Учебное пособие 1758

Приложение

Пошаговая инструкция нахождения производной функции, заданной формулой (явно).

Хорошо известно, что основным способом задания функции yаргумента x является ее задание некоторой формулой

y(x) (x). А именно, для нахождения значения функции y(x),

соответствующего значению аргумента x, надо просто выполнить все действия, записанные в формуле (x). Напомним, что все функции, задаваемые формулой, называются элементарными. Они позволяют решать многие практические и теоретические задачи и обладают хорошими свойствами. Например, они непрерывны всюду, где определены.

Определение П.1. Формулой (x) называют любое выраже-

ние, составленное из простейших формул с помощью арифмети-

ческих действий и подстановки одной формулы в аргумент дру-

гой.

Простейшие формулы - это основные элементарные функ-

ции:

xa, ax , loga x, sin x, cosx, tg x, ctg x, arcsin x, arccos x, arctgx,arcctg x

а также любые числа или числа, обозначенные буквой, – то есть константы. Например:

Здесь и всюду далее xобозначает аргумент формулы – независимую переменную числовую величину.

Арифметические действия – это сложение, вычитание,

умножение и деление.

81

Действия, задаваемые основными элементарными функциями,

будем называть основными математическими действиями.

Например: можно говорить о действии нахождения логарифма loga x или о действии нахождения синуса sin xили действии нахождения арктангенса arctg x.

Операция подстановки одной формулы 1(x) в аргумент другой 2(x) называется операцией суперпозиции формул и обо-

значается 2( 1(x)).

Напомним сначала, как надо находить числовое значение функции y(x), заданной некоторым выражением или, что то же самое, формулой. Пусть, например,

y(x) 3(2cos( x) sin( x)) 4/2x 2(arcsin(x/ 2))/ . (П.1) 4

Здесь x есть аргумент формулы – независимая переменная, кото-

рая может принимать различные числовые значения, например x. Выполняя над этим числом написанные в формуле действия, мы получим вполне определенную числовую величину - значение y x

функции y(x) при данном значении x аргумента x.

Буква означает число =3,14… Остальные буквы не имеют самостоятельного значения, и только их сочетания cos sin arcsin

подсказывают нам, какие основные математические функции задействованы в формуле (П1).

Правильно записанная формула задает (с точностью до раз-

решенных перестановок) определенный порядок действий при ее вычислении. Раньше всего должны находиться значения основных элементарных функций, если их аргумент есть просто число.

Например, в (1) сначала находим 2x , а потом делим 4 на получившееся число. Если же аргумент функции задан формулой, то сначала вычисляется эта формула, а потом сама функция. Как правило, такой порядок подчеркивается постановкой аргумента в скобки.

82

Если внутри скобок содержатся другие скобки, то раньше всего выполняются действия внутри самых внутренних скобок, а уже потом во внешних.

Из арифметических действий сначала выполняются умножения и деления. Наконец, в последнюю очередь выполняются сложения и вычитания.

Если понадобится найти производную для функции, заданной формулой, то умение безошибочно определять последнее действие, задаваемое формулой, играет решающую роль в нахождении ее производной. Именно по последнему действию мы будем определять, каким правилом дифференцирования необходимо воспользоваться на данном этапе нахождения производной.

Например, так как последнее действие в формуле (П1) есть сложение, то эта формула есть сумма трех больших слагаемых

Сначала найдем значения выражений, стоящих в самых внутренних скобках. В данном примере это будут аргументы у косинуса

и синуса. Получаем 2 2 и 2 . 4 2

Потом находим значения косинуса и синуса (оба значения равны 1).

После чего вычисляем и запоминаем первое слагаемое

3(2cos(2 ) sin( )) 3(2 1 1) 3. 2

Так как 22 4, находим и запоминаем второе слагаемое

4/ 22 4/ 4 1.

83

Наконец, находим третье слагаемое. Так как arcsin1 , то

2

2(arcsin(2/2))/ 2(arcsin(1))/ 2( )/ 1. 2

Вспоминая найденные слагаемые, получаем, что

y(2) 3 1 1 5. В таких случаях говорят, что функция y(x) вы-

числена (найдена или взята) при x 2.

Обратимся к технике нахождения производных функций, заданных некоторой формулой y (x). Для начала особо подчерк-

нем, что правильное нахождение производной есть процесс, каж-

дый этап которого строго определен правилами дифференцирования и формулами таблицы производных основных элементарных функций (основных математических действий).

Намерение найти производную функции y (x) будем обо-

значать с помощью постановки формулы в скобки со штрихом:

(y)' ( (x))'. Скобки со штрихом будем называть знаком про-

изводной. В свою очередь окончательный результат нахождения производной будем обозначать следующим образом y' '(x). То есть просто штрих без скобок.

Ниже дана таблица готовых производных для основных элементарных функций, из которых строятся все остальные элементарные функции и их производные.

Таблица П.1.

Производные основных элементарных функций от независимого аргумента, обозначенного буквой x. Буква может быть и другой.

84

Отметим, что если xесть аргумент, то x' 1. Действительно, по формуле 1 (x)' (x1)' 1x(1 1) x0 1.

Займемся, наконец, непосредственно нахождением производ-

ной функции, заданной некоторой формулой (x).

Для начала заключите в скобки всю формулу, с помощью кото-

рой определена ваша функция, и поставьте штрих: ( (x))'.

На следующем шаге задайте себе наводящий вопрос: Что пе-

ред нами в скобках под знаком производной?

Если вы научитесь правильно отвечать на этот вопрос, то считайте, что самое трудное уже позади.

