Учебники 80163
.pdfФедеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
Е.И. Ханкин
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Курс лекций
Рекомендовано в качестве учебного пособия редакционно-издательским советом Воронежского государственного архитектурно-строительного университета для студентов, обучающихся по направлениям 270200 «Транспортное строительство» и 190200 «Транспортные машины
и транспортно-технологические комплексы»
Воронеж 2009
1
УДК 517.9 ББК 22.1 Х19
Рецензенты:
кафедра функционального анализа и операторных уравнений Воронежского государственного университета;
А.Д. Баев, к.ф.-м. н., доцент, декан математического факультета Воронежского государственного
университета
Ханкин, Е.И.
Х19 Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст]: курс
лекций / Е.И. Ханкин; Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т, 2009. - 68 с.
ISBN 978-5-89040-248-6
В соответствии с учебной программой излагается курс дифференциальных уравнений. Приводятся примеры и задачи на приложение теории и подробно поясняются пути их решения.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 270200 «Транспортное строительство» и 190200 «Транспортные машины итранспортно-технологические комплексы».
Ил. 9. Табл. 8.
УДК 517.9 ББК 22.1
ISBN 978-5-89040-248-6 |
© Ханкин Е.И., 2009 |
|
© Воронежский государственный |
|
архитектурно-строительный |
|
университет, 2009 |
2
Предисловие
Предлагаемый курс лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям содержит материал, предусмотренный обязательной программой для студентов, обучающихся по направлениям 270200 «Транспортное строительство» и 190200 «Транспортные машины и транспортно-технологические комплексы», и может быть использован для других специальностей, программы которых близки или совпадают с указанной выше.
Этот курс сложился в результате многолетней работы автора на механи- ко-автодорожном факультете Воронежского архитектурно-строительного университета и, несмотря на небольшой объем его, материал изложен по возможности строго и доступно. Для пояснения и закрепления теоретического материала в каждом разделе приведены примеры и решения соответствующих задач. Чтобы избежать формального введения основных понятий в курсе дифференциальных уравнений рассматриваются геометрические и физические задачи, приводящие к этим понятиям.
При изложении определенных разделов сохранялась методика, заложенная в основных учебниках по высшей математике для втузов (А.Ф. Берманта и И.Г. Арамановича, Н.С. Пискунова и других авторов), которая проверена многолетней практикой и оправдала себя.
Следует отметить, что объем материала, включенный в некоторые разделы лекций несколько расширен, и может быть сокращен по усмотрению преподавателя, но в то же время оказать существенную практическую помощь при самостоятельном изучении излагаемого материала и решении конкретных задач.
Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность за тщательное рецензирование рукописи, деловые замечания и рекомендации по ее совершенствованию доцентам кафедры высшей математики ВГАСУ В.С. Муштенко, А.А. Седаеву, сотрудникам кафедры функционального анализа и операторных уравнений ВГУ и ее зав. кафедрой д. ф.-м. н., проф. М. И. Каменскому, а также декану математического факультета ВГУ к. ф.-м. н., доценту А.Д. Баеву.
Автор
3
Лекция 1
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1.ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ
КДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
При решении многих геометрических и физических задач приходится отыскивать неизвестную функцию по данному соотношению между этой не-
известной функцией, ее производными и независимыми переменными. Такое со-
отношение называется дифференциальным уравнением, а отыскание функции,
удовлетворяющей уравнению, называется решением или интегрированием
данного уравнения.
Рассмотрим несколько задач, приводящих к дифференциальным уравне-
ниям.
ЗАДАЧА 1. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
Пусть y = f (x) - уравнение искомой кривой, M (x, y) - произвольная точка кривой(рис. 1).
Рис. 1. Геометрическая интерпретация задачи
Угловой коэффициент касательной в этой точке равен y′. По условию AM = MB, т.е OP = PA = x, а значит, в любой точке М кривой
tg MAP = −y′ = xy ; следовательно, y′ = − xy .
Мы получили соотношение, связывающее неизвестную функцию y , независимую переменную x и производную от y по x , т. е. получили диффе-
4
ренциальное уравнение относительно y . Этому уравнению удовлетворяет функция y = cx , где С - любое число.
Действительно, если y = cx , то y' = − xc2 и − xy = − xc2 .
Таким образом, указанным выше свойством обладает бесчисленное множество кривых ("семейство" кривых), различающихся значениями постоянной С. Это - семейство равносторонних гипербол, асимптотами которых являются оси координат.
Для того чтобы из этого семейства кривых выделить одну определенную кривую, достаточно задать точку (x0 , y0 ) , через которую проходит эта кривая,
и определить соответствующее значение постоянной С.
Например, через точку (2,4) будет проходить та кривая семейства, для ко-
торой 4 = 2c , т.е. C = 8. Уравнение этой кривой y = 8x .
Дадим определения основных понятий.
Обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка назы-
вается уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные:
F(x, y, y′, ... , y(n) ) = 0,
где F - функция, определенная в некоторой области, x - независимая переменная,
y - искомая функция переменной x, а y′, y′′, ... , y(n) - ее производные. При этом функция F может явно не зависеть от x, y, y′, ... , y(n−1) , но обязательно должна зависеть от y(n) .
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей входящей в него производной.
Так, например,
• |
уравнения y′+ xy − x2 = 0, |
xy′2 +ex = 0, yy′−1 = 0, y′6 +e y2 |
бу- |
|
дут дифференциальными уравнениями первого порядка; |
|
|
• |
уравнения xy′′− y′3 − y = 0, |
y′′− y′ =1 будут дифференциальными |
|
|
уравнениями второго порядка; |
|
|
• |
уравнение y2 − y′′′+ x5 = 0 имеет третий порядок и т.д. |
|
5
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = ϕ ( x ), подстановка которой в это уравнение обращает его в тожде-
ство. |
|
Например, дифференциальное уравнение |
y′′+ y = 0 имеет решением |
функцию y = cos x , так как если y = cos x , то |
y′ = −sin x, y′′ = −cos x и |
−cos x +cos x = 0. |
|
Решение дифференциального уравнения, заданное неявно соотношением
Ф(x, y) = 0 , называют интегралом этого уравнения.
График решения дифференциального уравнения называется его инте-
гральной кривой.
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ,
И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Как уже было сказано, дифференциальным уравнением первого порядка
называется соотношение между независимым переменным, неизвестной функцией и ее производной.
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:
если соотношение (2.1) разрешить относительно y , то получится уравнение вида
′ |
(2.1) |
F(x, y, y ) = 0; |
если соотношение (2.1) разрешить относительно y′, то получится уравнение вида
y′ = f (x, y) . |
(2.2) |
Оно называется дифференциальным уравнением первого порядка, раз-
решенным относительно производной.
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, всегда можно записать в так называемой дифференциаль-
ной форме:
P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 . |
dy |
(2.3) |
|||
|
′ |
|
|
||
Действительно, если y |
= f (x, y), то |
dx = f (x, y), |
а значит, |
||
|
f (x, y)dx −dy = 0.
6
Наоборот, всякое уравнение вида (2.3), если Q(x, y) ≠ 0, можно разре-
шить относительно производной: |
|
|
|
|
|
dy |
= − |
P(x, y) |
, |
|
dx |
Q(x, y) |
||
|
|
|
||
т.е. записать в виде y′ = f (x, y). |
|
|
|
Выясним геометрический смысл уравнения (2.2).
Пусть x и y - декартовы прямоугольные координаты точек плоскости, а y =ϕ(x) - решение данного уравнения. График этого решения – интегральная
кривая уравнения (2.2) есть непрерывная кривая, в каждой точке которой имеется касательная. Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в ее точке (x, y) равен y′, т.е. равен f (x, y). Таким образом, уравнение
y′ = f (x, y) дает связь между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой в этой точке. В каждой точке (x, y) области D, в которой определена функция f (x, y), мы можем вычислить у', т.е.
указать направление касательной к той интегральной кривой, которая проходит через эту точку. Построив в каждой точке области черточку ("стрелку"), наклоненную к оси ОХ под углом, тангенс которого равен получим
так называемое "поле направлений" (рис. 2).
Задать уравнение y′ = f (x, y) - значит задать в области D поле направ-
лений.
Решить это уравнение - значит найти кривую, касательная к которой в каждой ее точке совпадала бы с направлением поля в этой точке.
Рис. 2. Поле направлений
Таких кривых будет не одна, а целое семейство (построение можно начинать с любой точки данной области). Чтобы выделить определенную инте-
гральную кривую, нужно задать точку (x0 , y0 ) , через которую должна прохо-
7
дить кривая. При некоторых ограничениях на правую часть уравнения (2.2) через каждую точку области D будет проходить одна интегральная кривая.
Дифференциальное уравнение первого порядка вида y′ = f (x, y) имеет,
вообще говоря, не одно, а бесчисленное множество решений. Для того чтобы из этого бесчисленного множества решений выделить определенное решение,
обычно приходится задавать значение искомой функции y0 при некотором значении аргумента x0 . Пару чисел x0, y0 называют начальными условиями, или начальными данными, решения. Геометрически задание начальных условий равносильно заданию точки (x0 , y0 ) - "начальной точки" плоскости ХОУ. Будем говорить, что решение y =ϕ(x) уравнения y′ = f (x, y) удовлетворяет начальным условиям x0, y0 , если ϕ(x0 ) = y0 , т.е. если график этого решения проходит через точку(x0 , y0 ) .
Отыскание решения дифференциального уравнения y′ = f (x, y) , удовлетворяющего заданным начальным условиям x0, y0 , является одной из важней-
ших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется зада-
чей Коши.
