Учебное пособие 605
.pdfМинистерство образования и науки Российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»
Кафедра высшей математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Mетодические указания
для выполнения расчетно-графической работы для студентов всех специальностей и направлений подготовки бакалавров
Воронеж 2014
УДК 517.8 ББК 22.17
Составители А.М. Дементьева, В.В. Горяйнов, Е.И. Ханкин, Е.Л. Ульянова, М.Ю. Глазкова
Дифференциальные уравнения: методические указания для выполнения расчетно-графической работы для студ. всех специальностей и направлений подготовки бакалавров / Воронежский ГАСУ; сост.: А.М. Дементьева, В.В. Горяйнов, Е.И. Ханкин, Е.Л. Ульянова, М.Ю. Глазкова. – Воронеж, 2014. –36 с.
Методические указания содержат 25 вариантов заданий по теме «Дифференциальные уравнения» с подробным разбором решения одного варианта.
Предназначены для самостоятельной работы студентов всех специальностей и направлений подготовки бакалавров.
Библиогр.: 6 назв.
УДК 517.8 ББК 22.17
Печатается по решению научно–методического совета Воронежского ГАСУ
Рецензент – В.Д. Коробкин, доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры строительной техники и инженерной механики Воронежского ГАСУ
2
ВВЕДЕНИЕ
Настоящие методические указания содержат 25 вариантов индивидуальных заданий к типовому расчету по теме «Дифференциальные уравнения», в которые включены:
●дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли и в полных дифференциалах;
●дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка;
●линейные дифференциальные уравнения второго порядка, решаемые методом вариации произвольных постоянных;
●линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью;
●системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Вариант индивидуального задания состоит из 10 дифференциальных
уравнений, для каждого из которых требуется найти общее или частное решение (общий или частный интегралы); системы линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка и задачи на составление и решение дифференциального уравнения.
В методических указаниях приведено решение варианта типового расчета, при реализации которого сообщаются необходимые элементы теоретического материала.
Прежде чем приступить к выполнению типового расчета, студенту необходимо изучить конспекты лекций и рекомендуемую учебную литературу.
ВАРИАНТ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:
1. y′− |
y |
= |
y2ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. y′′− |
4 y′+ 4 y = |
e2x |
|
|
x −1 |
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||
3. x + 2 y + y y′ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
y(4) =sin x |
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
+ |
dx + |
− |
d y = 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
y |
y2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
II. Найти частные решения или частные интегралы дифференциальных уравнений и системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющие начальным условиям (решить задачи Коши):
|
|
||||||||
6. (1 + x2 )dy + ydx = 0, y (1)=1 |
7. y′+ 2xy − xe−x2 = 0, y (0)= 2 |
||||||||
|
xy′′+ x (y′) |
2 |
− y′ = 0, |
|
2 yy |
′′ |
′ |
2 |
=1, |
8. |
|
9. |
|
−( y ) |
|
||||
y (2)= 2, y′(2)=1 |
y(0)=1, y′(0)= 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
y′′−10y′ = x2 − 2; |
|
|
|
d y |
= 2 y + z, |
|||
10. |
|
|
|
|
|
|
||
99 |
|
1 |
|
|
dx |
|
||
y (0)= |
; y′(0)= − |
. |
11. |
|
|
|||
50 |
500 |
= y + 2z, y (0)=1, z (0)=3. |
||||||
|
|
|
|
dz |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
III.Решить задачи
12.Резервуар, вместимость которого 300 л, дно которого покрыто солью, заполняют чистой водой. Допуская, что скорость растворения соли пропорциональна разности между концентрацией раствора в данный момент и концентрацией насыщенного раствора (1 кг соли на 3 л воды), и что данное количество чистой воды растворяет 1/3 кг соли через 1 минуту, найти, сколько соли будет содержать раствор через один час.
13.Найти кривую, проходящую через точку А(1; 5), у которой длина отрезка, отсекаемого на оси ординат любой касательной, равна утроенной абсциссе точки касания.