Ответ на этот вопрос полностью зависит от того, каким явля-

ется последнее действие, применяемое в формуле (x).

То есть, ответ на вопрос: «Что перед нами?» надо искать среди следующих вариантов.

1) Если последнее действие при вычислении (x) есть сло-

жение или вычитание, то (x) 1(x) 2(x) и, значит, по прави-

лам дифференцирования ( (x))' ( 1(x))' ( 2(x))'. То есть, для нахождения ( (x))' достаточно найти производные от двух более простых формул 1(x) и 2(x).

85

2) Если последнее действие при вычислении (x) есть умножение на константу: (x) C 1(x), то константа выносится за знак производной: ( (x))' C( 1(x))', и задача упрощается. Дей-

ствительно, в формуле 1(x) стало на одно действие меньше, чем в

(x).

3) Если последнее действие при вычислении (x) есть

умножение двух формул, то по правилам дифференцирования

( (x))' ( 1(x) 2(x))' ( 1(x)) 2(x) 1(x)·( 2(x)) , и за-

5) Если последнее действие при вычислении очередной под-

формулы j (x), стоящей под знаком производной не является

арифметическим действием, то это значит, что последнее дей-

ствие задано одной из основных элементарных функций. Дей-

ствительно, так как по определению формулы никаких других действий, кроме арифметических или действий, задаваемых основными элементарными функциями, перечисленными в таблице 1, быть не может, то в нашем случае последним действием может быть

только действие, задаваемое одной из основных элементарных

функций fk (x), при некотором k, 1 k 15.

Таким образом, формулу j (x) можно представить в виде су-

перпозиции j (x) fk (g(x)) формул fk (x) и g(x), где подформула g(x) формулы j (x) включает в себя все действия, задаваемые

формулой j (x), за исключением одного последнего действия,

задаваемого некоторой основной элементарной (табличной)

функцией fk (x).

86

Формулу fk (x) называют внешней, а g(x) - внутренней.

Правило нахождения производной суперпозиции формул записывается следующим образом

где производная fk '(x) содержится в таблице 1. Это правило чита-

ется так.

производная суперпозиции формул равна производной внешней

формулы, вычисленной (взятой) от всей внутренней формулы и умноженной на производную внутренней формулы.

Выражение fk '(g(x)) состоит из уже известных формул

( fk (x))' fk '(x) и g(x). Поэтому оно должно быть немедленно найдено и поставлено на свое место в формуле (3). Таким образом, и в этом случае остается найти производную от более про-

стой формулы g(x). Это можно и нужно делать в начале обучения отдельно на черновике, снова задавая себе наводящий вопрос: «Что перед нами в формуле g(x)? То есть, какое действие в формуле g(x) последнее?».

Формулу (3) назовем правилом нахождения производной

суперпозиции формул.

Так, шаг за шагом, отвечая на вопросы: «Какое последнее действие в формуле?» и «Что перед нами?» мы сможем правильно выбрать подходящее правило дифференцирования. В результате мы будем находить производные от все более и более простых формул, пока дело не дойдет до формул из таблицы П.1. На этом процесс нахождения производной исходной формулы (x) будет успешно завершен.

Посмотрим, как это происходит на конкретных примерах.

87

Пример П.1.

Найдем производные секанса и косеканса

Так как последнее действие в скобках есть деление, применим правило 4).

Формулу для производной косеканса выведем по-другому.

находится sinx.Это внутренняя функция, а затем, то, что получится, возводится в степень (-1). Последнее действие есть возведение в степень с переменным основанием sinx и постоянным показателем (-1). Следовательно, это не арифметическое действие, а операция суперпозиции. Внутренняя функция вычисляется перед внешней. В

нашем примере это sinx. Заменяя sinx на x получаем f (x) x 1.

88

Откуда

Пример П.2. Найдем производные гиперболических функций

ch x ex e x , sh x ex e x

2 2

Последнее действие есть деление на 2 или умножение на 0,5. Выносим постоянный множитель за знак производной и применяем правило 1) - производная суммы равна сумме производных

По формуле 14 таблицы П1 определяем (ex)' f14 '(x) ex exp(x).

Рассмотрим (e x)'. Здесь, сначала, по заданному x, находится

(z x), а потом от того, что получится, вычисляется экспонента exp(z) ez , Последнее действие - возведение e в переменную сте-

пень. Значит перед нами показательная функция, точнее exp(x).

Это внешняя функция. Внутренняя функция

g(x) −( =x) −( =1)x, поэтому g'(x) −( =x)'−( =1)( x)'− =x'− =1.

Отсюда

ch' x =0,5((ex )'+(e−x)') =0,5(ex +(e−x )(−x)') =0,5(ex −(e−x )) =sh x.

Аналогично sh' x =ch x. Проверьте это сами.

Пример П.3

y(x) (x) 3(2cos( x) sin( x)) 15(log2 x)( 1) 2(arcsin(x / 2))/ . 4

Так как последнее действие в этой формуле есть сложение, то перед нами сумма. И можно написать, что производная суммы равна сумме производных

89

производной есть умножение на константу. Значит, по правилу 2)

скобках есть функция arcsin(x/ 2). Сначала вычисляется x /2. Это внутренняя функция. После нее в конце находится табличная функция арксинус. Это внешняя функция, производная которой по таблице 1 равна

ния производной суперпозиции формул. По этому правилу берем

(x / 2)' 1/ 2(x)' 1/ 2. Объединяя все сказанное, получаем цепочку равенств

90