 |
+ . |
|
|
1Ч2Ч3 |
1Ч2Ч3Ч4 |
|||||||||||
|
1Ч2 |
|
|
|
2.Вычислить сумму ряда
1 + 1 + 1 + .
1Ч2 2Ч3 3Ч4
3. Найти область сходимости ряда
Ґ (x - 7)n
еn=1 4n .
4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x:
f (x) = arcsin x -1 |
||
|
|
. |
|
x |
|
|
|
5. Используя соответствующий ряд, вычислить sin20 с точностью до 0,001.
90
7.Расчетная работа
6.Взяв четыре члена разложения в ряд подынтегральной функции, вычислить
0,6
т 1+ x3 dx.
0
Оценить погрешность полученного результата.
7.Найти четыре первых члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения дифференциального уравнения
уўў = yex , у(0) =1, yў(0) = 0.
8.Разложить в ряд Фурье функцию
м-1, - p < x Ј 0, |
|
f (x) = н |
1, 0 < x Ј p. |
о |
9. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг функцию
|
. |
f (x) = x2 +1, |
x О(0;1) |
Вариант 2
1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды а) (12!!)2 + (24!!)2 + (66!!)2 + ;
б) 2 - 34 + 49 - 165 + .
2.Вычислить сумму ряда:
1 + 1 + 1 + 1 + . 1Ч3 2Ч4 3Ч5 4Ч6
3. Найти область сходимости ряда
Ґ (x - 2)n
еn=1 (3n +1)2n .
91
7. Расчетная работа
4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x:
6 2 .
8 + 2x - x
5.Используя соответствующий ряд, вычислить cos 40 с точностью до 0,001.
6.Взяв четыре члена разложения в ряд подынтегральной функции, вычислить
т1 e- x2 dx.
0
Оценить погрешность полученного результата.
7.Найти четыре первых члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения дифференциального уравнения
уўў = xy + yў, y(0) = yў(0) =1.
8.Разложить в ряд Фурье функцию
м |
0, - p < x Ј 0, |
f (x) = н |
2, 0 < x Ј p. |
о |
9. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг функцию f (x) = x2 -1, x О(0;1).
Вариант 3
1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды
а) 1Ч111 + 2Ч112 + 3Ч113 + ;
б) cose e - cose22e + cose33e - cose44e + .
2. Вычислить сумму ряда и найти область его сходимости
1- 3x2 + 5x4 - 7x6 + .
92
7. Расчетная работа
3. Найти область сходимости ряда
Ґ |
|
3n |
|
|
е |
|
|
(x - 2)3n . |
|
( |
) |
3 |
||
n=1 |
|
|
||
|
5n - 8 |
|
|
4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х:
416 - 3x .
5.Используя соответствующий ряд, вычислить 3 130 с точностью до 0,001.
6.Взяв четыре члена разложения в ряд подынтегральной функции, вычислить 1
0,5
т cos(4x2 )dx.
0
Оценить погрешность полученного результата.
7.Найти четыре первых члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения дифференциального уравнения
уў = e2xy +1, у(0) = 0.
8.Разложить в ряд Фурье функцию
м |
1, |
- p |
< x Ј p , |
|
|||
п |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
f (x) = н |
|
|
p |
|
3p |
|
|
п |
-1, |
< x Ј |
. |
||||
|
|
||||||
п |
2 |
2 |
|||||
о |
|
|
|
|
9. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функцию f (x) = x2, x О(0;2).
93
7. Расчетная работа
Вариант 4
1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды
|
а) |
2 |
+ |
|
4 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
+ ; |
||||||||||
|
|
|
1Ч2Ч |
3 |
1Ч2 |
Ч3Ч |
4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1Ч2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
б) |
ln2 |
|
- |
ln3 |
|
+ |
ln4 |
|
- |
ln5 |
+ . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|||||||||||
2. |
Вычислить сумму ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
+ |
|
|
1 |
+ |
|
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
+ . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8Ч5 |
|||||||||||||||||
|
|
2Ч2 |
|
4Ч3 |
|
6Ч4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
3. |
Найти область сходимости ряда |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
x + 5 n |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е ( |
|
|
|
n ) . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х: |
ln(1- x -12x2 ).
5.Используя соответствующий ряд, вычислить ln7 с точностью до 0,001.
6.Взяв четыре члена разложения в ряд подынтегральной функции, вычислить
т1 |
|
dx |
|
. |
4 |
16 + x |
4 |
||
0 |
|
|
|
Оценить погрешность полученного результата.
7.Найти четыре первых члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения дифференциального уравнения
уў = x + x2 + y2, y(0) =1.
8.Разложить в ряд Фурье функцию
м-x, - p < x Ј 0, |
|
f (x) = н |
x, 0 < x Ј p. |
о |
94
7.Расчетная работа
9.Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функцию
f (x) =1+ 3x, x О(0;1).
