Учебное пособие 1692

ложительную координату х1, соответствует такой же симметрично относительно оси у расположенный элемент dF, имею-

10.2.4.Преобразование моментов инерции при повороте осей координат

При повороте осей координат (рис. 10.8) координаты элемента площади dF будут изменяться, и соответственно будет изменяться величина центробежного момента. Если повернуть оси на 90°, координаты y1 и х1 поменяются местами по сравнению с начальным положением, а одна из координат (х1) изменит свой знак. Величина центробежного момента инерции при этом будет отличаться от первоначальной величины знаком. Так как при повороте осей центробежный момент инерции изменяется непрерывно, то должны существовать оси, для которых центробежный момент инерции обращается в нуль.

206

Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями инерции.

Следует отличать главные оси и центральные оси. Эти оси могут совпадать и могут быть различными.

Если начало координат совпадает с центром тяжести сечения, то главные оси называют главными центральными осями.

Положение главных центральных осей инерции сечений определяют по формуле

Поскольку центробежный момент инерции относительно осей, из которых хотя бы одна ось является осью симметрии, равен нулю, ось симметрии и любая другая ей перпендикулярная ось всегда будет главными осями инерции.

Моменты инерции относительно главных центральных осей z и у называют главными центральными моментами инерции. Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей имеют экстремальные значения, определяемые по формулам

По расположению сечения относительно главных осей почти всегда можно определить ось, относительно которой один из главных осевых моментов инерции фигуры максимален. Относительно второй главной оси момент инерции будет минимален.

Радиусы инерции относительно главных осей называют главными радиусами инерции.

207

Пример 10.3. Определить величины главных центральных моментов инерции для сечения, изображенного на рис.

10.9.

Решение

1. Определяем координаты центра масс. Для этого разбиваем сечение на два прямоугольника, проводим оси координат так, чтобы одна ось у совпала с осью симметрии (эта ось будет главной централь-

Рис. 10.9 ной осью), а другая (х) прошла через центр масс первого прямоугольника. Определяем необходимые параметры: F1 = 3 4 = 12 см2; х1= 0; y1= 0; F2 = 2 12 = 24 см2; х1 = 0; y1 = 3 см и по формуле (10.4) определяем координаты центра масс

24* 3

yC 12 24 2см .

2. Вычисляем главные центральные моменты инерции. Для этого определяем необходимые вспомогательные величины – моменты инерции частей сечения относительно их собственных центральных осей

По формуле (10.8) получаем

208

J Z 16 22 12 8 12 24 96см4 a1 2см, JY 9 288 297см4 .

Ось у является осью, относительно которой момент инерции максимален, поскольку Jy > Jz.

Пример 10.4. Определить положение главных центральных осей и вычислить главные центральные моменты инерции сечения, изображенного на рис. 10.4.

Решение. Одной из главных осей является ось симметрии у, другая - главная ось х проходит через центр масс сечения перпендикулярно к первой. Центр масс этого сечения определен в примере 10.2. Вычисляем осевые моменты инерции сечения. Для этого определяем необходимые вспомогательные величины - моменты инерции частей сечения относительно их собственных центральных осей

209

§ 10.3. Геометрические характеристики простых сечений

Осевые геометрические характеристики простых и сложных часто используемых плоских сечений приведены в таблицах.

Ниже приведены формулы для определения геомет- ри-ческих характеристик сечений для наиболее часто встречаю-щихся сечений.

Рис. 10.10 Рис. 10.11

Прямоугольник (рис. 10.10)

Круг (рис. 10.12)

210

§ 10.4. Задачи для самостоятельного решения

10.1. Определить координаты центра тяжести С однородного контура AEBDKA, состоящего из дуги полуокружности

АЕВ, прямолинейного отрезка BD и ду-

ги окружности DKA с центром в точке

10.2. Определить положение центра тяжести сечения (рис. 10.15). Центр тяжести полукруга расположен на его оси симметрии на расстоянии c 4r /( 3 ) от центра окружности.

10.3. Определить координаты центра тяжести плоской фигуры (рис. 10.14), ограниченной плоским контуром AEBDKA, описанным в задаче 10.1. Центр тяжести полукруга распо-

расстояния между центрами отверстий и их радиусы соответственно равны;

212

8.9.tg 2 ;

8.10. arctg 1 / 318,5 ;

8.11.2000 Н;

mx ( S ) aS / 3 ; my ( S ) aS 3 ; mz ( Q ) 0 ; 9.1. Rx 0; Ry 0; Rz 0; R 0; M Ox 16 Н*м;

214

cos( M O ,k ) = -0,726;

9.2. Rx 0; Ry 20 3 Н; Rz 0; R 20 3 Н;

M Ox = -3,46 Н*м; MOy = 0; M Oz = 0; M O = 3,46 Н*м;

9.3.Rx 0; Ry -30 Н; Rz 0; R 30 Н;

M Ox = 0; MOy = 2 Н*м; M Oz = -1 Н*м; M O = 5 Н*м;

9.4.N = 8,66 Н; X A 27,84 Н; YA -3,75 Н; Z A 7,5 Н;

X B 0; YB 0; ZB 0;

9.5.T1 125 Н; T2 250 Н; T1 250 Н;

9.6.T = 193,2 Н; X A 25 Н; YA 139,9 Н; Z A 300 Н; X B 71,6 Н; YB 27,4 Н;

9.7.X B X A 28,8 Н; YA -28,8 Н; Z A 40 Н;