2020 Экзамен / ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы разобрали наиболее важные методы интегрирования, охватывающие обширный класс элементарных функций. Не всегда предложенный стандартный путь интегрирования является наилучшим, более коротким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не единственным способом, многое зависит от знания рекомендуемых искусственных приемов интегрирования, от сообразительности и тренированности. Например, можно найти, не используя рекомендуемую подстановку , а применив искусственный прием:

.

Вряд ли стоит вычислять интеграл , разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби:

.

Заметив, что числитель является производной знаменателя легко получить:

.

Рассмотренные методы интегрирования позволяют во многих случаях вычислить неопределенный интеграл, то есть найти первообразную функцию для подынтегральной функции. Как известно, всякая непрерывная на интервале функция имеет первообразную. В случае, когда первообразная некоторой элементарной функции также является элементарной функцией, говорят, что «берется», т.е. интеграл выражается через элементарные функции. Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» в элементарных функциях.

Так, например, нельзя взять интеграл , так как не существует элементарной функции, производная от которой была бы равна . Приведем еще примеры «не берущихся» интегралов, которые имеют большие значения в приложениях:

– интеграл Пуассона (теория вероятностей),

– интегральный логарифм (теория чисел),

– интегралы Френеля (физика),

– интегральные синус и косинус,

– интегральная показательная функция.

Во всех подобных случаях первообразная представляет собой, очевидно, некоторую новую функцию, которая не сводится к комбинации конечного числа элементарных функций. Первообразные от функций и некоторых других хорошо изучены, для них составлены подробные таблицы значений для различных значений аргумента .

110