Вариант 5
1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды
а) |
1 |
+ |
ж |
2 |
ц2 |
ж |
3 |
ц3 |
|
||||
2 |
з |
3 |
ч |
+ з |
4 |
ч + ; |
|
||||||
|
|
и |
ш |
и |
ш |
|
|||||||
б) sina - |
sin2a |
+ |
sin3a |
- |
sin 4a |
+ . |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
9 |
|
16 |
|
2. Вычислить сумму ряда:
|
|
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
|
|
+ . |
||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||||||
|
|
3Ч2 6Ч3 9Ч4 12Ч |
|
||||||||||
3. |
Найти область сходимости ряда |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Ґ |
|
|
|
||||||
|
|
|
еn=1 |
n |
(x - 2)n . |
|
|||||||
|
|
|
n2 +1 |
|
|||||||||
4. |
Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х: |
ch3x -1.
x2
5. Используя соответствующий ряд, вычислить sin5° с точностью до 0,001.
6. Взяв четыре члена разложения в ряд подынтегральной функции, вычислить
0,5 |
dx |
|
|
т |
|
. |
|
1+ x |
3 |
||
0 |
|
|
Оценить погрешность полученного результата.
7. Найти четыре первых члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения дифференциального уравнения
уў = y2 + x3, у(0) = 12.
95
7. Расчетная работа
8. Разложить в ряд Фурье функцию
f (x) = x, - p < x Ј p.
9. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функцию f (x) = sin x .
Вариант 6
1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды
а) 1+ |
|
|
|
|
2 |
+ |
|
|
|
4 |
|
|
+ |
8 |
|
|
|
+ ; |
||||||||||
|
|
|
5Ч5 |
|
|
|
9Ч52 |
|
|
13Ч53 |
||||||||||||||||||
б) |
1 |
|
- |
|
|
|
2 |
|
|
+ |
|
3 |
|
|
- |
|
4 |
|
|
+ . |
||||||||
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
4 |
1+ 4 |
4 |
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
1+ 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. Вычислить сумму ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+ . |
||||||||||
1Ч4 |
|
|
4Ч7 |
|
|
|
|
10Ч13 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7Ч10 |
|
|
|
3. Найти область сходимости ряда
Ґ
е ( ) (x + 6)n .
n=1 3n + 8 3n
4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х:
f(x) = (3+ e- x )2.
5.Используя соответствующий ряд, вычислить cos6 с точностью до 0,001.
6.Взяв четыре члена разложения в ряд подынтегральной функции, вычислить
0т,2 1- e- x dx. 0 x
Оценить погрешность полученного результата.
96
7.Расчетная работа
7.Найти четыре первых члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения дифференциального уравнения
уў = х2 Ч у2 -1, у(0) = 2.
8.Разложить в ряд Фурье функцию
м |
|
|
|
|
p |
< x |
Ј 0, |
|||
п-x, - |
2 |
|||||||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
||
п |
|
|
0 < x Ј |
, |
|
|||||
f (x) = нx, |
2 |
|
||||||||
п |
|
|
p |
|
|
|
|
|
||
пp |
, |
< x Ј |
3p |
. |
||||||
п |
2 |
2 |
|
2 |
||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
9. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг функцию
f (x) = cos x , x Ожз 0, p2 цч.
и ш
Вариант 7
1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды
а) 11Ч3 + 21Ч4 + 31Ч5 + ;
б) 1- 34 + 84 - 165 + .
2. Вычислить сумму ряда и радиус его сходимости
1+ x + |
x2 |
|
+ |
x3 |
+ . |
|||
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
3 |
|
|||
3. Найти область сходимости ряда |
||||||||
Ґ |
|
n +1 |
|
|
|
|
||
е |
|
|
(x - 4)2n . |
|||||
( |
) |
3 |
||||||
n=1 |
|
|
|
|
||||
|
3n +1 |
|
|
|
|
97
7. Расчетная работа
4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x:
f (x) = |
7 |
. |
12 - x - x2 |
5.Используя соответствующий ряд, вычислить 3 300с точностью до 0,001.
6.Взяв четыре члена разложения в ряд подынтегральной функции, вычислить
0т,4 ln(1+ x / 2)dx.
0 x
Оценить погрешность полученного результата.
7.Найти четыре первых члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения дифференциального уравнения
уў = e2xy + y, у(0) = 0, у(0) = 0.
8.Разложить в ряд Фурье функцию:
мp |
, - |
p |
< x Ј |
p |
, |
|
|||
п |
2 |
2 |
2 |
|
|||||
п |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
< x |
Ј p, |
||||
f (x) = н-x + p, |
2 |
||||||||
п |
|
|
|
|
|
3p |
|
||
п |
|
- p, p < x Ј |
. |
||||||
пx |
|
|
|||||||
|
2 |
||||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг функцию
f (x) = x, x О(0;2).
98