Учебное пособие 1439
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
А.И. БАРСУКОВ, М.Ю. ГЛАЗКОВА, В.И. МИНАКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ИАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ВЗАДАЧАХ И УПРАЖНЕНИЯХ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
Учебное пособие
для студентов бакалавриата и специалитета 1-2 курсов
всех направлений подготовки
Воронеж 2017
УДК 517+514.12 (07) ББК 22.161+22.151.5я73
Б261
Рецензенты:
О.И. Канищева, к.ф.-м. н., доцент кафедры № 206 ВУНЦ ВВС «ВВА» им. проф. Жуковского Н.Е. и Гагарина Ю.А.;
кафедра математики и физики ФГБОУ ВО ВГАУ (зав. каф., докт. тех. наук, профессор В.П. Шацкий)
Барсуков, А.И.
Математический анализ и аналитическая геометрия в задачах и упражнениях повышенной сложности: учебное пособие для студентов Б261 бакалавриата и специалитета 1-2 курсов всех направлений подготовки / А.И. Барсуков, Глазкова М.Ю., В.И. Минаков; ВГТУ. – Воронеж,
2017. – 124 с.
ISBN 978-5-7731-0538-1
Пособие содержит теоретический материал по теории числовых и функциональных рядов, векторной алгебры и аналитической геометрии. Представлены решения задач повышенной сложности по этим темам.
Предназначено для подготовки студентов к олимпиадам по высшей математики, а также углубленного изучения высшей математики.
Ил.28. Библиогр.: 6 назв.
УДК 517+514.12 (07) ББК 22.161+22.151.5я73
Утверждено учебно-методическим советом ВГТУ в качестве учебного пособия
ISBN 978-5-7731-0538-1 |
© |
Барсуков А.И., Глазкова М.Ю., |
|
|
Минаков В.И., 2017 |
|
© |
ВГТУ, 2017 |
|
2 |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................. |
4 |
1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ....................................................................... |
5 |
1.1. Первообразная и неопределенный интеграл............................................... |
5 |
1.2. Определенный интеграл................................................................................ |
9 |
1.2.1.Определение. Условия интегрируемости.............................................. |
9 |
1.2.2. Вычисление определенных интегралов.............................................. |
15 |
1.2.2.1.Определенный интеграл и первообразная........................................ |
15 |
1.2.3. Теоремы о среднем и оценка интеграла ............................................. |
34 |
1.3. Несобственный интеграл............................................................................. |
41 |
1.3.1. Вычисление несобственных интегралов............................................. |
42 |
2. РЯДЫ...................................................................................................................... |
51 |
2.1. Числовые ряды ............................................................................................. |
51 |
2.1.1. Ряды. Сходимость ряда......................................................................... |
51 |
2.1.2. Абсолютная и условная сходимость ряда. ......................................... |
59 |
2. 2. Функциональные ряды ............................................................................... |
75 |
3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ..................... |
91 |
3.1. Векторы в геометрических задачах............................................................ |
91 |
3.2. Аналитическая геометрия линейных ....................................................... |
102 |
геометрических объектов................................................................................. |
102 |
3.2.1. Прямая на плоскости .......................................................................... |
102 |
3.2.2. Плоскость и прямая в пространстве.................................................. |
107 |
3.3. Кривые второго порядка............................................................................ |
111 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ....................................................................................................... |
124 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.................................................................... |
124 |
3
ВВЕДЕНИЕ
В пособии рассмотрены два важных раздела курса математики: аналитическая геометрия и элементы математического анализа, включающие интегрирование функций одной переменной и теорию рядов. Основной целью издания является подготовка студентов к решению нестандартных задач, предлагаемых на различных олимпиадах для студентов технических и экономических специальностей и направлений подготовки.
