Третий семестр (вечерка) / Практика / 2. Путеводитель ДУ-1. Пример решение ИДЗ-2

4

ДУ-1: 1) F[x,y(x),y’(x)/dy(x)]=0 ∧ x∊D_x ∧ y∊D_y →2) Множество решений →3) Решение задачи Коши

[I] ДУ-1 с разделёнными переменными 1) f(y)dy = g(x)dx ∧ x∊D_g ∧ y∊ D_f → 2) →

3)

[II] ДУ с Разделяющимися Переменными (ДУРП).

1) ДУРП: g1(x)●f1(y)dy= f2(y))●g2(x)dx ∧x∊D_x∧y∊D_y

[III] Неоднородные Линейные ДУ-1

1) y’(x)+b(x)y(x)=f(x) ⇨dy(x)+b(x)∙y(x)dx= f(x)dx НЛДУ(y(x),y’(x)/dy(x))

2) 2.1 ОЛДУ-1: y_о’(x)+b(x)y_о(x)=0 ДУРП  y_о(x,C)=C∙φ_o(x): φ_o’(x)+b(x)∙φ_o(x)=0 2.2 НЛДУ-1(метод «вариации постоянной»).

3)

[IV] ДУ-1, приводящиеся к ДУРП или к ЛДУ-1.

========================================================================

ИДЗ-2 по теме «Дифференциальные уравнения первого порядка» ДУ-1.

ИДЗ-2 содержит три ДУ-1: ДУ 1), ДУ 2), ДУ 3). Задание. Для каждого из ДУ 1) и 2)

1.1 указать тип ДУ-1 и найти множество его решений ;

1.2 найти решение задачи Коши с заданным условием y(x₀)=y₀. ДУ 3) необходимо «привести» к ДУРП или к ЛДУ-1 подходящей заменой функции. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ПРИМЕР 1

1.1 ( x+1)y'(x) + xy =0 <=> (x+1)dy + xy dx=0 ДУРП, x,y ∊R

В соответствии с алгоритмом [II] найдём множество решений ДУРП:

⇨ ==> ln |y(x)| = ln |C(x+1)e^-x| , С∊R\{0}

<=>(2.1) y(x,C) = C(x+1)e^-x, C∊R\{0} ∨ (2.2) y(x)≡0,

1.2 Решение задачи Коши y_K(x) с заданным начальным условием y_K(x₀)=y₀ ищется во множестве (2) = (2.1) ⋃ (2.2).

Особые точки ДУРП ==> <=> ∃! А_OT(-1,0)

- y_K(-1)= 0(A_OT(-1,0)) ==>Ε∞y_K(x) : y_K(x,C)= C(x+1)e^-x, C∊R\{0}, х∊R v y_K(x)≡0, х∊R

↑→ например, y_K(x,C_k=1)= (x+1)e^-x , y_K(x, C_k= -1)= - (x+1)e^-x , y_K(х) ≡0

^- y_K(x_A)= y_A ∧ A(x_A,y_A) ≠ А_OT(-1,0) ⇨ ∃! y_K(x) = C_k(x+1)e^-x, х∊R: y_K(x_A)= y_A например, А1(-1.5, -0.5e^1.5)→C_K=1, ∃! y_K(x) = (x+1)e^-x ,х∊R: y_K(- 1.5)= -0.5e^1.5

А2(-1.5, 0.5e^1.5)→C_K=-1, ∃! y_K(x) = - (x+1) )e^-x ,х∊R: y_K(- 1.5)= 0.5e^1.5

^{В задаче:}

^{yK(0)=1(A(0,1)≠AOT) ⇨ yK(x)=} C_k(x+1)e^-x

_{1=CK(0+1)e0 ⇔ CK=1⇨∃! yK(x)=} (x+1)e^-x

; Y(x) ≡0

0.5e^1.5

- 0.5e^1.5

A(0,1)⇨ ∃! _yK(x)= (x+1)e^-x

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ПРИМЕР 2

_1.1 - НЛДУ

В соответствии с алгоритмом [III] найдём множество решений НЛДУ (2.1) ОЛДУ:

(2.2) НЛДУ:

1.2 Решение задачи Коши методом «вариации постоянной».

ПРИМЕР 3