Учебное пособие 1740

Пример 1. α(x) = (1 – x)3, β (x) = 1 – x3.

Очевидно, что при x → 1 функции α(x), β(x) являются б.м. Для их сравнения найдем предел их отношения при x → 1:

lim α(x) x→1 β(x)

Пример 2. Функции α1(x) = 4x, α2 (x) = x2, α3(x) = sinx,

α4(x) = tgx являются бесконечно малыми при x → 0. Сравним их:

Отсюда заключаем, что α2(x) = x2 – б.м. высшего порядка, по

сравнению с α1(x) и α3(x) (при x → 0), α1(x) и α3(x) – б.м. одного порядка, α3(x) и α4(x) – эквивалентные б.м., т.е. sinx ~ tgx при x → 0.

31

Теорема 1. Пусть α(x) ~ α1(x), β(x) ~ β1(x) при x → a. Ес-

Эта теорема позволяет упрощать нахождение пределов.

Пример 3. Найти lim sin 4x .

x→0

В силу первого замечательного предела sin4x ~ 4x, tg3x ~ 3x при x → 0, поэтому

Теорема 2. Бесконечно малые функции α(x) и β(x) эквивалентны (при x → a) тогда и только тогда, когда α(x) – β(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с α(x) и β(x) (при x → a).

т.е. разность α(x) – β(x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с α(x) при при x → a (аналогично с β(x)).

Пусть α(x) – β(x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с α(x) и β(x), покажем, что α(x) ~ β(x) при x → a:

32

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

33

1.10. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва

Пусть функция f (x) определена в точке x0 и некоторой ее

то функция f (x) называется непрерывной в точке x0, а x0 на-

зывается точкой непрерывности функции f (x).

На языке логики равенство lim f (x) = f (x0 ) описыва-

x→x0

ется формулой:

ε > 0 δ >0 x (x0 – δ, x0 + δ) |f (x) – f (x0)| < ε .

Используя понятия односторонних пределов, можно перефразировать определение так: функция называется непрерывной в точке x0, если она определена в точке x0 и некоторой

Иногда приходится рассматривать непрерывность функции в точке x0 справа или слева. Пусть функция определена в точке x0 и некоторой ее левой полуокрестности.

Если lim f (x) = f (x0), то говорят, что f (x) непрерывна

x→x0 −0

в точке x0 слева.

Аналогично определяется непрерывность справа.

34

Так как lim f (x) = lim f (x) = f (0), то непрерывность функ-

x→0−0 x→0+0

ции f (x) в точке x0 = 0 доказана. Дадим определение точек разрыва.

Пусть f (x) определена в окрестности точки x0, но может быть не определена в x0.

Точка x0 называется точкой разрыва для функции f (x), если в

x0 = 0, но определена в любой окрестности этой точки, поэтому

Точка разрыва x0 для функции f (x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют (конечные) пределы:

рыва второго рода. В примере 4 x0 = 3 – точка разрыва второго

называется точкой устранимого разрыва. Такой является точка x0 в примере 3. Если рассмотреть функцию

35

Теорема 1. Если функции f1(x) и f2(x) непрерывны в точке x0, то их сумма и произведение также непрерывны в точке

рывно в точке x0.

Доказательство. Доказательство основано на свойствах пределов. Докажем, например, что сумма непрерывных функ-

что означает непрерывность f1(x) + f2(x) в точке x0. Аналогично для других утверждений теоремы. Заметим, что формулу

lim f (x) = f (x0) (определяющую непрерывность функции f(x)

x→x0

в точке x0) можно записать в виде: lim f(x) = f( lim x), так как

x→x0 x→x0

lim x = x0. Эта формула означает, что при нахождении преде-

x→x0

ла непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции.

Теорема 2. Если функция u = ϕ(x) непрерывна в точке x0, а функция y = f (u) непрерывна в точке u0 = ϕ(x0), то сложная функция y = f (ϕ(x)) непрерывна в точке x0.

Доказательство. Покажем, что lim f (ϕ (x)) = f (ϕ (x0)).

x→x0

Действительно, из непрерывности функции ϕ (x) имеем:

36

Теорема доказана.

Установим непрерывность некоторых элементарных функций:

1. Всякая постоянная функция y = C непрерывна в каж-

дой точке x0 R, так как lim C = C.

x→x0

2. Функция y = x непрерывна в любой точке x0, так как

lim x = x0. Тогда функция y = Cxn, где n N, непрерывна на

x→x0

всей числовой оси, как произведение непрерывных функций.

3.Любой многочлен: y = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn, непрерывен в каждой точке числовой оси, как сумма непрерывных функций.

4.Всякая рациональная дробь, являющаяся отношением

двух многочленов QP((xx)) , непрерывна во всех точках, в кото-

рых многочлен Q(x) не обращается в 0.

5. Функция y = sinx, y = cosx непрерывны в точке x0 = 0, так как

Сформулируем без доказательств следующую теорему. Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в

каждой точке, в которой она определена.

Если функция f (x) непрерывна в каждой точке интервала

(a, b), то говорят, что f (x) непрерывна на интервале (a, b).

37

2.ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

2.1.Понятие производной, ее геометрический

и механический смысл

Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x0 обозначим через x и назовем приращением аргумента, а разность f (x) – f (x0) обозначим через y и назовем приращением функции.

Итак, x = x – x0, y = f (x) – f (x0). Из равенства x = x – x0

получаем равенство x = x0 + x, тогда y = f (x0 + x) – f (x0). Производной функции f (x) в точке x0 называется предел

отношения приращения функции к приращению аргумента,

Пример 1. Найти производную для функции f (x) = x2 в точке

x0 = 3.

Решение.

Если f ′(x0) существует, то говорят, что функция f (x) диф-

ференцируема в точке x0. Установим связь между дифференцируемостью функции f (x) в точке x0 и ее непрерывностью в этой точке. Напомним, что функция f (x) непрерывна в точке x0, если она определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, и выполняется равенство:

lim f (x) = f (x0 ) .

x→x0

38

Переформулируем это определение, используя понятия приращения аргумента и приращения функции. Из этого равенства получаем:

Другими словами, функция f (x) непрерывна в точке x0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Теорема. Если функция f (x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Дано, что f '(x0) существует, т.е.

Итак, доказано, что f (x) непрерывна в точке x0. Замечание. Если в точке x0 функция f (x) непрерывна, то

в этой точке функция может и не иметь производной, что подтверждается следующим примером.

Пример 2. Функция f (x) = | x | непрерывна в точке x0 = 0,

так как lim x = 0 = 0 .

x→0

Покажем, что эта функция не имеет производной в точке x0:

дифференцируема в точке x0 = 0.

39

f(x) в точке x0: f ′(x0) = k = tgα.

Вэтом состоит геометрическое истолкование производной. Очевидно, что уравнение касательной M0K имеет вид:

y – f (x0) = f ′(x0)(x – x0).

40