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ |
1. y′− |
y |
|
y2ex |
|
|
= |
|
. |
|
x −1 |
x −1 |
Предложенное уравнение является дифференциальным уравнением Бернулли, так как имеет вид y′+ P(x)y =Q(x)yn . Здесь n = 2 >0 . Поэтому урав-
нение Бернулли имеет нулевое решение y = 0 . Ненулевые решения найдем методом Бернулли. Обозначим y =u υ (u ≠ 0, υ ≠ 0), y′=u′ υ +u υ′. Подставив полученные выражения в исходное дифференциальное уравнение, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
u υ |
|
(u υ)2 ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
|
|
|
u2 |
|
υ2 ex |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
u′ υ +u υ′− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
, или u′ υ +u υ′ |
− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x −1 |
|
|
x − |
1 |
|
|
x −1 |
|
|
|
|
x −1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Находим функцию υ(x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ′− |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
приравнивая |
|
|
скобку |
|
к |
|
нулю: |
|
=0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dυ = |
υ |
, |
dυ = |
dx |
, |
dυ = |
|
|
dx |
, ln |
|
υ |
|
|
=ln |
|
x −1 |
|
+ln |
|
C |
|
. Примем C =1 |
и |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx x −1 υ x −1 ∫ υ ∫x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
возьмем υ = x −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 (x −1)2 ex |
|
|
|
|
|
u2 (x −1)2 ex |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Находим функцию |
|
u (x): |
u′ (x −1)= |
, |
|
|
du |
= |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
(x −1)2 |
|
|
||||||||
|
du |
x |
|
|
|
du |
|
x |
|
|
1 |
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
= e |
dx , |
∫ |
|
= |
∫e |
dx , − |
|
|
= e |
|
|
+C , u = − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
u2 |
u2 |
u |
|
|
ex +C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Общее решение исходного дифференциального уравнения |
Бернулли по- |
лучается перемножением найденных функций u (x) и υ(x) y = u υ = −ex 1+C (x −1).
4
2. y′′−4 y′+ 4 y = e2x . x
Уравнение имеет вид y′′+ py′+ qy = f (x). Значит, это линейное неодно-
родное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общим решением является функция уон = уоо + учн .
Сначала найдем общее решение уоо соответствующего однородного уравнения y′′−4 y′+ 4 y =0 .
Составляем характеристическое уравнение: k2 −4k + 4 =0 .
Переписав его в виде, получим
(k −2)2 = 0 .
Следовательно,
k1 = k2 = 2.
Корни характеристического уравнения получились равными действи-
тельными |
числами. |
Следовательно, |
используя |
|
формулу |
||
y =C ek1x |
+C xek1x =ek1x (C + xC |
2 |
), запишем общее |
решение у |
оо |
соответст- |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
вующего однородного уравнения в виде
yoo = e2x (C1 +C2 x),
где C1 и C2 – произвольные постоянные.
Теперь приступим к нахождению частного решения учн неоднородного уравнения. Для этого используем метод вариации произвольных постоянных.
Заменим в общем решении y |
oo |
= e2x (C +C |
2 |
x) постоянные С |
и С неизвест- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
||
ными функциями С1 (x) |
и С2 (x). Получим |
|
|
|
|
|||||||
|
yчн = e2x (C1 (x)+C2 (x) x) |
или |
yчн = e2xC1 (x)+ xe2xC2 (x), |
|||||||||
где y |
=e2x , а y |
2 |
= xe2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
С1 (x) |
и С2 (x) |
составляем |
систему |
уравнений вида |
|||||
|
Для нахождения |
С1′(x)у1 (x)+С2′ (x)у2 (x)= 0
С1′(x)у1′(x)+С2′ (x)у2′ (x)= f (x).