Каждый раздел пособия снабжен кратким теоретическим материалом, характеризующим основные идеи и используемые методы. По большей части приводимые факты выходят за рамки стандартных курсов математики для нематематических специальностей. Основные приемы иллюстрируются примерами с решениями. Многие из представленных в пособии задач входили в те или иные студенческие олимпиады по математике, некоторые задачи составлены авторами пособия. При отборе задач и их решений авторы опирались на свой опыт по подготовке студентов к участию в региональных и всероссийских олимпиадах по математике. Кроме того, мы использовали свой опыт по организации и проведению подобных олимпиад.
4
1.ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.1.Первообразная и неопределенный интеграл
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной (точной) для функции f (x) на промежутке X, если F'(x) = f (x) x X .
Имеют место следующие утверждения о существовании первообразной у функции f (x) , которые будут обоснованы далее в п.5.2.2.
Утверждение 1. Всякая непрерывная на промежутке X функция имеет
на X точную первообразную.
Соотношение F'(x) = f (x) определяет первообразную F(x) неоднознач-
но. Следующее утверждение устанавливает основное свойство первообразных.
Утверждение 2. Если F1 (x) и F2 ( x) – две первообразные функции f (x) на одном и том же промежутке, то их разность F1 (x) − F2 (x) постоянна на
этом промежутке.
Определение 2. Неопределенным интегралом для функции f (x) на про- межутке X называется множество всех ее первообразных на этом проме- жутке и обозначается ∫ f (x) dx .
Таким образом, если F(x) – какая-либо первообразная для функции f (x) на промежутке X , то
∫ f ( x) dx = F ( x) + c.
Нахождение неопределенного интеграла заключается в проведении преобразований подынтегрального выражения, позволяющих свести исходный интеграл к табличному или к сумме табличных интегралов. При этом использу-
ются следующие правила вычисления неопределенных интегралов:
1. ∫ a f ( x) dx = a∫ f ( x) dx, |
a = const. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. ∫ ( f1 (x) + f 2 ( x)) dx = ∫ f1 ( x) dx + ∫ f 2 ( x) dx. |
|
|
|
|||||||||||||||||
3. Если |
|
|
|
∫ f (x) dx = F ( x) + c |
|
|
и ϕ(x) |
- непрерывно |
дифференцируемая |
|||||||||||
функция, то |
|
|
|
|
|
|
∫ f (ϕ( x)) d (ϕ( x)) = F (ϕ(x))+ c . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.1) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Примеры решения задач |
|
|
|
||||||||||
Пример 1.1. Найти интеграл ∫ e− |
|
x |
|
dx. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. Функция |
f (x) = e− |
|
x |
|
|
непрерывна на всей числовой оси R, по- |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
этому она имеет на R точную первообразную. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
x |
, x ≤ |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x dx, x ≤ 0, |
|
x |
+ c, x ≤ 0, |
e − |
|
|
e |
|
∫ e − x |
|
|
|
|
∫ |
|
e |
|
|||||||
|
|
|
= |
− x , x > 0. |
dx = |
e − x dx, x > 0. |
= |
|
− x + c , x > 0. |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
− e |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
Так как по определению первообразная должна быть непрерывной функцией, то постоянные с и с1 не должны быть независимыми. Связь между ними получается из условия непрерывности в точке x = 0 :
lim (e x + c) = lim (−e |
−x + c ), |
|
x→−0 |
x→+0 |
1 |
|
которое дает равенство
1 + c = −1 + c1 c1 = 2 + c .
Окончательно получаем
|
|
− |
|
x |
|
e x + c, x ≤ 0, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
e |
|
|
|
|
dx = |
− e− x + c, x > 0. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для наглядности можно сравнить графики подынтегральной функции и ее первообразных (рис. 1.1).
|
|
Рис. 1.1. |
Отметим, что первообразная F(x) дифференцируема при x=0. |
||
Пример 1.2. Найти интеграл |
∫ max (1, x 2 ) dx. |
|
Решение. Для |
наглядности |
изобразим на одном графике функции |
f1 (x) = 1 и f2 (x) = x2 |
(рис. 1.2). |
|
Рис. 1.2.
