Первый семестр / Лекции ФЭЛ вечерка МУС К.Ф. / ЛВП / ЛВП-2-3-ОФ18
.pdf1
В средней школе было введено ЛВП направленных отрезков -множество
«геометрических векторов – «свободных» направленных отрезков (н.о.) L {a} длиной |a |, для которых введены аксиомы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b |
a b сонаправлены, |
||||
- равенства a |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
| | a |
| равны длины н.о. |
|
|
| b |
- сложения (правило параллелограмма) и вычитания (правило треугольника) и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
- умножения на скаляр |
c b |
|
a b , если с 0 и a b , если с 0 |
||||||
a |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
| a | | c | |
| b | . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
с=a - b |
|
|
|
|
d=a+b |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
b
Если в пространстве введена прямоугольная система координат OXYZ( i , j , k ),
определяемая единичными взаимно перпендикулярными н.о. - «ортами» |
i , j , k , |
||
каждой точке M(x,y,z) ставится в соответствие н.о. OM( x, y, z) rM – «радиус- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
x i y j zk , |
вектор» точки, который по аксиоме сложения представляется в виде rM |
|||
при этом |
|
||
числа x,y,z называют координатами н.о., а неотрицательное число |
|
||
|
|
|
|
| OM | |
x 2 y 2 z 2 0 называют «длиной н.о.». |
|
Аналогично, для н.о АВ:
AB{x B x A , y B y A , z B z A } x B x A i y B y A j z B z A k
Кроме того, в ЛВП НО определено «скалярное произведение»
|
|
|
|
|
b |
|
|
b ) |
|
|
|||||||
a |
b (a, b ) |
a |
|
|
COS(a |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§2. ЛВП Rn со скалярным произведением и нормой.
Определения.
1) Вещественным линейным векторным пространством ЛВП Rn(эр-эн) называется
множество N-мерных векторов –матриц-столбцов |
|
[ x1 , x2 ,.., xn ]t ; xi |
R} с |
L=Rn={ x |
вещественными координатами « xi R », равенство, сложение и умножение на вещ.
число для которых определены поэлементно.
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
... |
|
|
... |
R n , |
, |
|
R |
|
|
|
|
|
|
... |
R n |
||||||||
x |
|
, y |
2 |
x |
2 |
y |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
xn |
|
|
|
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn yn |
|
0 [0,0,..,0 |
n |
]t - |
“нулевой вектор» |
, [ x , x |
2 |
,.., x |
n |
]t - «противоположный вектор», |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2
|
|
|
|
|
2) Скалярным произведением векторов x, y Rn называется ЧИСЛО, равное сумме |
||||
произведений соответствующих координат векторов-множителей: |
||||
|
|
|
|
n |
|
( x, y) x y xi yi |
|||
|
|
|
|
i 1 |
x y = y x; |
x ( y z ) x y x z |
x (cy) c ( x y) |
||
|
Rn называются ортогональными, если их скалярное произведение равно |
|||
3) Векторы x, y |
||||
|
|
1,2,.., m} называется ортогональным, если |
||
нулю: x y =0. Набор векторов {ai Rn ; i |
составляющие его векторы попарно ортогональны. Например, {i=[1;0;0]T; j=[0;1;0]T; k=[0;0;1]T} - ортогональная система трехмерных векторов
4) Нормой вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x R n , «порожденной» скалярным произведением, называется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
неотрицательное число || x ||: |
|
|| |
|
|
|
|
|
( xi ) |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|| x |
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Свойства нормы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(1) |
|
|
|| |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
сумма квадратов координат вектора. |
(2) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|| x |
|
|
x |
x |
x |
i |
|
|| x || 0 |
x 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(3) |
|
|| cx || | c | || x || . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|| x y || |
|
|
|| |
x | || |
y || норма суммы векторов не больше суммы их норм. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
x | |
|| x || |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[2,4,6]T |
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x [1,2,3]T , y |
[ 1,0,2]T , z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[0;2;5]T ; |
|
|
|
|
|
|
|
[ 3; |
2; 3]T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
|
y |
x |
2 y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 ( 1) 2 0 3 2 |
5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x y |
y |
z 10; |
x |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|| |
|| |
|
( 1)2 02 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 || |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
5; || x || 14; || z |
2 x || |
x || 2 14 ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| || |
|
|
|
|
5 |
14 5.978; |
|
|||||||||||||||||||
|
|| x y |
|
|| || [0,2,5] || |
|
29 5.385 || x |
y || |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|| |
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
z |
3x |
|
|| x |
|| || z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 T |
|
|
|
|||
u |
[2,3, c] |
x |
u 0 |
2 6 3c 0 c |
|
|
u |
[2,3, |
|
] |
, x ортогональные векторы. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
§3 Базис ЛВП Rn. Разложение вектора по базису.