C1′(x)e2x +C2′ (x) xe2x = 0, |
|
|
|||
|
(x)2e2x +C2′ |
(x) (e2x + 2xe2x )= |
e |
2x |
|
C1′ |
|
. |
|||
|
x |
||||
|
|
|
|
|
Так как e2x ≠ 0 , то разделим обе части уравнений на e2x :
C′(x)+C′ |
(x) x = |
0, |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2C1′ |
(x)+C2′ (x) (1 |
+ 2x)= |
1 . |
|
|
|
|
|
x |
5
Неизвестными в полученной системе являются С1′(x) и С2′ (x). Решаем систему, например, методом Крамера:
= |
1 |
|
x |
|
=1 (1 + 2x)−2 x =1 ≠ 0 . |
|
|||||||||||||
|
2 1 + 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 = |
|
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
= |
0 (1 + 2x)− x 1 |
= −1. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
1 |
+ 2x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
=1 1 −0 2 = |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формулам Крамера имеем: |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
||||
C1′(x)= 1 = |
= −1 и C2′ (x)= |
2 = |
x |
= |
|||||||||||||||
|
1 |
1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
Далее интегрируем эти равенства:
C (x)= |
∫ |
(−1)dx = −x +C , |
C |
|
(x)= |
|
1dx =ln |
|
x |
|
+C . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
∫x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
Полагая C = 0 |
и C |
2 |
= 0 , получим C |
(x)= −x и C |
2 |
(x)=ln |
|
x |
|
. Подставляя |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
найденные функции C1 (x) и C2 (x) в формулу |
|
yчн = e2x (C1 (x) |
+C2 (x) x), за- |
|||||||||||||||||||||||||||
пишем частное решение учн неоднородного уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
yчн =e2x (−x + xln |
|
x |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Складывая выражения для yоо |
и |
yчн , имеем общее решение уoн неодно- |
||||||||||||||||||||||||||||
родного уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yoн =e2x (C1 +C2 x)+e2x (−x + xln |
|
x |
|
) |
или |
|
yoн =e2x (C1 +C2 x)+ xe2x (ln |
|
x |
|
−1). |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3. x + 2 y + y y′ = 0 .
Для определения типа дифференциального уравнения приведем его к виду, разрешенному относительно производной:
y y′ = −(x + 2 y), |
y′ = − |
x + 2 y |
. |
|
|||
|
|
y |
Очевидно, уравнение не является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Видно, что оно однородное, так как для функции
f (x, y)= − |
x + 2 y |
выполнено тождество |
f (x, y)= f (λx,λy). Действительно, |
||||||||
y |
|||||||||||
|
|
|
|
λ(x + 2 y) |
|
|
|
|
|||
|
f (λx,λy)= − |
λx + 2λy |
= − |
= − |
x + 2 y |
= |
f (x, y). |
||||
|
λy |
|
y |
||||||||
|
|
|
|
|
λy |
|
|
|
6
Таким образом, данное дифференциальное уравнение есть однородное уравнение первого порядка и для его решения делаем замену
y=ux , y′= xu′+u .
Врезультате получаем дифференциальное уравнение xu′+u = − x +ux2ux ,
из которого будем искать и. Сначала приведем уравнение к виду, разрешенному
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 2u |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xu |
′ |
|
+u |
|
|
|
x 1 + 2u |
|
|
|
|
|
|
|
xu |
′ |
+u = − |
|
|
|
|
||||||||||
относительно |
|
|
|
|
|
производной |
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
xu |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
u |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1+ 2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
−u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− − |
|
− |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1+u |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
du |
|
2u |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
u |
′ |
= |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
, dx = |
|
ux |
|
|
|
|
|
и, наконец, |
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Это уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
с разделяющимися переменными. Если u ≠ −1, |
т.е. |
−(1+u)2 |
|
≠ 0 , то, разделяя |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
udu |
= −dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
переменные, |
|
|
имеем |
|
|
|
(если же |
|
u = −1, |
то решением исходного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(1 +u)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
дифференциального |
|
|
|
уравнения |
|
|
будет |
|
|
|
y = −x ). |
|
После |
|
|
|
интегрирования |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
(u +1)−1d2 |
u |
|
= −∫dx |
, |
|
|
|
|
|
|
∫ |
du |
− ∫ |
|
|
du |
|
|
= −∫dx |
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+u |
(1+u) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(1 +u) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ln |