Естественно, возникает вопрос: всегда ли существует решение задачи Коши и, если существует, будет ли оно единственным?
Ответы на эти вопросы дает теорема Коши - теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Приведем ее формулировку.
Теорема Коши. Если функция f (xy) непрерывна в некоторой области D плоскости ХОУ и имеет в этой области непрерывную частную производную по f y′(x, y) , то, какова бы ни была точка (x0 , y0 ) области D , существует, и при-
том единственное, решение y =ϕ(x) уравнения y′ = f (x, y) , определенное в некотором интервале, содержащем точку x0 , принимающее при x = x0 значе-
ние ϕ(x0 ) = y0.
Геометрически это утверждение означает, что через каждую внутреннюю точку (x0 , y0 ) области D проходит, и притом только одна, интегральная кривая уравнения (рис. 3).
Из теоремы Коши следует, что в области D уравнение f y′(x, y) имеет бесчисленное множество решений. Действительно, считая x0 постоянным и изменяя значение y0 в некоторых пределах, получим для каждого значения y0 свое решение: y =ϕ(x, y0 ) (рис. 4).
Введем теперь следующие основные определения.
8
Функция y =ϕ(x, С) , зависящая от одной произвольной постоянной С, называется общим решением уравнения y′ = f (x, y) в некоторой области σ, ес-
ли она является решением этого уравнения для любого значения постоянной С (или для любого значения С из некоторого множества) и если любое решение уравнения, лежащее в области σ , может быть записано в виде при
конкретном значении С.
Рис. 3. Геометрический смысл |
Рис. 4. Семейство интегральных |
теоремы Коши |
кривых |
Равенство Ф(x, y,C) = 0, |
неявно задающее решение, называется общим |
интегралом уравнения (2.1) в области σ.
Решения, получающиеся из общего при определенных значениях постоянной С, называются частными решениями данного уравнения. Аналогично определяются частные интегралы.
Геометрически общее решение (общий интеграл) уравнения (2.1) в об-
ласти σ представляет собой семейство интегральных кривых уравнения, обла-
дающее тем свойством, что каждая интегральная кривая, лежащая в области σ , принадлежит этому семейству кривых.
Если при этом функция f (x, y) , стоящая в правой части уравнения (2.2) области σ удовлетворяет условиям теоремы Коши, то через каждую точку (x0 , y0 ) области σ проходит одна определенная кривая семейства y =ϕ(x, C), (Φ(x, y, C) = 0). Соответствующее ей значение постоянной С можно определить, подставив координаты начальной точки (x0 , y0 ) в уравне-
ние y =ϕ(x, C), (Φ(x, y,C) = 0). Если y0 =ϕ(x0 , C0 ), (Φ(x0 , y0, C0 ) = 0) , то
интегральная кривая, проходящая через точку (x0 , y0 ) , будет иметь уравнение y =ϕ(x, C0 ), (Φ(x, y, C0 ) = 0).Эта кривая будет изображать частное решение уравнения (2.1), соответствующее значению С0. Таким образом, для выделения
9
из общего решения (интеграла) частного решения (интеграла) уравнения (2.2) достаточно задать его начальные условия.
ПРИМЕР: Уравнение y′ = 2 y разрешено относительно производной.
Функции f (x, y) = 2 |
y и |
f y′(x, y) = |
1 |
определены и непрерывны для |
|
|
|
y |
|
y 0. Следовательно, |
условия теоремы Коши для уравнения y′ = 2 y выпол- |
нены в верхней полуплоскости y 0. Через каждую ее точку проходит одно оп-
ределенное решение уравнения.
Основной задачей теории дифференциальных уравнений является отыскание всех решений данного дифференциального уравнения (в явной или неявной форме) и изучение свойств этих решений. Нахождение решений дифференциальных уравнений называют интегрированием этих уравнений.
Лекция 2
3. НЕКОТОРЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ
Рассмотрим некоторые, наиболее важные типы дифференциальных уравнений первого порядка, интегрирование которых сводится к вычислению одного или нескольких неопределенных интегралов. Действие вычисления неопределенного интеграла, чтобы не было путаницы с термином "интегрирование уравнения", будем называть квадратурой
3.1. Уравнение вида y′ = f (x)
Уравнение вида y′ = f (x), где f (x) - функция, определенная и непрерывная на некотором интервале a x b оси ОХ .
Как известно из курса интегрального исчисления, все решения этого простейшего дифференциального уравнения исчерпываются соотношением
y = ∫ f (x)dx +C, |
(3.1) |
где С - произвольная постоянная. |
|
Геометрически это значит, что все интегральные |
кривые уравнения |
y′ = f (x) в полосе {a x b, −∞ y +∞}получаются из одной из них, например
y = ∫ f (x)dx , сдвигом, параллельным оси OY. Задавая в этой полосе любую точку M0 (x0 , y0 ), можно единственным образом определить постоянную
10