Первый семестр / Лекции ФЭЛ вечерка МУС К.Ф. / Множества и комплексные числа / 7 Основная теорема алгебры
.pdf§7 Полином. Основная теорема алгебры.
Определения.
1. Алгебраический многочлен
P ( z) a |
|
|
|
z n1 ... a z a |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z n a |
n1 |
0 |
|
|
a |
i |
z i , n N a |
i |
C a |
n |
0 |
||||
|
n |
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
0 |
( z) a |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется полиномом степени “n” с коэффициентами ai .
2. Число zi называется корнем полинома, если Pn(zi)=0.
Pn(z) степени n N имеет ровно “n” корней (с учётом равных – кратных корней) и представляется в виде произведения линейных множителей:
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
P |
(Z ) AN (Z Z1 ) (Z Z 2 ) (...) (Z Z N ) an |
( z z j ) |
(2) |
|||||
|
N N |
|
|
|
|
j 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn(z) = zn – a |
zn = a = |a|∙exp(φa∙i/n)z {z(k)= n |
|
|
( a 2 k ) |
|
|
|
|
|
a |
e |
|
, k 0,2,..., (n 1) ) |
||||||
|
|
|
|
|
n |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (z – z1)(z - z2)(z - z3): z1,2,3 {1∙e((0+2∙ ∙k)/3)∙i, k=0,1,2} = {1, |
1 i |
|
|
|||||
P3(z) = z3 – 1 |
3 |
||||||||
2 |
} |
(*) корни P4(z): z1=1, z2=1, z3= i, z4= - i P4(z)= (z-1) ∙(z - i)∙(z + i)= (z-1) (z +1)= z -2z +2z -2z+1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
3 |
2 |
2) Полином Pn(z) с вещественными коэффициентами ((1): |
|
ai |
R) имеет |
|
|
|
||||||||||||||
либо вещественные корни zi=xi |
|
R, либо |
попарно |
комплексно сопряжённые корни |
|
|||||||||||||||
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствует |
|
|||||||
(zi=xi+iyi,zi+1=zi = xi - iyi), |
каждой паре которых в разложении |
|
|
|||||||||||||||||
квадратичный множитель с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
дискриминантом: |
вещественными коэффициентами и отрицательным |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2): (z – zi) ∙ (z – zi*) = [z2 – 2xi∙z + (xi2+ yi2)] D= - 4yi2 <0 |
|
|
(3) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
D |
|
, D 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
z1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
z z |
2 |
b |
, D 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
az +bz+c=a(z-z1)(z-z2), D=b -4ac R |
|
|
1 |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
z |
|
b | D | , D 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) P4(z)= z4-2z3+2z2-2z+1 = (z-1)∙ (z-1)∙(z - i)∙(z + i) = (z-1)2∙(z2 +1)
z1=1, z2=z3=i, z4=z5=- i, P5(z)= (z-1)∙(z - i)2∙(z + i)2 = (z-1) ∙(z2 +1)2 = ??
Замечание. Корень zi полинома Pn(z) удовлетворяет уравнению Pn(z) = 0, НО множество решений уравнения включает лишь различные корни полинома, т.е. nур ≤ nкорней :
P3(z) = |
|
∙ |
|
|
|
- |
в С существуют |
3 |
корняполиномаи |
решенияуравнения |
|
|||||||||||||||||||
(z-1) ∙(z2 + 1) |
уравн ние Pn |
|
|
z |
ур. |
i |
n |
3i |
|
|
≠ |
k: z |
i ≠ |
k |
: {1,i , -i}. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
в С |
|
|
|
(z) = 0 |
|
|
|
{z : P (z )=0 |
|
|
i |
|
|
z } . |
|
|
||||||||
х |
х |
∙ |
х |
|
|
|
корняполинома |
|
|
|
|
|
|
|
|
решенияуравнения |
||||||||||||||
P4(z) = |
(z-1)2 (z2 |
|
|
|
|
– |
|
решениеуравнения, НО |
|
корняполинома |
z {1,i, -i}, |
|||||||||||||||||||
+1) ) - |
|
|
: 4 |
|
|
|
|
|
|
z1,2=1, z3,4 = |
|
i, но |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
P4( ) = |
( |
-1)2 ( |
2 +1) |
|
x |
R |
|
|
!xyp |
=1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
: х1,2=1 |