|
1 +u |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
= −ln |
|
x |
|
+C или ln |
|
(1+u)x |
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
=C . Теперь заменим u на |
y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
+u |
|
1 |
+u |
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ln |
|
1+ |
|
|
|
x |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
=C и найдем общий интеграл ln |
x + y |
+ |
|
|
|
|
|
=C . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
y |
|
x |
+ y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
4. |
y(4) =sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Данное уравнение имеет вид |
y(n) |
|
= f (x). Следовательно, для отыскания |
общего решения его необходимо четырежды проинтегрировать по переменной x:
y′′′= ∫sin xdx = −cos x +C1 ,
y′′= ∫(−cos x +C1 )dx = −sin x +C1x +C2 ,
y′= ∫(−sin x +C1x +C2 )dx =cos x + |
C x2 |
+C2 x +C3 , |
|
|
||||||
1 |
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|||
y = ∫ cos x + C1x |
|
+C2 x +C3 dx =sin x + C1 x3 |
+ |
|
x2 |
+C3x +C4 . |
||||
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|
Таким образом, общее решение исходного уравнения четвертого поряд-
7
ка y =sin x + C1 x3 + |
C2 |
x2 +C x +C |
4 |
зависит от четырех произвольных посто- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
янных. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. 1 |
+ |
|
dx |
+ |
|
|
− |
|
d y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
|
y |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. Это дифференциальное уравнение |
|
первого |
порядка вида |
||||||||||||||||||||||||
P(x, y)dx +Q(x, y)d y =0 , причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∂P(x, y) |
|
1 |
|
1 |
|
′ |
1 |
|
, |
∂Q(x, y) |
|
2 |
|
|
x |
′ |
1 |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
= |
+ |
|
|
|
= − |
|
|
|
= |
|
|
− |
|
= − |
|
|||||||
|
|
∂y |
|
y |
y2 |
∂x |
|
|
y2 |
y2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
y |
|
y |
|
x |
|
т.е. выполняется соотношение |
∂P(x, y) |
= |
∂Q(x, y) |
. Это означает, что выраже- |
|
∂y |
∂x |
||||
|
|
|
ние, стоящее в левой части уравнения, является полным дифференциалом неко-
торой функции u (x, y), а именно |
∂u (x, y) |
= P (x, y), |
∂u (x, y) |
= Q (x, y). Такие |
|
∂x |
∂y |
||||
|
|
|
уравнения называют уравнениями в полных дифференциалах, и их общие ре- |
||||||||||||||||||||||||
шения ищут из уравнения du (x, y)= 0 , т.е. u (x, y)= C . Функцию u (x, y) нахо- |
||||||||||||||||||||||||
дят, зная ее частные производные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В нашем случае |
|
∂u (x, y) |
= |
1 |
+ |
1 |
. Интегрируя это выражение по пере- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||
менной х, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
||||
u (x, y)= |
|
|
1 |
+ |
dx |
= |
|
|
dx + |
|
dx =ln |
x |
|
+ |
+C (y) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∫ |
x |
|
y |
|
|
∫x |
|
|
|
y ∫ |
|
|
|
|
y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(так как переменная у фиксирована, то она может входить в произвольную постоянную).
|
Функцию C (y) |
|
ищем, используя равенство |
|
|
∂u (x, y) |
= Q (x, y). В нашем |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
случае u (x, y)= ln |
|
x |
|
+ |
x |
|
+C (y), а Q (x, y)= |
2 |
− |
x |
|
. Значит |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
′ |
2 |
|
x |
x |
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ln |
x |
+ |
+C (y) = |
− |
− |
+C′(y) |
= |
− |
|
|
C′(y)= |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
y |
y |
|
y |
|
|
|
|
y |
y |
|
y |
|
∫ y |
|
|
|
|
Следовательно, C (y)= |
|
2 |
dy = 2ln |
y |
+C . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
Итак, получили |
u (x, y)= ln |
|
x |
|
+ |
x |
+ 2ln |
|
y |
|
+C , т.е. общее решение исход- |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
ного уравнения записывается |
в виде ln |
|
x |
|
+ |
x |
+ 2ln |
|
y |
|
+C = C |
2 |
, или |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
x |
|
+ |
+ 2ln |
|
y |
|
= C , где C = C |
2 |
−C . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. (1 + x2 )dy + ydx = 0, y (1)=1.
Решение. При решении задачи Коши сначала ищут общее решение (общий интеграл), а затем подбирают С так, чтобы выполнялось началь-
ное условие. |
|
|
Уравнение |
записано в |
дифференциальной форме и имеет вид |
P1 (x)Q1 (y)dx + P2 |
(x)Q2 (y)dy = |
0 . Значит, оно является дифференциальным |
уравнением с разделяющимися переменными.
