- •Функциональные ряды методические указания
- •Справочный материал
- •1. Ряд и интеграл фурье
- •1.1. Ряд Фурье в действительной форме
- •1. 2. Комплексная форма ряда Фурье
- •1 .3. Разложение в ряд Фурье непериодических функций
- •1.4. Интеграл Фурье в действительной форме
- •1.5. Интеграл Фурье в комплексной форме
- •1.6. Зависимость между a(ω), b(ω), f(ω)
- •2. Степенные ряды
- •2.1. Область сходимости степенного ряда
- •2.2. Ряд Тейлора
- •Расчетные задания
- •Методические указания
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный
технический университет"
Кафедра высшей математики и
физико-математического моделирования
Функциональные ряды методические указания
к практическим и индивидуальным занятиям по разделам
«Степенные ряды» и «Ряды Фурье» курса «Математика» по направлению 211000.62 «Конструирование и технология электронных средств», профилю «Проектирование и технология радиоэлектронных средств» и направлению 200100.62 «Приборостроение», профилю «Приборостроение»
очной формы обучения
Воронеж 2013
Составители: канд. физ.-мат. наук Л.Д. Кретова, канд. физ.-мат. наук Н.Б. Ускова, канд. физ.-мат. наук A. В. Бондарев
УДК 517.9
Функциональные ряды: методические указания к практическим и индивидуальным занятиям по разделам «Степенные ряды» и «Ряды Фурье» курсов «Математика» » по направлению 211000.62 «Конструирование и технология электронных средств», профилю «Проектирование и технология радиоэлектронных средств» и направлению 200100.62 «Приборостроение», профилю «Приборостроение» очной формы обучения / ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный технический университет"; сост. Л.Д. Кретова, Н.Б. Ускова, А. В. Бондарев. Воронеж, 2013. 36 с.
Данные методические указания предназначены для проведения практических и индивидуальных занятий для бакалавров направлений 211000.62 «Конструирование и технология электронных средств», профиля «Проектирование и технология радиоэлектронных средств» и 200100.62 «Приборостроение», профиля «Приборостроение» очной формы обучения факультета радиотехники и электроники во втором семестре на первом курсе. Разработка содержит необходимые краткие теоретические сведения, разобранные примеры, а также задачи для самостоятельного решения.
Предназначены для студентов первого курса.
Методические указания прдготовлены в электронном виде в текстовом редакторе Word и содержатся в файле Ряды1.doc
Ил. 8. Библиогр.: 5 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. Наук, доц. Е.Г.Глушко
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
Ó ФГБОУ ВПО "Воронежский государствен-
ный технический университет", 2013
Справочный материал
1. Ряд и интеграл фурье
1.1. Ряд Фурье в действительной форме
Функциональный ряд вида
, (1)
где
(2) (2)
называется тригонометрическим рядом Фурье для функции f(t). Этот ряд сходится на всей числовой оси, если f(t) кусочно-монотонна и ограничена на отрезке и имеет период T. При этом в точках непрерывности функции сумма ряда S(t)=f(t), а в точках разрыва t=c: .
Если f(t) чётная функция, то
bn=0, . (3)
Если f(t) – нечётная, то
a0=0, . (4)
Заметим, что для периодической функции , поэтому интегралы в формулах (2) – (4) можно вычислять по любому интервалу длиной Т.
Если воспользоваться соотношениями
, (5) (5)
то ряд (1) примет вид
, (6)
который обычно используется в различных прикладных задачах, так как имеет наглядный физический смысл. Каждое слагаемое под знаком суммы (6) описывает гармоническое колебание с амплитудой , частотой и начальной фазой . Эти параметры определяются однозначно из соотношений
(7)
Совокупность значений { } называют спектром амплитуд, а { } – спектром фаз.
Пример 1. Сигнал f(t) представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов напряжения:
.
Требуется представить f(t) рядом Фурье в действительной форме и построить графики f(t) и частичных сумм ряда S1(t), S2(t), S3(t) на отрезке .
Решение. Вычислим коэффициенты ряда Фурье, используя нечётность функции f(t) (4):
.
Следовательно, ряд Фурье имеет вид:
Это равенство справедливо при всех . При сумма ряда равна нулю.
На рис. 1 представлены графики функции f(t) и частичной суммы ряда На рис. 2 штрихами изображены графики S1(t) и , а сплошной линией – график На рис. 3 штрихами изображены графики S2(t) и , а сплошной линией –
Рис.1
Рис. 2
Рис. 3