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
+ c1, |
|
x < −1, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 dx, |
x |
< 1, |
3 |
|
|
|
|
||||||
∫ max (1, x |
2 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
+ c, |
|
x |
|
< 1, |
||
|
) dx = |
|
|
|
|
|
> 1. |
= x |
|
|
||||||
|
|
∫ x2 dx, |
|
x |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ c2 , |
|
x > 2. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Условие непрерывности первообразной в точке x = −1 дает
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
lim |
|
|
+ c |
|
= |
lim |
(x + c) − |
+ c |
= −1 + c, c |
= c − |
|||
3 |
|
|
|||||||||||
x→−1−0 |
1 |
|
|
x→−1+0 |
3 |
1 |
1 |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и в точке x = 1
|
|
x3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
lim (x + c) = |
lim |
|
|
+ c |
2 |
|
1 + c = |
|
|
+ c |
2 |
c |
2 |
= c + |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
x→1−0 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
||||
x→1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, окончательно получаем
|
|
x |
3 |
− |
2 |
|
+ c, |
x < −1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|||
∫ max (1, x |
|
+ c, |
|
|
−1 ≤ x ≤ 1, |
||||
|
) dx = x |
|
|
||||||
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ |
|
+ c, |
x > 1. |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
График первообразной при c = 0 (рис. 1.3):
Рис. 1.3.
Первообразная F(x) дифференцируема всюду на R , то есть является точ-
ной первообразной.
Рассмотрим далее нестандартные приемы нахождения неопределенных интегралов для некоторых функций.
7
Известно, что рациональные дроби всегда интегрируются в элементарных функциях путем разложения их на простейшие дроби. Но такой способ часто требует проведения большого объема вычислений. Иногда этого можно избежать, проводя некоторые преобразования и используя формулу (1.1.).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
x |
4 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 1.3. Найти |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ |
x 4 + 1 |
dx = |
∫ |
|
x 4 − 2x 2 + 1 + 2x 2 |
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
(x 2 − 1)2 + 2x 2 |
|
|
|
dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
6 |
− 1 |
( x |
2 |
|
− 1)(x |
4 |
+ x |
2 |
+ 1) |
(x |
2 |
− 1)(x |
4 |
+ x |
2 |
+ |
1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
(x 2 − 1) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 dx |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
2 |
|
|
|
|
dx3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
∫ |
|
+ 2∫ |
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
∫ |
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
4 |
+ x |
2 |
+ 1 |
x |
6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
(x |
3 |
) |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
+ 1 + |
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
d x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ |
2 |
|
∫ |
|
|
|
d (x |
3 ) |
|
= |
1 |
|
ln |
|
x + x |
|
−1 |
|
+ |
1 |
|
ln |
|
x |
3 −1 |
+ c |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
1 |
−1 |
|
|
3 |
|
|
(x3 )2 −1 |
2 |
|
|
|
|
x + |
1 |
|
+1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
ln |
|
x 2 − x + 1 |
|
+ |
1 |
ln |
|
x3 − 1 |
|
+ c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 + x + 1 |
|
x3 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогичный прием можно использовать и при нахождении неопределенных интегралов от некоторых иррациональных функций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
x |
2 |
|
+1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 1.4. Найти |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
|
x4 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
d x |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x − 1 |
|
|
|
x |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
− 2 + 2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
x x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
d x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
= = |
|
|
x − |
= t |
|
= ∫ |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
x |
t |
|
t 2 + 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x − |
|
|
|
|
|
x − |
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
1 |
|
|
d |
t |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= ∫ |
|
|
|
= − |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
ln |
|
|
|
+ 1 + |
|
|
+ c = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t 2 1 + |
|
1 + |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
+ c . |
||||||||||||||||||||||
= − |
1 |
|
ln |
|
|
|
2 x |
+ 1+ |
|
|
2 x2 |
|
|
|
|
|
+ c = − |
1 |
ln |
|
|
2 |
x4 +1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
x2 −1 |
|
|
|
|
(x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −1 |
|
Задачи для самостоятельного решения
1. Пусть f : X → Y ратная.