Разделим переменные, почленно поделив дифференциальное уравнение на (1+ x2 )y , считая, что y ≠ 0 ( y = 0 – это решение данного дифференциального уравнения, но не искомое, так как для y =0 не выполняется начальное усло-
вие). В результате имеем dyy +1 +dxx2 = 0 .
Далее, интегрируя обе части уравнения, имеем ∫dyy + ∫1+dxx2 =C и полу-
чаем общий интеграл ln y +arctgx =C .
Воспользуемся начальным условием y (1)=1 для определения значения произвольной постоянной С. Подставим в общий интеграл x =1 и y =1. Полу-
чим ln1+arctg1 =C , т.е. 0 + π |
=C или |
C = |
π |
. Найденное значение постоянной |
|||||
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
π |
|
С выделяет из общего интеграла частный: ln |
|
y |
|
+arctgx = |
, удовлетворяющий |
||||
|
|
||||||||
начальному условию y(1)=1. |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. y′+ 2xy − xe−x2 = 0, y (0)= 2 .
Решение. Сначала найдем общее решение дифференциального уравнения. Перенесем слагаемое, не содержащее у, в правую часть дифференциального уравнения и получим уравнение вида y′+ P(x)y =Q(x), которое является
линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Следовательно, методом Бернулли ищем y =u υ , y′=u′ υ +u υ′. Подставляя выражения y и
y |
′ |
в уравнение y |
′ |
+ 2xy = xe |
−x2 |
, имеем |
′ |
′ |
+ 2xuυ = xe |
−x |
2 |
или |
|
|
|
u υ +uυ |
|
|
|
9
u′υ +u(υ′+ 2xυ)= xe−x2 .
Подберем теперь такую функцию υ(x)≠ 0 , чтобы υ′+ 2xυ = 0 . То есть υ(x) – какое-нибудь ненулевое решение дифференциального уравнения с раз-
деляющимися |
переменными: |
|
|
dυ = −2xυ , |
dυ = −2xdx , |
∫dυ = −2∫xdx , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
υ |
|
υ |
|
|||
ln |
|
υ |
|
= −2 |
x2 |
|
+ln |
|
C |
|
. При C =1 получим, например, υ = e−x2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При таком выборе функции υ(x) исходное дифференциальное уравнение |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ −x2 |
|
|
|
|
−x2 |
|
u |
′ |
= x . Следовательно, u = ∫xdx = |
|
x2 |
+C . Таким |
|||||||||
примет вид: u e |
|
|
= xe |
|
|
или |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =uυ = |
|
+C e−x |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для решения задачи Коши воспользуемся начальным условием y(0)= 2 . |
||||||||||||||||||||||||||
Тогда 2 = |
|
02 |
+C |
|
|
e−0 |
2 |
, |
2 =(0 |
+C ) 1 или C |
= 2 . Следовательно, решение ис- |
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
e−x |
2 |
|
|
ходной задачи Коши – это функция y = |
|
+ 2 |
|
|
. |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
8. xy′′+ x (y′)2 − y′ = 0, y (2)= 2, y′(2)=1.
Решение. Особенностью решения задачи Коши для дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка, является то, что произвольные постоянные C1 и C2 можно находить по очере-
ди: сначала C1 , а потом C2 .
Определяем тип исходного ДУ: оно второго порядка и не содержит явно искомую функцию y (x), т.е. допускает понижение порядка. Сделаем замену
y′= P(x), y′′= P′(x). Уравнение примет вид xP′+ xP2 − P = 0 . Определим тип полученного дифференциального уравнения первого порядка. Для этого разде-
лим все уравнение на х (получим P′+ P2 − Px = 0 ) и перенесем P2 в правую
часть. В результате дифференциальное уравнение примет вид P′− Px = −P2 . Это
уравнение Бернулли. Одно из его решений P = 0, нам не подходит, так как по условию y′(2)= P(2)=1. Найдем ненулевые решения методом Бернулли. Сде-
лаем замену P =uυ, P′=u′υ +uυ′ и, подставив ее в последнее дифференциаль-
10