Пусть заданы: вектор |
|
R n |
и совокупность(набор) { |
1, |
2 |
,.., |
|
n ; |
i |
|
Rn |
} |
|
|
|
мерных |
||||||||
x |
|
«N» |
N- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b b |
|
b |
b |
|
|
|
||||||||||
векторов, являющихся столбцами квадратной матрицы Bn =[b , b ,.., b |
], |
b |
[b |
, b |
,..., b ]T . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
i |
|
|
1i |
2i |
|
ni |
|
Рассмотрим векторное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
b11 |
|
|
b12 |
|
b1n |
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
c1 |
b21 |
|
c2 |
b22 |
... cn |
b2n |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x c i |
bi |
... |
|
... |
... |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn1 |
|
|
bn 2 |
|
bnn |
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с N неизвестными - коэффициентами Ci линейной комбинации векторов набора. Из
аксиомы равенства векторов следует, что «векторное уравнение» (1) равносильно матричному уравнению
3
|
n |
|
|
|
|
|
|
x ci |
bi |
B |
C x; |
C [c1 , c2 ,..., cn ]T |
(1') |
||
|
i 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример.
|
|
1 |
|
|
|
b1 |
b2 |
b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
; B |
|
|
|
|
|||||||
x |
2 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
; x |
c1b1 |
c2 b2 |
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
DET( B ) 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
B C x |
! |
C |
|
1 |
x |
|
(1)b1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
c |
c |
|
c |
|
c |
c |
|
c |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
c3b3 |
|
2 |
|
|
c2 c3 |
|
c2 c3 2 |
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c3 |
|
|
c3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1)b2 3b3
Определение Набор {b1,b2 ,..,bn ; bi Rn} « N» N-мерных векторов, образующих столбцы
невырожденной матрицы B =[b1, b2 ,.., bn ], DET( B) 0 называется базисом ЛВП RN.
В дальнейшем будем отождествлять базис и невырожденную матрицу, состоящую из векторов базиса.
Теорема (Разложение вектора по базису). Любой вектор |
|
|
||||||||
x Rn единственным образом |
||||||||||
представляется в виде линейной комбинации векторов базиса B [b1 , b2 ,..., bn ] |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
x R n !C [c1 , c1 ,..., cn ]T |
: x ci |
bi |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это представление называют «разложением вектора x Rn по базису B», коэффициенты |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
в базисе B и пишут |
|
разложения ci называют координатами вектора x |
||||||||||
|
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
[x]B |
... |
|
x c1b1 c |
2 b 2 |
... c n bn |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c n |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство теоремы следует из (1’), определения базиса (det(B)≠0) и т. Крамера:
|
n |
|
(1' ) |
|
DET( B ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
ci |
bi |
B C |
x |
|
!C : B C x |
|
|
|
||||||
|
i 1 |
|
|
|
т. Крамера |
|
|
|
|
|
|
||||
Следствия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B [b |
, b |
,..., b ] |
|
(1) Базис ЛВП RN определяют столбцы любой невырожденной матрицы: |
1 |
2 |
n . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DET( B) 0 |
|||
Базис BСТ =In называется «стандартным базисом». |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Базис BОБ [e1 , e2 ,..., en ] |
называется «ортогональным», если составляющие его векторы |
||||||||||||||
попарно ортогональны: |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
0 (B3=BОБ ) |
|
|
|
|
i k : ei ek |
ei |
ei |
ei |
|
|
|
|
|
Базис BНБ [i1 , i2 ,..., in ] называется «нормированным», если нормы составляющих его векторов равны 1: ik 1, k 1 n
4
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– ортонормированный базис ЛВП R3. |
BОНБ= |
0 |
1 / |
2 |
1 / |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 / |
2 |
/ |
2 |
|
|
2) Координаты вектора |
|
|
|
|
|
|
|
в базисе B - |
[x]B определяются матричным |
||||||||||||
|
x Rn |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнением |
и находятся методом Жордана – Гаусса: |
||||||||||||||||||||
B C x |
|||||||||||||||||||||
|
DET( B ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
[B | x] |
[ I | C] !C |
[ xB ] : B C x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Координаты вектора |
|
|
|
|
в ортогональном базисе BОБ находятся по формулам |
||||||||||||||||
x Rn |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
... |
|
... cn |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x c1 |
e1 |
ci ei |
en |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0, i k |
|
|
|
|
|
x |
e |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
c |
i |
|
|
|
2i |
, i 1,2,.., n |
|||||||||
|
|
ei ek |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|| ei |
|| |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) Векторы нормированного базиса определяют систему координат в N-мерном координатном пространстве, при этом координаты ci,I=1,2,…,N вектора [x]B
представляют проекции вектора на соответствующие координатные оси.