Пусть ∫ f (x)
– непрерывная монотонная функция, а f −1 : Y → X – ее об- dx = F ( x) + c . Найти ∫ f −1 (x) dx.
Найти интегралы:
2. |
∫ x |
|
|
x − 1 |
|
dx . |
|
|
|
3. |
∫ min{5 − x 2 , 1, x 2 }dx . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
Pn (x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где |
Pn (x) - многочлен степени n. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∫ (x − a)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5. ∫ |
x5 |
− x |
|
|
|
6. |
|
∫ |
|
|
|
|
x 2 − 1 |
|
|
d x . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x8 + 1 |
|
|
|
|
(x 2 + x + 1)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. ∫ |
x |
|
d x . |
|
|
|
8. |
|
∫ |
|
|
d x . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
9. |
∫ |
|
|
|
|
d x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
10. |
∫ |
|
|
|
|
|
d x |
|
|
. |
|||||||||||
1+ x |
6 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
2 |
) |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 + x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 + 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11. |
|
∫ |
x |
|
. |
12. |
∫ |
|
|
d x . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x4 +1 |
|
|
|
|
|
|
x 4 − 1 |
|
|
|
|
13. При каком соотношении между параметрами a, b, c, d интеграл
∫ |
a x |
3 + b x |
2 + c x + d |
||
|
|
|
|
dx |
|
|
x 2 |
|
|
||
|
(x − 1) 2 |
представляет собой рациональную функцию?
1.2.Определенный интеграл
1.2.1.Определение. Условия интегрируемости
Определение 3. Если |
функция f (x) определена |
на [a, b] и |
a = x0 < x1 < x2 <L< xn−1 < xn = b |
(разбиение этого отрезка с |
отмеченными |
|
9 |
|
точками |
ξk [xk −1; xk ]= |
k , |
|
k = 1, 2, K, n |
), |
то интегралом |
(Римана) от |
|||||||||
функции f (x) на [a, b] называется число |
|
|
|
|||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
∫ f (x) d x = |
max |
lim |
→0 |
∑ f (xk ) Dxk , |
Dxk = xk - xk −1 , |
|
|||||||||
|
a |
|
|
xk |
k =1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
если предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка |
||||||||||||||||
[a, b] и от выбора точек |
ξk |
k . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Критерий интегрируемости функции. Для того, чтобы ограниченная |
||||||||||||||||
функция f (x) была интегрируема (по Риману) на отрезке [a, b], |
необходимо и |
|||||||||||||||
достаточно, чтобы выполнялось равенство |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
|
max |
lim |
|
→0 |
∑wk ( f ; Dk ) Dxk = 0, |
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
k =1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
ωk ( f , k ) = sup |
|
f (x') − f (x ') |
|
- |
колебание функции на частичном |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
x',x ' k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
отрезке |
k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из этого критерия следует, что а) непрерывная функция,
б) ограниченная монотонная функция, в) ограниченная функция, имеющая конечное число точек разрыва на
[a, b], интегрируемы (по Риману) на [a, b].
Примеры вычисления интегралов по определению
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 1.5. Вычислить интеграл ∫ (1 + x) d x |
|
по определению. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Разобьем отрезок интегрирования [0, 1] на n |
равных частей точ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ками |
k |
, k = 0, 1, 2, K, n, |
тогда |
xk = |
1 |
|
|
k . Выберем в качестве точек |
ξ k |
|||||||||||||||||||||||
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
правые концы частичных промежутков, |
то есть |
ξ |
|
= |
1 |
, |
ξ |
|
= |
2 |
, Kξ |
|
= |
n |
= 1. |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
n |
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Нетрудно заметить, |
что точки ξk |
= |
k |
, k = 1, 2, K, n |
|
образуют арифметическую |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
прогрессию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = 1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Интегральная сумма |
S n для функции |
|
|
имеет вид |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
k |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Sn = ∑ 1 |
+ |
|
|
|
|
× |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Преобразуем |
S n следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|