Вопросы второго семестра / Calculus

Вопросы к экзамену по математическому анализу

(2 семестр) 2012-2013 г.

1)Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.

2)Полярные координаты. Вычисление площадей в полярных координатах.

3)Вычисление объемов с помощью определенного интеграла.

4)Длина кривой. Случай явного и параметрического задания кривой.

5)Длина кривой в полярных координатах.

6)Площадь поверхности вращения.

7)Механические приложения определенного интеграла. Координаты центра тяжести.

8)Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула прямоугольников.

9)Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула трапеций.

10)Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула Симпсона.

11)Несобственные интегралы 1 и 2 рода.

12)Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.

13)Признаки сравнения для несобственных интегралов.

14)Абсолютная интегрируемость.

15)Признаки Абеля и Дирихле сходимости несобственных интегралов.

16)Числовые ряды. Сходимость ряда, связь с последовательностями. Критерий Коши.

17)Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда.

18)Знакопостоянные ряды. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Теорема о ряде с

19)Признаки сравнения для рядов.

20)Признак Коши сходимости ряда.

21)Признак Даламбера сходимости ряда.

22)Признак Раабе сходимости ряда.

23)Признак Куммера сходимости ряда.

24)Признаки Бертрана и Гаусса сходимости ряда.

25)Интегральный признак сходимости ряда.

26)Абсолютная и условная сходимость знакопроизвольных рядов.

27)Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

28)Лемма Абеля. Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда.

29)Сочетательный закон для рядов. Переместительный закон для абсолютно сходящихся рядов. Умножение рядов.

30)Теорема Римана.

31)Функциональные последовательности и ряды. Основные определения. Равномерная сходимость.

32)Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов.

33)Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональных рядов. Признаки Абеля и Дирихле.

34)Теоремы о непрерывности суммы функционального ряда и предела функциональной последовательности.

35)Теорема о предельном переходе для функциональных рядов и последовательностей.

36)Теорема о почленном интегрировании функциональных рядов и последовательностей.

37)Теорема о почленном дифференцировании функциональных рядов и последовательностей.

38)Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.

40)Равномерная сходимость степенного ряда.

41)Почленное интегрирование и дифференцирование степенного ряда. Единственность разложения функции в степенной ряд.

42)Примеры применения степенных рядов. Приближенное интегрирование функции.

43)Комплексные последовательности и ряды. Экспонента от комплексного переменного. Формула Эйлера.

44)Неравенство Бернулли.

45)Теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций степенными многочленами. Многочлены Бернштейна.

46)Обобщенное суммирование рядов по методам степенных рядов и средних арифметических.

47)Бесконечные произведения. Свойства. Связь с рядами.

48)Метрические пространства. Основные определения.

49)Пространство , введение метрики. Сферические и параллелепипедальные окрестности.

50)Предел последовательности в . Теорема Больцано-Вейерштрасса.

51)Функции от нескольких переменных. Предел функции по Гейне и по Коши. Повторные пределы. Свойства пределов.

52)Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций.

53)Первая и вторая теоремы Больцано-Коши о непрерывных функциях.

54)Теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях.

55)Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

56)Частные производные.

57)Полное приращение функции в точке. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости.

58)Достаточное условие дифференцируемости функции.

59)Дифференциал.

60)Геометрические приложения производных. Касательные и нормали в трехмерном пространстве.

61)Производная сложной функции.

62)Формула конечных приращений.

63)Инвариантность формы первого дифференциала.

64)Производные по направлению. Градиент функции. Геометрический смысл.

65)Производные старшего порядка. Теорема о равенстве смешанных производных.

66)Дифференциалы старшего порядка.

67)Формула Тейлора дли функций нескольких переменных.

68)Экстремумы функций. Необходимые и достаточные условия.

69)Методы покоординатного, градиентного и случайного спуска поиска экстремума.

70)Теорема о неявной функции от одной и нескольких переменных.

71)Функциональные матрицы и определители. Матрица Якоби. Теорема Лапласа.

72)Независимость функций.

73)Теорема о системе неявных функций.

74)Дифференцирование неявных функций.

75)Обратные отображения. Условия локального диффеоморфизма.

76)Условный экстремум. Метод исключения переменных.

77)Метод множителей Лагранжа.

78)Замена переменных в дифференциальных выражениях.

79)Повторные и двойные ряды.