Учебное пособие 948

где 1 и 2 - углы наклона прямых.

у

0 1 2 x

Рис. 14

Условие параллельности прямых определяется как случай tg 0 , т.е.

Условие перпендикулярности – это условие того, что tg

не существует, т.е. k1k2 1 0 или

3.4.Кривые второго порядка

Впрямоугольной системе координат, в плоскости Oxy уравнение второй степени

определяет кривую второго порядка, где А, В, С, D, E, F задан-

ные действительные числа. При этом А, В, С одновременно не равны нулю.

Рассмотрим кривые второго порядка, канонические уравнения которых имеют вид:

70

3.4.1. Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых суммы расстояний до двух фиксированных точек F1( с,о) и F2 (с,о), называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая, чем расстояние между фокусами.

Y

M(x,y)

r1 r2

X

F1(-C,0) F2(C,0)

r2 F2M x c 2 y2 , соответственно (рис. 15).

Тогда уравнение эллипса имеет вид

71

F1M F2M 2a или x c 2 y2 x c 2 y2 2a.

Преобразуем полученное уравнение.

2a x c 2 y2 x c 2 y2 ;

4a2 x c 2 y2 4a x c 2 y2 x c 2 y2; 4a2 4cx 4a x c 2 y2 ;

- каноническое уравнение эллипса.

Если в уравнении заменить х на (– х), а у на (– у), то уравнение не изменится. Это значит, что эллипс - кривая симметричная относительно осей Ох и Оу.

Величины а и b называются большой и малой полуосями

эллипса, т.к. а b. Эллипс проходит через точки (0,b) и (а,0) или (0, -b) и (- а,0), которые называются вершинами эллипса. Эллипс - непрерывная замкнутая кривая, которая находится внутри прямоугольника x а; у b.

Эксцентриситетом эллипса называется величина

эксцентриситет окружности равен 0 (т.к. b = а). Эксцентриситет эллипса можно рассматривать как меру

его «вытянутости». Если полуоси эллипса а = b (e 1) , то эллипс трансформируется в окружность радиуса R = а = b с центром в начале координат. В другом предельном случае e 0 эллипс настолько вытянут, что напоминает отрезок.

72

Пример 3.4.1. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением

x2 4y2 4x 8y 4 0 .

Решение. Выделяя полные квадраты, преобразуем левую часть уравнения. Имеем

Вводя новые координаты X x 2,Y y 1, получаем

Таким образом, получено уравнение эллипса с центром в точкеО1 2;1 .

y Y

Рис. 16

3.4.2. Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F1( с,о) и F2 (с,о), называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, меньшая, чем расстояние между фокусами.

73

Рис. 17

Согласно определению гиперболы можем записать для любой точки гиперболы M(x, y) равенство

x c 2 y2 x c 2 y2 2a.

4cx 4a2 4a x c 2 y2 .

Обозначая b2 c2 a2 , имеем a2b2 b2x2 a2 y2 или

- каноническое уравнение гиперболы.

Величины a и b называются соответственно действи-

тельной и мнимой полуосями гиперболы.

Так как x и y в уравнении в четных степенях, то график гиперболы симметричен относительно координатных осей. Таким образом, гипербола обладает центром симметрии (как и эллипс).

Точки А(-а,0) и В(а, 0) называются вершины гиперболы и являются точками пересечения кривой с ось 0х. Фокусы ги-

74

перболы располагаются на действительной оси. Гипербола не пересекается с осью Oy.

Вводится основной прямоугольник гиперболы, образован-

ный пересекающимися прямыми y b, y b, x a, x a. Диагонали основного прямоугольника гиперболы определяют-

Таким образом, эксцентриситет гиперболы больше 1. Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины раствора угла между её асимптотами: чем больше эксцентриситет, тем больше угол между асимптотами гиперболы.

Пример 3.4.2. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением x2 y2 6x 10 0.

Решение. Выделяя полные квадраты, преобразуем левую часть уравнения. Имеем (x2 2 3x 9 9) y2 10 0;

(x 3)2 y2 1; y2 (x 3)2 1.

ной осью является ось OY , а центр расположен в точке O1 3;0 .

75

y

Y

1

O1

Рис. 18

3.4.3. Каноническое уравнение параболы

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до точки-фокуса

F( p ,о) равно расстоянию до некоторой фиксированной пря- 2

мой y p 0 , называемой директрисой (направляющей) па- 2

раболы.

Согласно определению уравнение параболы соответствует равенству отрезков BM MF (рис. 19).

Y

d

B M(x;y)

y r

X

D p/2 x F(p/2;0)

Рис. 19

76

Пусть FD p, тогда

Точка пересечения с осью симметрии называется верши-

ной параболы. Величина р – называется параметром парабо-

лы. Если р 0, то вся парабола расположена в правой полуплоскости 0ху. Если р 0, то парабола расположена в левой полуплоскости.

Пример 3.4.3. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением

77

y

Y

5/2 O1

X

Рис. 20

3.5. Полярная система координат

Полярная система координат образуется полюсом-точкой О и лучом O , называемым полярной осью. Возьмем произвольную точку М на плоскости. Положение этой точки задается двумя числами, называемыми полярными координатами: полярным радиусом - расстоянием от полюса. О до точки М и полярным углом , образованным отрезком ОМ с полярной осью, при этом отсчет угла ведется от полярной оси против часовой стрелки.

Число называется полярным радиусом и может меняться на промежутке [ 0, ). Угол называется полярным углом и принимает значения на промежутке [0,2 ).

Для установления связи между прямоугольными и полярными координатами совместим полюс О с началом координат системы хОу, а полярную ось – с положительной полуосью Ох. Пусть х и у будут прямоугольными координатами точки М, а и - ее полярными координатами.

78

у

уМ

Рис. 21

Из рисунка видно, что прямоугольные координаты точки М связаны с полярными координатами следующим образом:

Полярные координаты точки М выражаются через декартовые координаты формулами:

x2 y2 ,

y (3.55)

tg .

x

Пример 3.5.1. Записать в декартовых координатах уравнение линии r 3 41cos , заданной в полярной системе коорди-

нат, определить ее тип и сделать чертеж.

Решение. Воспользуемся формулами связи декартовых и полярных координат (3.54)

x2 y2

Возведение в квадрат обеих частей дает равенство

79