«Ортогональный и нормированный базис BОНБ » определяет прямоугольную систему координат.
ПРИМЕР-1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е1 |
е2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
|
y |
x i |
y j |
R |
|
|
OXY ( i , j ); |
|
|
|
BОНБ |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
ОХ |
Y |
|
(е1 |
, е2 ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x' y' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x' |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
x' е1 y' е2 [ x ]B |
y' |
|
|
|
|
x' y' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пусть в XOY |
задано уравнение кривой L : 3x 2 3 y 2 |
2 xy 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L эллипс |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x |
' ) |
2 |
|
|
|
|
( y' ) |
2 |
|
|
|
|||||||
|
X ' OY ' : L : |
( x' y' )2 |
( x' y' )2 |
|
( x' y' ) ( x' y' ) 4 |
L : |
|
|
|
|
|
|
|
1 с полуосями |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2 )2 |
|
|
(1)2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ах 2 ; by |
1 |
||
|
M ( x' |
|
|
, y' 0) L M ( x 1, y 1) : 3(1)2 3( 1)2 |
2( 1) |
4 M L |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
N (( x' 0, y' 1) L M ( x |
|
1 |
|
, y |
|
1 |
|
) : 3x 2 3 y 2 2 xy |
3 |
|
3 |
|
2 |
4 M L |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y
Y’
E2
X
E1 |
X’ |
|
5
У |
Y’ |
|
N(x’=0; y’=1)
E1
E2 |
Х |
|
|
|
M(x’= 2; y’=0) |
Х’
(4) Если C1 и C2 - координаты вектора x в двух базисах B1 и В2, из равенств
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следуют уравнения, связывающие координаты вектора x в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x B1 C1 x B2 C2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
различных базисах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
[x] |
B2 |
B2 1 x |
( B1 C1 ) (B2 |
1 |
B1) C1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
B2) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
[x]B1 |
B1 |
x |
B1 |
( B2 C2 ) |
(B1 |
C2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
============================== |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ПРИМЕР-2. Следующие матрицы определяют различные базисы R3: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
b2 |
b3 |
|
|
|
|
|
|
f1 |
|
f 2 |
|
|
f 3 |
|
|
|
|
|
e1 |
e2 |
e3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
BCT I 3 [ |
0 |
, |
1 |
, |
0 |
] : B1 |
0 |
1 1 |
; B2 |
0 |
|
1 |
1 |
; B3 |
0 1 1 |
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
|
|
|
|
0 1 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
DET( BCT ) 1( 0); |
DET( B1) 1 ; DET( B2) 1; DET( B3) |
1DET |
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдем координаты вектора |
[1,2,3]t |
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
в этих базисах: [B| x] |
[I 3 | C [ x]B |
] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
[ I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
BCT C x |
3 | x ] |
x |
|
2 |
|
1 i |
2 j |
3k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
b2 |
b3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| I 3 | C | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 |
|
1 |
|
|
s12 ( 1) |
|
1 0 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s23( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
B1 C x |
|
0 1 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 1 0 |
|
1 |
x |
|
1 |
|
|
|
|
b1 b2 |
3b3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 |
|
f2 |
|
|
|
f3 |
|
|
|
|
|
|
s12 (1) |
|
1 |
0 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
s |
|
( 2) |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M 2 |
( 1) |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
s23(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
B2 C x |
|
0 |
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 0 |
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
3f1 |
f2 |
3f3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
|
|
|
e1 |
e2 |
e3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
... |
|
0 |
||||||||
B3 C x |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
SOS! B3 |
B |
с |
|
x |
ei |
, i 1 3 |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ОБ |
i |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ei |
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, разложения вектора |
|||||||||||||||
x |
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
0 |
|
5 / 2 |
x |
5 / 2 |
|
|
|
|
e1 |
|
|
e2 |
|
|
e3 |
||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
|
1 / 2 |
|
|
|
|
1 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
B3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
c |
|
1 |
|
1 c |
|
|
5 |
c |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
2 |
3 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B C по указанным базисам имеют вид :
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
2 |
1 i |
2 j 3k |
b1 |
b2 |
3b3 |
3f1 |
1f2 |
3f3 |
1e1 |
|
|
e2 |
|
|
e3 |
||
2 |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|