Учебное пособие 790
.pdfГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
329 - 2012
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы
по курсу "Высшая математика" для студентов направления 280700.62 «Техносферная безопасность» («Защитавчрезвычайныхситуациях»,
«Безопасностьжизнедеятельностивтехносфере», «Защитаокружающейсреды»)
очной формы обучения
Воронеж 2012
Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев
УДК 51 (075)
Дифференциальные уравнения. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая математика" для студентов направления 280700.62 «Техносферная безопасность» («Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды») очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; Сост. И.Н. Пантелеев. Воронеж, 2012. 52 с.
Настоящие методические указания предназначены в качестве руководства для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая математика" при изучении во 2 семестре раздела «Дифференциальные уравнения» для студентов специальностей ЧС, БЖ и ЗС. В работе приведен теоретический материал, необходимый для выполнения заданий и решения типовых примеров.
Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и
содержатся в файле Vmfmm_DifUr_1.pdf.
Библиогр.: 10 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Ломакин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
© ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2012
Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Уравнения с разделяющимися переменными
1°. Рассмотрим уравнение
P (x)dx +Q (y)dy = 0 , |
(1) |
в котором коэффициент при dx зависит только от x, а к коэффициент при dy - только от у. Такое уравнение называется уравнением с разделенными переменными.
Общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием первого слагаемого по x, а второго слагаемого по у
∫P (x)dx +∫Q (y)dy =C . |
(2) |
2°. Уравнение первого порядка |
|
P (x, y)dx +Q (x, y)dy = 0 , |
(3) |
называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции P и Q разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной
p (x) p (y)dx +q (x) q (y)dy = 0 . |
(4) |
В таком уравнении путем деления его членов на q(x) p(y) переменные разделяются
p (x) |
|
q (y) |
|
|
|
dx + |
|
dy = 0 . |
(5) |
q (x) |
p (y) |
После разделения переменных, когда каждый член уравнения будет зависеть только от одной переменной, общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием
∫ |
p (x) |
dx +∫ |
q (y) |
dy = C . |
(6) |
|
q (x) |
p (y) |
|||||
|
|
|
|
3°. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными. Дифференциальные уравнения вида
y′ = f (ax +by +c), b ≠ 0 |
(7) |
приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки u = ax +by +c , где и – новая
неизвестная функция.
1.1. Найти общее решение уравнения xdx + ydy = 0 .
Решение. Поскольку уравнение с разделенными переменными, то интегрируя, получим общее решение
|
x2 |
+ |
y2 |
= C |
или x2 |
+ y2 = 2C |
= C = C2 . |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
2 |
0 |
|
0 |
1 |
||
|
|
|
|
на плоскости х, у |
||||
Не трудно |
заметить, что |
решение |
представляет семейство концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С.
1.2. Решить дифференциальные уравнения:
а) tg x sin2 |
ydx +cos2 xctg y dy = 0 ; |
б) y′sin x = y ln y ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. а) Делим уравнение |
на cos2 x sin2 y , тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
ctgy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx + |
|
dy |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
cos2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Интегрируем |
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
ctgy |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
dx = −∫ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy , |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
cos2 x |
sin2 |
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
откуда tg2 x −ctg2 y = C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) Представим уравнение в виде |
|
dy sin x = y ln y и разделим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ln y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Проинтегрируем, полагая, что C1 = ln |
|
C |
|
, тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
d ln y |
= ln |
|
tg |
x |
|
+C ; |
ln |
|
ln y |
|
= ln |
|
tg |
x |
|
|
+ln |
|
C |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln y |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
|
|
ln y |
|
|
π |
|
|
|
Пропотенцируем ln |
|
|
= ln |
C tg |
|
, откуда |
||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln y = C tg |
x |
|
или y = eC tg |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.3. Найти частное решение уравнения |
′ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
y tgx + y = 0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяющее начальному условию: у = 1 при x = π . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
Решение. Представим уравнение в виде |
dy |
= − |
cos x |
dx |
и |
|||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|||||
проинтегрируем ln |
|
y |
|
|
= −ln |
|
sin x |
|
+ln |
|
C |
|
, откуда |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ln |
|
|
y |
|
= ln |
|
|
|
C |
|
|
|
или y = |
C |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
sin x |
|
|
|
sin x |
|
|
C |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Подставим в общее решение начальные условия 1 = |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
π |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
откуда С = 1. Частное решение будет y = cosec x . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1.4. |
Найти |
|
|
|
|
|
общий |
|
|
|
интеграл: |
а) y′ = x − y +1; |
б) y′ = cos (x + y).
Решение. а) Используя подстановку u = x − y +1; u′ =1− y′,
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1−u |
или dx =1−u . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Откуда |
|
du |
|
= −dx |
|
ln |
|
u −1 |
|
= −x +ln |
|
C |
|
или |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
u −1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x = ln |
|
C |
|
|
; ex |
= |
C |
|
; u −1 = Ce−x . |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
u −1 |
u −1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Делая обратную подстановку, получим Ce−x = x − y . Общий интеграл примет вид y = x −Ce−x .
3
б) Делаем |
замену |
переменной u = x + y ; u′ =1+ y′. |
|||||||||||||
Подставляем в уравнение |
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
u |
−1 = cos u; |
dx = cos u |
+1. |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
Разделяем переменные и интегрируем |
|
|
|
||||||||||||
|
du |
|
|
|
|
d |
u |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= dx; |
∫ |
2 |
|
|
= x; tg |
u |
= x +C . |
|||||
|
cos u +1 |
|
|
2 u |
|
||||||||||
|
|
|
cos |
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда общий интеграл tg |
x + y |
= x +C . |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
2. Однородные уравнения первого порядка |
|||||||||||||||
1 . Дифференциальное уравнение |
|
|
|
||||||||||||
|
P (x)dx +Q (y)dy = 0 |
(1) |
называется однородным, если Р и Q - однородные функции от x и у, одной и той же степени (одинакового измерения).
Функция F (x, y) называется однородной, если F (ax, ay)= aq F (x, y), где q - степень однородности.
Однородное уравнение можно представить в виде
|
y |
|
x |
|
||
y′ =ϕ |
|
|
или y′ =ϕ |
|
. |
(2) |
|
|
|||||
|
x |
|
y |
|
Однородное уравнение с помощью подстановки y = ux или x = uy , где и - некоторая функция от х или у, приводится к
уравнению с разделяющимися переменными.
2°. Уравнения, приводящиеся к однородным. Дифференциальные уравнения вида
y′ = |
|
ax +by +c |
|
|
|
f |
|
(3) |
|||
|
|||||
|
a1x +b1 y +c1 |
|
4
приводятся к однородным уравнениям с помощью
подстановки |
x = u + x0 ; y = u + y0 , если ab1 −a1b ≠ 0 . Здесь |
||
x , y |
0 |
координаты точки пересечения прямых ax +by +c = 0 и |
|
0 |
|
|
|
a1x +b1 y +c1 = 0 . |
|||
Если же |
ab1 −a1b = 0 , то уравнение решается с помощью |
подстановки u = ax +by +c .
3°. Если в дифференциальном уравнении считать x и dx - величинами первого измерения, а у и dy - измерения q, то с помощью подстановки
y = uxq |
(4) |
уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Уравнения, позволяющие подобрать q таким образом, называются обобщенными однородными дифференциальными уравнениями.
2.1. Проинтегрировать уравнения:
а) xy′cos |
y |
= y cos |
y |
− x ; |
dx |
= |
x − y |
; |
|
|
б) dy |
|
|||||
x |
x |
x + y′ |
в) xdy − ydx = x2 + y2 dx , y=0 при x=1.
Решение. а) Разрешим данное уравнение относительно производной
|
|
|
y cos |
y |
− x |
|
y |
|
1 . |
|||||
y |
′ |
= |
x |
= |
− |
|||||||||
|
x cos |
|
y |
x |
cos |
y |
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
Правая часть уравнения функция однородная нулевой степени, следовательно, данное уравнение однородное.
Поскольку правая часть уравнения является функцией
отношения |
y |
, то делаем замену |
y=их. |
Производная |
||||||
x |
||||||||||
|
|
du |
|
|
|
y |
|
|||
|
′ |
Подставляя значения y |
′ |
|
|
|||||
y |
= u + x dx . |
|
|
|
|
|||||
и x |
в предыдущее |
|||||||||
|
|
уравнение приходим к уравнению с разделяющимися переменными
5
|
|
|
u + x du |
= u − |
1 |
|
или x du |
= − |
1 |
. |
||
cos u |
cos u |
|||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|
||||
Разделим переменные |
cos u du = − dx |
и |
проинтегрируем |
|||||||||
sin u = −ln |
|
x |
|
+C . |
|
|
|
x |
и |
|
|
|
|
|
Подставляя |
вместо |
его значение, |
||||||||
|
|
окончательно получим
sin xy +ln x = C .
б) Полагая х = иу; x′ = u + y dudy , запишем уравнение в виде
|
|
u + y du |
|
= |
|
uy − y |
|
|
|
или |
|
y du |
= u −1 |
−u , |
|
|||||||||||||||||||||
|
uy + y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
u +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
откуда, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
du |
|
= − |
u2 |
+1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
u |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Разделим переменные и проинтегрируем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
u +1 |
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
du = − |
|
y |
; arctgu + |
|
2 ln (u |
|
+1)= −ln |
|
y |
|
+C . |
|||||||||||||||||||||
|
u2 +1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Произведя обратную подстановку, получим |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+1 +ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
arctg |
|
x |
|
+ 1 ln |
x |
|
|
y |
|
= C . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Окончательно общий интеграл может быть представлен в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
виде arctg |
x |
+ln |
x2 + y2 = C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) Разделим правую и левую часть на dx и сделаем замену |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
у = их |
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
dx |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x u + x |
dx |
−ux = |
|
x |
|
|
+u |
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
x |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+u2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln u + 1+u2 = ln Cx ; y + x2 + y2 = Cx2 .
6
|
|
Найдем |
частное |
|
решение. |
|
Подставляя |
в общее решение |
||||||||||||||||
x = 1, у = 0, находим постоянную интегрирования С = 1. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Таким образом, окончательно получим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y + x2 + y2 = x2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2.2. Решить уравнения: |
|
|
а) (2x +3y −1)dx +(4x +6y −5)dy =0; |
|||||||||||||||||||
б) (x −2 y +5)dx +(2x − y +4)dy = 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Решение. а) Разделив правую и левую часть уравнения на |
||||||||||||||||||||||
dx, преобразуем уравнение к виду |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = |
2x +3y −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x +6 y −5 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Так |
как |
|
|
|
коэффициенты |
|
пропорциональны |
|||||||||||||||
|
a |
= |
b |
; 2 6 = 3 4 , то используем подстановку u = 2x +3y −1 ; |
||||||||||||||||||||
|
a |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u′ = 2 +3y′. |
|
u′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляя |
u и |
в уравнение, получим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u′−2 |
= |
|
u |
|
|
или du = |
u −6 |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
2u −3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
2u −3 |
|
|
|||||||||||
|
|
Разделим переменные |
|
2u −3 |
du = dx и проинтегрируем |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
u −6 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 + |
|
|
du |
= x; |
2u +9ln |
u −6 |
= x +C . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u −6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Переходя к старым переменным, общее решение примет |
||||||||||||||||||||||
вид |
|
x +2 y +3ln (2x +3y −7)= C . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
б) Представим уравнение в виде |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = |
|
|
x −2 y +5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − y +4 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Так как |
1 ≠ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −2 y +5 |
= 0, |
|||
|
|
то из решения системы, |
− y +4 |
= 0, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
||
находим точку пересечения этих прямых x0 |
= −1, y0 |
= 2 . |
|
7
|
Делаем замену |
|
|
|
x =u −1, y = u +2 , |
тогда |
dx=du, dy=du, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
dy |
= dv |
. Переходя к новым переменным, уравнение сводится |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
du |
|
|
dv |
|
|
|
|
|
u −2v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
к однородному |
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u −v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если |
сделать |
|
|
замену |
|
v = ut, v |
= t |
+u du , |
то |
|
уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t +u |
dt |
|
= |
|
|
u −2ut |
|
|
или u |
dt |
= |
1−4t +t2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
du |
|
|
|
2u −ut |
|
|
|
du |
|
|
2 −t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Разделим переменные |
|
|
|
|
|
2 −t |
|
|
|
dt = du |
и проинтегрируем |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
−4t +t2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
d (t2 −4t +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
− 2 ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
u |
, |
|
|
− |
2 ln |
|
t |
|
− |
4t +1 |
= ln |
|
|
|
, |
||||||||||||||||
|
t2 −4t +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
отсюда |
t2 −4t +1 = |
|
C2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
u2 |
t |
|
и учитывая, что C2 |
=C , получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Заменяя переменную |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
v2 |
|
− |
|
4 |
|
|
v |
|
+1 |
= |
|
C |
, |
v |
2 |
−4uv +u |
2 |
= C . |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
u2 |
|
|
|
u |
|
u2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя к переменным х, у, общий интеграл запишем в
виде (y −2)2 −4(y −2)(x +1)+(x +1)2 = C или
(y − x −3)2 −2(y −2)(x +1)= C .
3.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
1. Линейным дифференциальным уравнением первого
порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной
y′+ P (x)y = Q (x), |
(1) |
где P(x), Q(x) - известные функции от х.
8
Посредством |
замены функции |
у |
|
произведением двух |
|
вспомогательных |
функций у = uv; |
y |
′ |
′ |
′ |
|
= u v +v u линейное |
уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций
′ |
′ |
|
|
|
′ |
|
|
′ |
+ P (x)v = Q (x). (2) |
u v +v u + P (x)uv = Q (x) |
или u v +u |
v |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выберем функцию v такой, чтобы |
v′+ P (x)v = 0 , тогда |
||||||||
|
|
dv = −P (x)dx |
|
|
|||||
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
и частное решение этого уравнения имеет вид |
|||||||||
|
|
v = e |
−∫P(x)dx |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку выражение в квадратных скобках в (2) равно |
|||||||||
нулю, то получим |
′ |
(x), |
откуда |
|
|
||||
u v = Q |
|
|
u = ∫Qv ((xx))dx +C .
Произведение найденных решений и и v является общим решением исходного уравнения
y = v (x) |
∫ |
Q (x) |
dx +C . |
(3) |
|
|
|||||
|
v (x) |
|
|
||
|
|
|
|
||
2°. Уравнение вида |
|
|
|
|
|
y′+ P (x)y = ynQ (x), |
(4) |
||||
где P(x), Q(x) - известные |
|
функции |
от х, а n ≠ 0 |
и n ≠1 , |
называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли отличается от линейного только тем, что в правую часть входит множителем некоторая степень функции у. Уравнение
Бернулли с помощью подстановки |
у = uv; y |
′ |
′ ′ |
также |
|
= u v +v u |
сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными. 3°. Метод Лагранжа. Если в уравнении (1) Q (x)≠ 0 , то
уравнение называется линейным неоднородным, а если Q(x) = 0 - линейным однородным.
9